2022-2022年江苏泰州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题5：数量和位置变化一、选择题1.（江苏省泰州市2022年4分）向高层建筑屋顶的水箱注水，水对水箱底部的压强p与水深h的函数关系的图象是【】（水箱能容纳的水的最大高度为H）。【答案】D。【考点】函数的图象，跨学科问题的应用。【分析】由压强公式，是水的密度，g是重力加速度9.8，h是水中某点距水面的高度，由此可知，压强p与水深h的函数关系是一次函数的关系，且p随着h的增加而增加。故选D。2.（江苏省泰州市2022年4分）向一容器内均匀注水，最后把容器注满.在注水过程中，容器的水面高度与时间的关系如右图所示，图中PQ为一线段，则这个容器是【】【答案】C。【考点】函数的图象。【分析】观察图象，开始上升缓慢，最后匀速上升，再针对每个容器的特点，选择合适的答案：根据图象，水面高度增加的先逐渐变快，再匀速增加，故容器从下到上，应逐渐变小，最后均匀。故选C。3.（江苏省泰州市2022年3分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是【】19\nA.B.C.D.【答案】C。【考点】函数的图象。【分析】露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变：因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度。故选C。4.（江苏省泰州市2022年3分）已知：如图，，，以为位似中心，按比例尺，把缩小，则点的对应点的坐标为【】A．或B．或C．D．【答案】A。【考点】位似变换。【分析】∵E（－4，2），位似比为1：2，∴点E的对应点E′的坐标为（2，－1）或（－2，1）。故选A。5.（江苏省泰州市2022年3分）函数中，自变量的取值范围是【】A．B．C．D．【答案】C。【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选C。6.（江苏省泰州市2022年3分）19\n2022年奥运会日益临近，某厂经授权生产的奥运纪念品深受人们欢迎，今年1月份以来，该产品原有库存量为（）的情况下，日销量与产量持平，3月底以来需求量增加，在生产能力不变的情况下，该产品一度脱销，下图能大致表示今年1月份以来库存量与时间之间函数关系的是【】【答案】B。【考点】函数的图象。【分析】按照产销量进行分析，第一阶段，1月份是日销量与产量持平，库存量不变，即图象是与轴平行的线段；第二阶段，3月份库存量减少甚至脱销，销量大于产量，库存量减少，图象为下降线段，直至=0。故选B。7.（江苏省泰州市2022年3分）二次函数的图像可以由二次函数的图像平移而得到，下列平移正确的是【】A.先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度C.先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】B。【考点】二次函数图象与几何变换【分析】把二次函数化为顶点坐标式，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到．故选B。二、填空题1.（江苏省泰州市2022年2分）为了增强公民的节水意识，某制定了如下用水收费标准：每户每月的用水超过10吨时，水价为每吨1.2元，超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x＞10），应交水费y元，则y关于x的函数关系式是▲.【答案】y=1.8x－6（x＞10）。19\n【考点】根据实际问题列一次函数关系式。【分析】根据水费y=10吨的水费+超过10吨的水费得出：y=1.2×10+（x－10）×1.8=1.8x－6。所以y关于x的函数关系式是y=1.8x－6（x＞10）。2.（江苏省泰州市2022年3分）函数的自变量x的取值范围是▲.【答案】。【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。3.（江苏省泰州市2022年3分）如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为▲.（结果保留根号）．【答案】（0，）。【考点】坐标与图形性质，解直角三角形。【分析】过点B作y轴的垂线，垂足为点C。在Rt△ABC中，∵AB=4，∠BAC=45°，∴AC=BC=4。在Rt△OBC中，∵∠OBC=30°，∴OC=BC•tan30°=∴AO=AC+CO=。∴A（0，）。4.（江苏省泰州市2022年3分）已知点A、B的坐标分别为（2，0），（2，4），以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标：▲．