2022-2022年江苏南通中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题9：三角形一、选择题1.（2022江苏南通3分）按CZ1206型科学计算器中的白键使显示器左边出现DEG后，求cos90的值，以下按键顺序正确的是【】A、 B、 C、 D、【答案】C。【考点】计算器的应用（三角函数）。【分析】按CZ1206型科学计算器中的白键使显示器左边出现DEG后，即进入角度制单位，只需键入即可。故选C。2.（江苏省南通市2022年3分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有【】A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】C。【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】根据等腰梯形的性质及全等三角形的判定方法进行分析即可：∵梯形ABCD中，AB=CD，∴∠ABC=∠DCB。∵BC=BC，AD=AD，∴△ABC≌△DCB，△ABD≌△DCA。∴∠DBC=∠ACB，∠BAC=∠CDB。∴∠ABD=∠DCA。∴△ABO≌△DCO。所以共有三对，故选C。3.（江苏省南通市2022年2分）已知等腰三角形的一个底角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于【】16\nA、150°B、120°C、75°D、30°【答案】B。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】根据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的两个底角相等进行分析：由题意得，顶角=180°－30°×2=120°。故选B。4.（江苏省南通市2022年2分）计算=【】A、B、C、D、【答案】A。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】∵，∴。故选A。5.（江苏省南通市课标卷2022年2分）已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似【】A．2cm，3cmB．4cm，5cmC．5cm，6cmD．6cm，7cm【答案】C。【考点】相似三角形的判定。【分析】根据三组对应边的比分别相等的两个三角形相似来进行分析：∵△ABC的三边的比是6：7.5：9即4：5：6，∴当△DEF的一边长为4cm时：若为最短边，则另两边分别为5cm和6cm；若为最长边时，另两边分别为和；若为中间的边时，则另两边分别是和。故选C。6.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于【】16\nA、6（+1）mB、6（﹣1）mC、12（+1）mD、12（﹣1）m【答案】A。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】利用所给的角的三角函数用AB表示出BD，CB；根据BC﹣DB=CD即可求出建筑物AB的高度：∵，∴CD=BC﹣BD=AB（﹣1）=12。∴AB=6（+1）。故选A。7.（江苏省南通市2022年4分）已知△ABC和△A′B′C′是位似图形．△A′B′C′的面积为6cm2，周长是△ABC的一半．AB＝8cm，则AB边上高等于【】A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm【答案】B。【考点】位似变换。【分析】图形的位似就是特殊的相似，就满足相似的性质，因此，∵△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′的周长是△ABC的一半，∴位似比为2。∴。又∵AB＝8cm，∴AB边上的高等于6cm。故选B。8.（江苏省2022年3分）如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中，能使的条件共有【】16\nA．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C。【考点】全等三角形的判定。【分析】根据全等三角形的判定方法可知：①，可用“SSS”判定；②，可用“SAS”判定；③，可用“ASA”判定；④，是“SSA”，不能判定；因此能使的条件共有3组。故选C。9.（2022江苏南通3分）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝【】A．360ºB．250ºC．180ºD．140º【答案】B。【考点】三角形内角和定理，三角形外角性质。【分析】∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°。故选B。二、填空题1.（2022江苏南通2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AB＝10cm，D为AB的中点，则CD＝▲cm。【答案】5。【考点】直角三角形斜边上的中线性质。【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD：如图，∵∠ACB＝900，D是AB的中点，∴CD=AB又∵AB＝10cm，∴CD＝5cm。2.（2022江苏南通2分）如图，在离地面高度为5米16\n的C处引拉线固定电线杆，拉线和地面成α角，则拉线AC的长为▲_米（用α的三角函数表示）。【答案】。【考点】解直角三角形的的应用，锐角三角函数定义。【分析】如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=α，CD=5，∵sin∠CAD=，∴AC=。3.（江苏省南通市2022年2分）如图，已知AD∶AB=1∶3，DE∥BC，则S△ADE∶S△ABC＝▲．【答案】1：9。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴S△ADE：S△ABC=（AD）2：（AB）2=（AD∶AB）2=（1∶3）2=1：9。4.（江苏省南通市2022年2分）已知等腰三角形的两边长分别是1cm和2cm，则这个等腰三角形的周长为▲。【答案】5cm。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析：当腰长为1cm时，1+1=2cm，不符合三角形三边关系，故舍去；当腰长为2cm时，符合三边关系，其周长为2+2+1=5cm。5.