2022-2022年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题9：三角形一、选择题1.（2022江苏常州2分）正六边形的边长、边心距、半径之比为【 】A．1∶1∶ B.2∶2∶ C.2∶∶2D.∶2∶2【答案】C。【考点】正多边形和圆，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形：设六边形的边长是a，则半径长也是a。如图，经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，则∠AOC=30°。在Rt△OBC中，OC=a•COS30°=。∴正六边形的边长、边心距、半径之比为a：：a=1：：1=2∶∶2。故选C。2.（江苏省常州市2022年2分）半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比是【】A.B.C.3:2:1D.1:2:3【答案】B。【考点】正多边形和圆，【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得：设圆的半径是r，则多边形的半径是r。则内接正三角形的边长是2rsin60°=r，内接正方形的边长是2rsin45°=r，正六边形的边长是r，∴半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为。故选B。3.（江苏省常州市2022年2分）已知正三角形的边长为6，则该三角形的外接圆半径为【】（A）（B）3（C）（D）1【答案】A。16用心爱心专心\n【考点】正多边形和圆，垂径定理，等腰（边）三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】先根据题意画出图形，再根据正三角形的特点求出∠BOC的度数，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质解答即可：如图所示，连接OB，OC，过O作OD⊥BC，∵△ABC是正三角形，∴∠BOC=120°。∵OB=OC，∴∠OBC=30°。又∵OD⊥BC，正三角形的边长为6，∴BD=3。在Rt△OBD中，。故选A。4.（江苏省常州市2022年2分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于【】A、44°B、68°C、46°D、22°【答案】D。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B的度数，从而在Rt△DCB中，求得∠DCB的度数：∵∠A=44°，AB=AC，∴∠B=∠C=68°。∵∠BDC=90°，∴∠DCB=22°。故选D。5.（江苏省常州市2022年2分）如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=4cm，则BC的长为【】16用心爱心专心\nA.8cmB.12cmC.11cmD.10cm【答案】B。【考点】比例的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】由可得，根据已知DE∥BC，可得△ADE∽△ABC。∴。又∵DE=4cm，∴BC=12cm。故选B。6.（江苏省2022年3分）如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中，能使的条件共有【】A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C。【考点】全等三角形的判定。【分析】根据全等三角形的判定方法可知：①，可用“SSS”判定；②，可用“SAS”判定；③，可用“ASA”判定；④，是“SSA”，不能判定；因此能使的条件共有3组。故选C。7.（2022江苏常州2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。若AC=，BC=2,则Sin∠ACD的值为【】A．B．C．D．16用心爱心专心\n【答案】A.【考点】直角三角形两锐角互余,锐角三角形定义，勾股定理。。故选A。8.（2022江苏常州2分）已知三角形三边的长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为【】A.13B.17C.22D.17或22【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】由三角形三边的长分别为4，9，知三角形三边的长分别为4，4，9或4，9，9，但由于4，4，9与三角形的构成条件“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”不符，因此，三角形三边的长只能分别为4，9，9，周长为22。故选C。二、填空题1.（江苏省常州市2022年2分）如图，在△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于点E、F，AE：EB=3：2，则AF：FC=▲；S△AEF：S△ABC=▲.【答案】3：2；9：25。【考点】平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质。【分析】利用平行线分线段成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方求解∵EF∥BC，∴AF：FC=AE：BE=3：2。∴AE：AB=3：5。∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC。∴S△AEF：S△ABC=AE2：AB2=9：25。2.（江苏省常州市2022年2分）如图，在△ABC中，∠ACB=900，BC=4，AC=5，CD⊥AB，则sin∠ACD的值是▲；tan∠BCD的值是▲_.【答案】；。16用心爱心专心\n【考点】勾股定理，直角三角形两锐角的关系，锐角三角函数的定义。【分析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=5，根据勾股定理就可以求出AB的长。根据直角三角形两锐角的关系，可把求sin∠ACD与求tan∠BCD的值的问题转化为求Rt△△ABC的边的比的问题：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=5，∴。又∵CD⊥AB，∴∠ACD=90°－∠A=∠B，∠BCD=90°－∠B=∠A。∴，。3.（江苏省常州市2022年1分）如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面为▲。【答案】8。【考点】平行线之间的距离，三角形的面积。【分析】根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△ABD的面积可求出高，然后求△ACE的面积即可：在△ABD中，当BD为底时，设高为h，在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，∵AE∥BD，∴h=h′。∵△ABD的面积为16，BD=8，∴h=4。