【答案】（4，0）（答案不唯一）。【考点】平面直角坐标系，全等三角形的判定。【分析】如图，根据题意在平面直角坐标系中标出点A、点B19\n，要使以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等，因AB是公共边，所以∠PBA或∠PAB为直角，且PA或PB等于2，由此可标出P1（4，0），再由对称、翻折等图形的变化可求得满足条件的点P有4个：（4，0），（4，4），（0，4），（0，0）（只要写出一个即可）。5.（江苏省泰州市2022年3分）点P（－3，2）关于轴对称的点的坐标是▲。【答案】（－3，－2）。【考点】关于轴对称的点的坐标特征。【分析】根据关于轴对称的点特征，它们的坐标，横坐标不变，纵坐标符号相反，从而点P（－3，2）关于轴对称的点的坐标是（－3，－2）。6.（江苏省泰州市2022年3分）“一根弹簧原长10cm，在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度（cm）与所挂物体质量（kg）之间的函数关系式为（0≤≤5）。”王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是：▲（只需写出1个）。【答案】物体的质量每增加1kg弹簧伸长0.5cm。【考点】函数关系式。【分析】将污染部分看做问题的结论，把问题的结论看作问题的条件，根据条件推得结论即可。根据函数关系式为进行解读得出结果。当=1时，弹簧总长为10.5cm，当=2时，弹簧总长为11cm，∴每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm。三、解答题1.（江苏省泰州市2022年8分）已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D。（1）求m、n的值，并在给定的直角坐标系中作出一次函数的图象；（2）如果点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同的速度沿线段AD、CA向D、A运动，设AP＝k。①k为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？②k为何值时，△APQ的面积取得最大值？并求出这个最大值。19\n【答案】解：（1）∵把（4，n）代入反比例函数，得：n=6∴点C的坐标为（4，6）。∵把（4，6）代入一次函数，得：m=3∴一次函数表达式为。令x=0，则y=3；令y=0，则x=-4．∴在给定的直角坐标系中取A（0，4），B（3，0），作直线AB，即为一次函数的图象（如图）。
（2）①根据题意，得AP=CQ=k，AD=8，CD=6则根据勾股定理，得AC=10，∴AQ=10－k。又∵AO=4，OB=3，∴AB=5。当∠APQ=90°时，由△APQ∽△AOB有，即，解得。当∠APQ=90°时，由△AQP∽△AOB有，即，解得。∴当或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似。②作QM⊥x轴于M，则AD=8，CD=6，AQ=10－k，由△AQM∽△ACD，有，即。则。∴当k=5时，该三角形的面积的最大值是7.5。19\n【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）首先根据反比例函数的解析式求得n的值，再根据点C的坐标求得m的值。根据直线与坐标轴的交点坐标准确画出函数的图象。（2）①已知△AOB是直角三角形，因为∠BAO是公共角，所以要使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，则∠APQ=90°或∠AQP=90°。根据题意表示对应的两条边，再根据相似三角形的对应边的比相等列方程求解。②首先根据相似三角形的对应边的比相等表示出AP边上的高，再进一步表示三角形的面积，根据函数解析式分析其最值。2.（江苏省泰州市2022年10分）点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲于点A，连结OA.⑴如图①，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？若不变，请求出Rt△AOP的面积；若改变，试说明理由.(3分)⑵如图②，在x轴上点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连结BD交AP于点C.设△AOP的面积为S1，梯形BCPD的面积为S2，则S1与S2大小关系是S1__________S2(填“>”或“<”或“=”).