2022-2022年江苏镇江中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题9：三角形一、选择题1.（2022江苏镇江3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，D为垂足，若AC=4，BC=3，则sin∠ACD的值为【】A、B、C、D、【答案】C。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC。∴∠ACD=∠B。∵AC=4，BC=3，∴AB=5。∴sin∠ACD=sin∠B=。故选C。2.（2022江苏镇江3分）如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于【】A．2：1B．3：1C．3：2D．4：3【答案】A。【考点】三角形中位线定理，全等、相似三角形的判定和性质。【分析】过E作EM∥AB与GC交于点M，构造全等三角形把DG转移到和AG有关的中位线处，可得所求线段的比：18\n过E作EM∥AB与GC交于点M，∴△EMF≌△DGF（AAS）。∴EM=GD。∵DE是中位线，∴CE=AC。又∵EM∥AG，∴△CME∽△CGA。∴EM：AG=CE：AC=1：2。又∵EM=GD，∴AG：GD=2：1。故选A。3.（2022江苏镇江2分）锐角三角形的三个内角是∠A、∠B、∠C，如果，，，那么、、这三个角中【】A．没有锐角B．有1个锐角C．有2个锐角D．有3个锐角【答案】A。【考点】三角形的外角性质。【分析】根据三角形的外角和锐角三角形的性质作答：∵锐角三角形中三个角∠A、∠B、∠C都是锐角，而由题意知，、、分别是其外角，∴根据三角形外角的性质，可知、、这三个角都是钝角。故选A。4.（2022江苏省3分）如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中，能使的条件共有【】A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C。【考点】全等三角形的判定。【分析】根据全等三角形的判定方法可知：①，可用“SSS”判定；②，可用“SAS”判定；18\n③，可用“ASA”判定；④，是“SSA”，不能判定；因此能使的条件共有3组。故选C。5.（2022江苏镇江2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。若AC=，BC=2,则Sin∠ACD的值为【】A．B．C．D．【答案】A.【考点】直角三角形两锐角互余,锐角三角形定义，勾股定理。。故选A。二、填空题1.2022江苏镇江2分）若∠α的补角为1200，则∠α＝▲度，cosα=▲。【答案】60；。【考点】补角的定义，特殊角的三角函数值。【分析】根据补角的定义，得∠α＝1800－1200=600；由特殊角的三角函数值得cosα=cos600=。2.（2022江苏镇江2分）如图，AD∥BC，AB＝AC，∠BAC＝800，则∠B＝▲度，∠DAC＝▲度。【答案】50；50。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质。【分析】∵AB=AC，∴∠B=∠C=（180°－80°）÷2=50°。∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C=50°。18\n3.（2022江苏镇江2分）如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的周长的比为▲，面积的比为▲。【答案】1：2；1：4。【考点】三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC。∴△ADE∽△ABC且相似比等于。∴△ADE和△ABC的相似比是1：2；∴△ADE和△ABC的面积比是1：4。4.（2022江苏镇江2分）如图，△ABC中，∠ABC＝900，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，则AB＝▲，CD＝▲。【答案】10；5。【考点】勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质。【分析】∵△ABC中，∠ABC＝900，AC＝6，BC＝8，∴根据勾股定理，得AB=10。∵D是AB的中点，∴CD=AB=5。5.（2022江苏镇江2分）如图1，点C、F在BE上，∠C＝∠F，BC＝EF，请补充条件：▲（写一个即可），使△ABC≌△DEF。如图2，∠1＝∠2，请补充条件：▲_(写一个即可)，使△ABC∽△ADE。18\n【答案】∠B＝∠E；∠B＝∠D。（答案不唯一）【考点】开放型，全等、相似三角形的判定。【分析】如图1，由∠C＝∠F，BC＝EF，则补充条件∠B＝∠E，可根据ASA判定△ABC≌△DEF；补充条件∠A＝∠D，可根据AAS判定△ABC≌△DEF；补充条件AC＝DF，可根据SAS判定△ABC≌△DEF。如图2，由∠1＝∠2，则补充条件∠B＝∠D或∠C＝∠E或，可判定△ABC∽△ADE。6.（2022江苏镇江2分）已知，如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，则DE=▲,△ADE与△ABC的周长比是▲。【答案】3；1：2。【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】∵AD=BD，AE=EC，∴DE是△ABC的中位线。∴DE∥BC，且DE=BC=3。∴△ADE∽△ABC。∵DE：BC=1：2，∴△ADE与△ABC的周长比为1：2。7.（2022江苏镇江2分）如图①，∠ABC=∠DCB，请补充一个条件▲，使△ABC≌△DCB；如图②，∠1=∠2，请补充一个条件▲，使△ABC∽△ADE．【答案】∠A=∠D；∠C=∠AED。（答案不唯一）【考点】开放型，全等三角形的判定，相似三角形的判定。18\n【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．图①中有一组边BC=CB（公共）和角相等∠ABC=∠DCB，只要再加一条件即可：补充∠A=∠D可由AAS判定△ABC≌△DCB；补充∠ACB=∠DBC可由ASA判定△ABC≌△DCB；补充AB=DC可由SAS判定△ABC≌△DCB。图②由∠1=∠2可得∠DAE=∠BAC，因此要△ABC∽△ADE只要补充∠C=∠AED或∠B=∠D或即可。本题答案不唯一。8.（2022江苏镇江2分）若的补角是120°，则＝▲°，▲。