∴△ACE的面积=×4×4=8。4.（江苏省常州市2022年3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上的一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=▲，△ADE与△ABC的周长之比为▲，△CFG与△BFD的面积之比为▲。【答案】2；1：2；1：6。【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。16用心爱心专心\n【分析】∵D、E分别是AB和AC的中点，G是CE的中点，∴DE∥BC，DE=BC。∴△ADE∽△ABC，△GED≌△GCF。∴DE=CF=1。∴CF=BC。又∵CF=1，∴BC=2。∴△ADE与△ABC的周长之比为DE：BC=1：2。又∵△ADE与△ABC的面积之比为1：4，∴△ADE与四边形DECB的面积之比为1：3。∵△ADE与△DEG的面积之比为2：1，∴△CFG与△BFD的面积之比为1：6。5.（江苏省常州市2022年3分）如图，已知DE∥BC，AD=6，DB=3，BC=9.9，∠B=50°，则∠ADE=▲度，DE=▲，=▲．【答案】50；6.6；。【考点】平行线的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=50°。∴△ADE∽△ABC。∴AD：AB=DE：BC。∴AD：（AD+DB）=DE：BC，即6：9=DE：9.9。∴DE=6.6。∴△ADE与△ABC的面积比是。6.（江苏省常州市2022年2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则tanB＝▲，sinA＝▲。【答案】2；。【考点】勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝。∴tanB＝，sinA＝。16用心爱心专心\n三、解答题1.（2022江苏常州4分）sin600+cos300+tan450【答案】解：∵sin60°=，cos30°=，tan45°=1，∴原式=＋＋1=。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】根据题意，将特殊角的三角函数值代入即得答案。2.（2022江苏常州5分）已知：如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF。求证：∠A＝∠D。【答案】证明：∵BE=CF，∴BC=EF，又∵AB=DE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）。∴∠A=∠D。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】由BE=CF可证得BC=EF，又有AB=DE，AC=DF，根据SSS证得△ABC≌△DEF⇒∠A=∠D。3.（江苏省常州市2022年8分）如图，已知测速站P到公路L的距离PO为40米，一辆汽车在公路L上行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒，并测得∠APO=600，∠BPO=300，计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米（结果保留四个有效数字），并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度。16用心爱心专心\n4.（江苏省常州市2022年4分）不用计算器求值：【答案】解：原式=,【考点】特殊角的三角函数值，二次根式化简。【分析】将题中特殊角的三角函数值代入原式，化简可得答案。5.（江苏省常州市2022年9分）如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇。（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？16用心爱心专心\n【答案】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于点D．∵∠EAC=30°，∠HAB=45°，∴∠CAB=60°+45°=105°。∵CG∥EA，∴∠GCA=∠EAC=30°。∵∠FCD=75°，∴∠BCG=15°，∠BCA=15°+30°=45°。∴∠B=180°－∠BCA-∠CAB=30°。在Rt△ACD中，∠ACD=45°，AC=，∴AD=AC•sin45°=（千米），CD=AC•cos45°=30（千米）。在Rt△ABD中，∠B=300，则AB=2AD=60千米，BD=千米。∴甲船从C处追赶上乙船的时间是：60÷15－2=2（小时）。（2）∵BC=CD+BD=30+千米，∴甲船追赶乙船的速度是（30+）÷2=15+（千米/小时）。答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时，甲船追赶乙船的速度是每小时15+千米。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据方向角可以得到∠BCA=45°，∠B=30°，过A作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，根据三角函数就可求得AD的长，再在Rt△ABD中，根据三角函数即可求得AB的长，就可求得时间。（2）求出BC的长，根据（1）中的结果求得时间，即可求得速度。6.（江苏省常州市2022年7分）如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形．（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．16用心爱心专心\n7.（江苏省常州市2022年7分）已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2＋AE2=DE2【答案】证明：（1）∵∠ACB=∠DCE=900，∴∠ACD＋∠BCD=∠ACD＋∠ACE。∴∠BCD=∠ACE。16用心爱心专心\n∵BC=AC，DC=EC,∴△BCD≌△ACE（SAS）.（2）∵∠ACB=900，BC=AC，∴∠B=∠CAB=450。∵△BCD≌△ACE，∴∠B=∠CAE=450。∴∠DAE=∠CAE＋∠BAC=900。∴AD2＋AE2=DE2。【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。.【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和∠ACD＋∠BCD=∠ACD＋∠ACE，易由SAS证得结果。（2）由（1）可证△ADE是直角三角形，由勾股定理即可证得结果。8.（江苏省常州市2022年7分）已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．【答案】证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知），∴FA=EC（等量代换）。∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）。又∵AE=CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）。（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF=60°（等边三角形的性质）。∴∠BCA=60°（等量代换）。由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°。又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°。∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）。∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）。【考点】全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质三角形外角性质。【分析】（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE。16用心爱心专心\n（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等边三角形。9.（江苏省常州市2022年7分）已知:如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE.求证:AC=DE.【答案】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC=∠CAE＋∠DAC，即∠BAC=∠DAE。又∵AB=AD，AC=AE，∴△ABC≌△DAE（SAS）。∴BC=DE。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】先通过∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠DAE，从而证明△ABC≌△DAE，得到BC=DE。10.（江苏省常州市2022年8分）如图，港口B位于港口O正西方向120海里外，小岛C位于港口O北偏西60°的方向。一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C，在小岛C用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去.(1)快艇从港口B到小岛C需要多少时间?(2)快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇?【答案】解：（1）由题意可知：∠CBO=60°，∠COB=300。∴∠BCO=900。在Rt△BCO中，∵OB=120，∴BC=60，OC=。16用心爱心专心\n∴快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60=1（小时）。
（2）设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考查船在OA上的D处相遇，则CD=60x。∵考查船与快艇是同时出发，∴考查船从O到D行驶了（x+2）小时。∴OD=20（x+2）。过点C作CH⊥OA，垂足为点H，在Rt△OHC中，∵∠COH=30°，OC=，∴CH=，OH=90。∴DH=OH－OD=90－20（x+2）=50－20x．在Rt△CHD中，CH2+DH2=CD2，∴()2+（50－20x）2=（60x）2，整理得：8x2+5x－13=0。解得：x1=1，x2=。∵x＞0，∴x=1。答：快艇后从小岛C出发后最少需要1小时才能和考查船相遇。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），【分析】（1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间。（2）过C作CH⊥OA，垂足为H。设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考查船在OA上的D处相遇，则CD=60x，OD=20（x+2）．根据直角三角形的性质可解得x的值，从而求得快艇从小岛C出发后和考查船相遇的最短的时间。11.（江苏省2022年10分）如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：，，，）16用心爱心专心\n【答案】解：（1）设AB与交于点O。在中，∠OAD=600，AD=2∴。又∵AB=10，∴OB=AB－OA=6。在中，∠OBE=∠OAD=600，∴（km）。∴观测点B到航线的距离为3km。（2）在中，，在中，，∴DE=OD＋OE=。在中，∠CBE=760，BE=3，∴。∴（km）。∵，∴（km/h）。答：该轮船航行的速度约为40.6km/h。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）解和即可求得观测点B到航线的距离。（2）解、和，求得CD的长，即可根据路程、时间和速度的关系求得该轮船航行的速度。12.（江苏省常州市2022年5分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD＝CE，∠DBC＝∠ECB。求证：AB＝AC16用心爱心专心\n【答案】证明：∵BD＝CE，∠DBC＝∠ECB，BC＝CB，∴△BCE≌△CBD（SAS）。∴∠ACB＝∠ABC。∴AB＝AC。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。【分析】要想说明一个三角形是等腰三角形，只要能找到两个相等的角或两条相等的边即可，由已知用SAS可求得△BCE≌△CBD，从而根据全等三角形对应角相等的性质得∠ACB＝∠ABC。由等角对等边即得证。13.（2022江苏常州5分）已知：如图，在△ABC是，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC求证：AB=AC【考点】全等三角形，等腰三角形。14.（2022江苏常州5分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：∠DBC=∠DCB。16用心爱心专心\n【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。又∵AB=AC，AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SAS）。∴BD=CD。∴∠DBC=∠DCB。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】由已知，根据SAS可证△BAD≌△CAD，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得BD=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠DBC=∠DCB。16用心爱心专心