（江苏省南通市2022年2分）16\n一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处，如图所示，上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是▲海里（结果保留根号）。7.（江苏省南通市2022年3分）如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，又量得BC＝160m，则A、B两点之间的距离为▲m（结果保留根号）【答案】。16\n【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】在直角三角形中，直接利用余弦函数定义解答：连接AB，∵∠ABC=30°，BC=160，∴（m）。8.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）如图，DE与△ABC的边AB、AC分别相交于D、E两点，且DE∥BC．若DE=2cm，BC=3cm，EC=cm，则AC=▲ cm．【答案】2。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】根据已知可得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例即可求得AC的长设AC=x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即。解得x=2，即AC=2cm。9.（江苏省南通市2022年3分）已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE＝3cm，则BC＝▲cm．【答案】6。【考点】三角形中位线定理。【分析】∵△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE是三角形的中位线。∵DE=3cm，∴BC=2DE=6cm。10.（江苏省南通市2022年3分）已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝▲度．16\n【答案】120。【考点】全等三角形的性质，三角形的外角性质，【分析】结合已知运用两三角形全等及一个角的外角等于另外两个内角的和，就可以得到∠CAE，然后又可以得到∠AEB：∵△OAD≌△OBC，∴∠D=∠C=25°。∴∠CAE=∠O+∠D=95°。∴∠AEB=∠C+∠CAE=25°+95°=120°。11.（江苏省南通市2022年3分）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为▲．【答案】1∶2。【考点】相似三角形的性质。【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比直接得出：△ABC与△DEF的周长比等于△ABC与△DEF的相似比1∶2。12.（江苏省南通市2022年3分）如图，为了测量河宽AB(假设河的两岸平行)，测得∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，CD＝60m，则河宽AB为▲m(结果保留根号)．【答案】A。【考点】解直角三角形，特殊角三角函数，二次根式计算。【分析】在Rt∆ABD和Rt∆ABC中三、解答题1.（江苏省南通市2022年6分）如图，光明中学16\n初三（1）班学生用自己制作的测倾器测量该校旗杆的高度．已知测倾器的杆高DC=1.2m，测得旗杆顶的仰角α=32°，测点D到旗杆的水平距离BD=20m，求旗杆AB的高度(精确到0.01m)．（下列数据可供选择：sin32°=0.5299，cos32°=0.8480，tg32°=0.6249．）【答案】解：∵在Rt△ACE中．，∴AE=CEtanα=BDtanα=20tan32°≈12.50m。∴AB=AE＋EB=AE＋CD=13.70m。答：旗杆AB的高度是13.70m。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，矩形的性质。【分析】在△ACB中利用三角函数定义求出AE的长即可得到旗杆AB的高度。2.（江苏省南通市2022年5分）计算：【答案】解：原式=【考点】特殊角的三角函数值。【分析】把特殊角的三角函数值代入，再计算。3.（江苏省南通市2022年8分）已知：如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2．（1）图中哪个三角形与△FAD全等？证明你的结论；（2）探索线段BF、FG、EF之间的关系，并说明理由．【答案】解：（1）△FEB≌△FAD。证明如下：∵AD∥BE，∴∠1=∠E。16\n又∠EFB=∠AFD，BE=AD，∴△FEB≌△FAD（AAS）。
（2）BF2=FG•EF。理由如下：∵∠1=∠E，∠1=∠2，∴∠2=∠E。又∵∠GFB=∠BFE，∴△BFG∽△EFB。∴，即BF2=FG•EF。【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）已知有一组对顶角和一对边相等，根据平行线的性质又可得到一组角相等，则利用AAS判定△FEB≌△FAD。（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可得到△BFG∽△EFB，根据相似三角形的对应边成比例即可得到BF2=FG•EF。4.（江苏省南通市大纲卷2022年6分）如图,为了测量一条河的宽度,一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向,测量员向正东方向走180米到点B处,测得这棵树在南偏西60°的方向,求河的宽度（结果保留根号）.【答案】解：在Rt△ABC中，∵∠ABD=60°，∴∠CAB=60°。∴。∴河宽为米。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）。【分析】在直角三角形中，利用BC的长，以及∠ABC的度数，根据三角函数即可求得AC的长。5.（江苏省南通市大纲卷2022年10分）如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB=∠DEC=90°，AE=DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC=∠DCB=90°，AB=2cm，求图中阴影部分的面积．16\n【答案】解：（1）证明：∵∠AEB=∠DEC=90°，∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC，即∠AEC=∠DEB。∵△BEC是等边三角形，∴CE=BE。又∵AE=DE，∴△AEC≌△DEB（SAS）。