（3分）⑶如图③，AO的延长线与双曲线的另一个交点为点F，FH垂直于x轴，垂足为点H，连结AH、PF，试证明四边形APFH的面积为一常数.（4分）【答案】解：（1）当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小不变，总等于。理由如下：设点A（x，），则。（2）＞。（3）证明：设A的坐标是（a，b），∵反比例函数是中心对称图形，∴四边形APFH是平行四边形，且F点的坐标是（－a，－b）。19\n∴AP=b，HP=2a。∴四边形APFH的面积是2ab。又∵（a，b）在双曲线y=的图象上，因而ab=1，∴四边形APFH的面积是2ab=2。∴四边形APFH的面积为一常数【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，平行四边形的性质和面积，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）依据反比例函数比例系数k的几何意义，得出两个三角形的面积都等于|k|=，因而当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小不变。（2）根据（1）可以得到△BDO的面积等于△AOP的面积，即S1。而△BDO的面积大于梯形BCPD的面积。所以S1＞S2。（3）根据反比例函数是中心对称图形的性质，得四边形APFH是平行四边形，并求得四边形APFH的面积是2。3.（江苏省泰州市2022年9分）观察图1至图5中小黑点的摆放规律,并按照这样的规律继续摆放.记第n个图中小黑点的个数为y.解答下列问题：（1）填表：n12345…y13713…（2）当n＝8时,y＝＿＿＿＿＿＿；（3）根据上表中的数据,把n作为横坐标,把y作为纵坐标,在左图的平面直角坐标系中描出相应的各点(n,y),其中1≤n≤5；19\n（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？如果在某一函数的图象上,请写出该函数的解析式.【答案】解：（1）n12345…y1371321…（2）57。（3）描点如图：（4）在一个函数的图象上，该函数的解析式为。【考点】分类归纳（图形变化类），二次函数的图象和应用。【分析】（1）图1黑点的个数是：1；图2黑点的个数是：2=1+（2－1）×2；图3黑点的个数是：3=1+（3－1）×3；…图n黑点的个数是：。∴n=5时，，据此填表。（2）当n＝8时，。（3）描点作图。（4）由（1）可知，各点在一个函数的图象上，该函数的解析式即为。4.（江苏省泰州市2022年14分）将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在轴上，OA=6，OC=10.⑴如图⑴，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；⑵如图⑵，在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G∥A′O交E′F于T点，交OC′于G点，求证：TG=A′E′⑶在⑵的条件下，设T（，）①探求：与之间的函数关系式.②指出变量的取值范围.⑷如图⑶，如果将矩形OABC变为平行四边形OA＂B＂C＂，使OC＂=10，OC＂边上的高等于6,其它条件均不变,探求：这时T（）的坐标与之间是否仍然满足⑶中所得的函数关系,若满足,请说明理由；若不满足,写出你认为正确的函数关系式.19\n【答案】解：（1）设E（0，m），则OE=m，AE=6－m，OE=m，CD=10。∵OA=6，OC=10，∴根据折叠对称的性质，得DC=OC=10，∴在Rt△BCD中，根据勾股定理得BD=8，则AD=2。又∵根据折叠对称的性质，得AE=OE=m，∴在Rt△ADE中，根据勾股定理得（6－m）2+22=m2，解得m=。∴点E的坐标为（0，）。（2）连接OD′交E'F于P，由折叠可知E'F垂直平分OD'即OP=PD'，由OE'∥D'G，得出OE'=D'T。∴A′E'=TG。（3）①连接OT，OD′，交FE′于点P，由（2）可得OT=D'T。由勾股定理得x2＋y2=（6－y）2，得。②结合（1）可得AD'=OG=2时，x最小，从而x≥2，当E'F恰好平分∠OAB时，AD'最大即x最大，此时G点与F点重合，四边形AOFD'为正方形，故x最大为6。从而x≤6，∴2≤x≤6。（4）y与x之间仍然满足（3）中所得的函数关系式。理由如下：连接OT'仍然可得OT'=D''T'，即x2＋y2=（6－y）2，从而（3）中所得的函数关系式仍然成立。【考点】二次函数综合题，折叠对称的性质，待定系数法，勾股定理，平行的性质，正方形的判定和性质。【分析】（1）根据折叠的性质可得出DE=OE，OC=CD，如果设出E点的坐标，可用E的纵坐标表示出AE，ED的长，在Rt△ADE中应用勾股定理即可求得E的坐标。