【答案】60；。【考点】补角，特殊角的三角函数值。【分析】根据补角的概念求出的值，再根据特殊角的三角函数值求解即可：∵的补角是120°，∴=180°－120°=60°，∴。9.（2022江苏镇江3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上的一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=▲，△ADE与△ABC的周长之比为▲，△CFG与△BFD的面积之比为▲。10.（2022江苏镇江2分）如图(1)，∠ABC=∠DBC，请补充一个条件：▲，使△ABC≌△DBC。如图(2)，∠1=∠2，请补充一个条件：▲，使△ABC∽△ADE。18\n11.（2022江苏镇江2分）如图，DE是△ABC的中位线，DE=2cm，AB+AC=12cm，则BC=▲cm，梯形DBCE的周长为▲cm．【答案】4；12。【考点】三角形中位线定理。18\n【分析】∵DE是△ABC的中位线，DE=2cm，∴BC=2DE=2×2=4（cm）。∵DE是△ABC的中位线，∴BD=AB，CE=AC。∴梯形DBCE的周长为BD+CE+DE+BC=（AB+AC）+（BD+CE）=×12+6=12（cm）。12.（2022江苏镇江2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C，且DE//AB，若∠ACD＝50°，则∠A＝▲，∠B＝▲.【答案】50°，40°。【考点】平行线的性质、直角三角形的两锐角的关系。【分析】∵DE//AB，∠ACD＝50°，∴由两直线平行，内错角相等得∠A＝∠ACD＝50°。∵∠ACB＝90°，∴由直角三角形的两锐角互余得∠B＝90°－∠A＝40°。13.（2022江苏常州2分）若∠的补角为120°，则∠=▲，Sin=▲。【答案】600，。【考点】补角，特殊角的三角函数。【分析】利用补角和600角的正弦，直接得出结果：根据补角定义，∠α＝180°—120°＝60°，于是sinα＝sin60°＝。三、解答题1.（2022江苏镇江7分）已知：如图，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF，求证：AC＝DF【答案】证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC=EF。在△ABC和△DEF中，∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）∴AC＝DF。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】18\n欲证AC＝DF，则证明两三角形全等即可，已经有两个条件：AB＝DE，∠B＝∠DEF，只要再有一个条件就可以了；而BE＝CF，根据等量加等量和相等得出BC=EF，条件找到，由SAS全等可证。2.（2022江苏镇江8分）（1）a克糖水中有b克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为＿＿＿＿＿；若再添加c克糖（c>0），则糖的质量与糖水质量的比为＿＿＿＿＿＿，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式：＿＿＿＿＿＿＿。（2）如图，在直角三角形ABC中，∠B＝900，AB＝a，BC＝b(a>b),延长BA、BC，使AE＝CD＝c，直线CA、DE交于点F，又锐角三角函数有如下性质：锐角的正弦、正切值随锐角的增大而增大；锐角的余弦值随锐角的增大而减小。请运用该性质，并根据以上所提供的几何模型证明你提炼出的不等式。3.（2022江苏镇江4分）已知：如图，点A、E、F、D在同一条直线上，AE＝DF，BF⊥AD，CE⊥AD，垂足为F、E，BF＝CE.求证：AB＝DC. 【答案】证明：∵AE=DF，∴AF=DE。又∵BF⊥AD，CE⊥AD，∴∠AFB=∠DEC=90°。在△ABF和△DCE中，∵AF=DE，∠AFB=∠DEC=90°，BF=CE，18\n∴△ABF≌△DCE（SAS）。∴AB=DC。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合到本题中，证△ABF≌△DCE即可。4.（2022江苏镇江6分）如图，D是△ABC的边AC上一点，CD＝2AD，AE⊥BC，交BC于点E.若BD＝8，sin∠CBD=,求AE的长。【答案】解：过点D作DH⊥BC，垂足为H。在Rt△BDH中，DH=BD•sin∠CBD=8×=6。∵DH⊥BC，AE⊥BC，∴DH∥AE，△CDH∽△CAE。∴。又∵CD＝2AD，∴。∴AE=DH=×6=9。【考点】锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。【分析】过点D作DH⊥BC，垂足为H．根据三角函数求出DH的长度，再证明△CDH∽△CAE，运用相似三角形的性质求AE的长。5.（2022江苏镇江4分）已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠A=360，仿照图（1），请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形，（图（2）、图（3）供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）18\n【答案】解：【考点】开放型，作图（应用与设计作图）。【分析】利用等角对等边，通过做36度或72度的角即可解决问题，本题答案不唯一，如还可这样：6.（2022江苏镇江6分）已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，AB=5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程的两个实数根。（1）求m的值及AC、BC的长（BC>AC）（2）在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由。18\n【答案】解：（1）设方程的两个根分别是x1、x2。∴x1+x2=m+5，x1•x2=6m。∴。∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，∴。∴，∴m2-－m=0。∴m=0或m=2。当m=0时，原方程的解分别为x1=0，x2=5，但三角形的边长不能为0，所以m=0舍去；当m=2时，原方程为x2－7x+12=0，其解为x1=3，x2=4，所以两直角边AC=3，BC=4。