（2）连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD。由（1）△AEC≌△DEB得知AC=BD。．∵∠ABC=∠DCB=90°，∴∠ABC+∠DCB=180°。∴AB∥DC。∵AB2=AC2－BC2=BD2－BC2=CD2，∴AB=CD。∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形。∴OA=OB=OC=OD。又∵BE=CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC。∴BF=FC，∠EFB=90°。∴OF=AB=×2=1。∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC=60°。在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠ABE=∠ABC－∠EBC=90°－60°=30°。∴BE=AB•cos30°=2×。在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠EBF=60°，∴BF=BE•cos60°=，EF=BE•sin60°=。∴OE=EF－OF=。∵AE=ED，OE=OE，AO=DO，∴△AOE≌△DOE．∴。∴。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。16\n【分析】（1）在△AEB和△DEC中，已知AE=DE，BE=CE，且夹角相等，根据SAS可证全等。（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而△AEO面积=，所以解题中心即为求出OE和BF，由（1）中结论和已知条件即可求解。6.（江苏省南通市2022年6分）某商场门前的台阶截面如图所示．已知每级台阶的宽度(如CD)均为30cm，高度(如BE)均为20cm．为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9°．请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离．(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16)【答案】解：过C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F。由条件，得CF=80cm，BF=90cm。在Rt△CAF中，，∴AF=CFtan9°≈800.16=500。∴AB=AF－BF=500－90=410（cm）。答：从斜坡起点A到台阶前点B的距离为410cm。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义。【分析】读懂题意，得到楼梯的高度和长度，然后构造直角三角形，利用三角函数得到和AB相关的线段的长度。7.（江苏省南通市2022年7分）如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险?16\n【答案】解：过P作PC⊥AB于C点，根据题意，得AB＝18×＝6，∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PCB＝90°，∴PC＝BC。在Rt△PAC中，tan30°＝，即，解得PC＝。∵＞6，∴海轮不改变方向继续前进无触礁危险。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）【分析】过点P作PC⊥AB于C点，在Rt△PBD和Rt△PAC中，根据三角函数AC、BC就可以PC表示出来，在直角△PAC中，根据三角函数，就得到一个关于PC的方程，求得PC，从而判断如果海轮不改变方向继续前进有没有暗礁的危险。8.（江苏省2022年10分）如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：，，，）【答案】解：（1）设AB与交于点O。在中，∠OAD=600，AD=2∴。16\n又∵AB=10，∴OB=AB－OA=6。在中，∠OBE=∠OAD=600，∴（km）。∴观测点B到航线的距离为3km。（2）在中，，在中，，∴DE=OD＋OE=。在中，∠CBE=760，BE=3，∴。∴（km）。∵，∴（km/h）。答：该轮船航行的速度约为40.6km/h。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）解和即可求得观测点B到航线的距离。（2）解、和，求得CD的长，即可根据路程、时间和速度的关系求得该轮船航行的速度。9.（江苏省南通市2022年9分）光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．（已知）【答案】解：过C作CD⊥AB于D点，由题意可知AB=50×20=1000m，∠CAB=30°，∠CBA=45°，∴。∵AB=AD+BD，∴，16\n解得CD=。【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】求解有关锐角三角函数问题时，若遇到斜三角形，一般通过作垂线，构造出直角三角形来解决问题。本题可以过C作CD⊥AB于D点，构造出直角三角形ACD和BCD利用锐角三角函数列式求解。10.（江苏省南通市2022年8分）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的三个条件（请从其中选择一个）：①AB=ED；②BC=EF；③∠ACB=∠DFE．11.（2022江苏南通8分）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60º方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处．求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)．16\n【答案】解：∵AB为南北方向，∴如图，△AEP和△BEP均为直角三角形。在Rt△AEP中，∠APE=90°－60°=30°，AP=100，∴AE=AP=×100=50，EP=100×cos30°=50。在Rt△BEP中，∠BPE=90°－45°=45°，∴BE=EP=50。∴AB=AE＋BE=50＋50。答：测量船从A处航行到B处的路程为50＋50海里。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】构造直角三角形，将AB分为AE和BE两部分，分别在Rt△BEP和Rt△BEP中求解。16