∴m=2，AC=3，BC=4。（2）存在。已知AC=3，BC=4，AB=5，欲使以△AD1C为顶点的三角形与△ABC相似，则。∴，则CD1=。欲使以△AD2C为顶点的三角形与△ABC相似，则。∴BC=CD2=4。综上所述，在线段BC的延长线上是存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似，CD的长为或4。【考点】相似三角形的判定，根与系数的的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）先利用根与系数的关系与勾股定理求出m的值，再代入m的值求出AC、BC的长。（2）根据相似三角形的性质来解答此题，利用相似比即可求出CD的长。7.（2022江苏镇江8分）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E．（1）写出图中所有与△ABD相似的三角形；（2）探索：设=t，是否存在这样的t值，使得△ADF∽△EDB？说明理由．18\n【答案】解：（1）与△ABD相似的三角形有：△ACB，△ECD，△AFD，△EFB。（2）存在t值，使△ADF∽△EDB．理由如下：∵∠F=180°－∠FAD－∠FDA=90°－∠FDA，∠C=180°－∠CED－∠CDE=90°－∠CDE，∠FDA=∠CDE，∴∠F=∠C。∵∠ABD=∠C，∴∠F=∠ABD。在△ABD与△AFD中，∠F=∠ABD，∠FAD=∠BAD=90°，AD=AD，∴△ABD≌△AFD（AAS）。∵△ADF∽△EDB，∴△ADB∽△EDB，而相似比=。∴△ADB≌△EDB。∴∠ABD=∠EBD。∴∠F=∠ABD=∠EBD。∵∠F+∠ABD+∠EBD=90°，∴∠F=30°。∴∠C=30°。∴∠ABC=60°。∴∠ABC=60°。∴=tan∠ABC=。∴t=。【考点】全等、相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据相似三角形的判定得，与△ABD相似的三角形有△ACB，△ECD，△AFD，△EFB。（2）利用全等、相似三角形的判定和性质求出∠C的度数，根据直角三角形两锐角互余的关系求得∠ABC的度数，利用锐角三角函数定义求出t的值。8.（2022江苏镇江7分）已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2＋AE2=DE218\n【答案】证明：（1）∵∠ACB=∠DCE=900，∴∠ACD＋∠BCD=∠ACD＋∠ACE。∴∠BCD=∠ACE。∵BC=AC，DC=EC,∴△BCD≌△ACE（SAS）.（2）∵∠ACB=900，BC=AC，∴∠B=∠CAB=450。∵△BCD≌△ACE，∴∠B=∠CAE=450。∴∠DAE=∠CAE＋∠BAC=900。∴AD2＋AE2=DE2。【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。.【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和∠ACD＋∠BCD=∠ACD＋∠ACE，易由SAS证得结果。（2）由（1）可证△ADE是直角三角形，由勾股定理即可证得结果。9.（2022江苏省10分）如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：，，，）【答案】解：（1）设AB与交于点O。在中，∠OAD=600，AD=2∴。18\n又∵AB=10，∴OB=AB－OA=6。在中，∠OBE=∠OAD=600，∴（km）。∴观测点B到航线的距离为3km。（2）在中，，在中，，∴DE=OD＋OE=。在中，∠CBE=760，BE=3，∴。∴（km）。∵，∴（km/h）。答：该轮船航行的速度约为40.6km/h。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）解和即可求得观测点B到航线的距离。（2）解、和，求得CD的长，即可根据路程、时间和速度的关系求得该轮船航行的速度。10.（2022江苏镇江5分）已知：如图，在△ABC是，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC求证：AB=AC【考点】全等三角形，等腰三角形。18\n11.（2022江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x。①若，BM=，求x的值；②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。（2）①易证△BPM∽△CAP，∴，∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。解得x=或x=。②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。∵△ADM≌△APN，∴。∴。如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。18\n在Rt△BPS中，∵∠P=600，BP=x，∴PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。∴。∴。∴。∴当x=1时，S的最小值为。③连接PG，设DE交AP于点O。若∠BAD=150，∵∠DAP=600，∴∠PAG=450。∵△APD和△APE都是等边三角形，∴AD=DP=AP=PE=EA。∴四边形ADPE是菱形。∴DO垂直平分AP。∴GP=AG。∴∠APG=∠PAG=450。∴∠PGA=900。设BG=t，18\n在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG=。∴AG=PG=。∴，解得t=－1。∴BP=2t=2－2。∴当BP=2－2时，∠BAD=150。猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。设AO=a，则AD=AE=2a，OD=a。∴DG=DO－GO=（－1）a。又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。∵DH=AD=2a，∴GH=DH－DG=2a－（－1）a=（3－）a，HE=2DO－DH=2a－2a=2（－1）a。∵，，∴。∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。18