（2）本题可通过证D′T=OE′来求出，如果连接OD′，那么E′F必垂直平分OD′，如果设OD′与E′F的交点为P，那么OP=D′P，可得D′T=OE′．由此可证得A′E′=TG．（3）可先根据T的坐标表示出A′D′，A′E′，然后可在直角三角形A′D′E′中表示出D′E′，而D′E′又可用A′O－A′E′表示．可以此来求出y，x的函数关系式。19\n在（1）中给出的情况就是x的最小值的状况，可根据AD的长求出x的最小值，当x取最大值时，E′F平分∠OAB，即E′与A′重合，四边形E′OGD为正方形，可据此求出此时x的值．有了x的最大和最小取值即可求出x的取值范围。（4）（2）（3）得出的结论均成立，证法同上。5.（江苏省泰州市2022年14分）如图①，中，，．它的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，，点P从点A出发，沿的方向匀速运动，同时点Q从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．（1）求的度数．（2）当点P在AB上运动时，的面积S（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．（3）求（2）中面积S与时间之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．（4）如果点P，Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，的大小随着时间的增大而增大；沿着BC边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使的点P有几个？请说明理由．【答案】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D。∵A，B，∴DA=10－5=5，BD=。∴tan。∴.（2）设点P的速度为，则当=5时AP=5，DQ=5。过点P作PE⊥AC，交AC于点E，交轴于点F。∵，，19\n∴PE=，FP=。又∵OD=2，∴OQ=OD＋QD=2＋5。∵当=5时，的面积是30，∴。解得或=2。∵抛物线的解析式为S=，它的对称轴。当时，对称轴，与给出的抛物线的图形不相符，舍去。∴点P的运动速度为2个单位/秒。（3）由（2）得S，当=2时，S（）。∴当时，S有最大值为。此时，由（2），当，=2时，AP=9，∴在Rt△APE中，PE=ABsin300=，AE=ABcos300=。∴面积S取最大值时点P的坐标为。（4）当点P沿这两边运动时，的点P有2个。①当点P与点A重合时，，当点P运动到与点B重合时，∵AB=，∴OQ=12。作交轴于点M，作轴于点H，由得：，（∵）∴。19\n∴当点P在AB边上运动时，的点P有1个。②同理当点P在BC边上运动到点C时，可得OQ。而构成直角时交轴于N，∵ON－OQ=，∴ON＞OQ。∴。∵由①当点P运动到与点B重合时，。∴当点P在BC边上运动时，的点P有1个。∴综上所述，当点P沿AB和BC运动时，使的点P有2个。【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，实数的大小比较，三角形边角关系。【分析】（1）已知了AB和BD的长，那么tan，因此∠BAO=60°。（2）由函数的图形可知：当=5时，的面积是30，如果设点P的速度为，那么AP=5，那么P到AC的距离PE=，也就是P到OQ的距离为FP=。因此由，解得或=2。通过讨论时对称轴的位置得出与给出的抛物线的图形不相符的结论。因此=2是唯一解，即P的速度是2单位/秒。（3）根据（2）的求解过程即可得出S的解析式．然后根据函数的解析式来得出函数的最大值及此时对应的的取值，然后根据P，Q的速度和的取值，可求出P点的坐标。（4）本题其实主要是看P在A、B点和C点时∠OPQ的度数范围，因此分点P在AB边上运动和点P在BC边上运动两情况讨论即可。6.（江苏省2022年12分）如图，已知射线与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线的方向作匀速运动．设运动时间为秒．（1）请用含的代数式分别表示出点与点的坐标；19\n（2）以点为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点在点的左侧），连接PA、PB．①当与射线有公共点时，求的取值范围；②当为等腰三角形时，求的值．【答案】解：（1）∵，∴。∴。过点作⊥轴于点，∵，，∴。又∵，且，∴，即。∴。∴。∴。（2）①当的圆心由点向左运动，使点到点时，有，即。当点在点左侧，与射线相切时，过点作射线，垂足为，则由，得，则．解得。由，即，解得。∴当与射线有公共点时，的取值范围为19\n。②（I）当时，过作轴，垂足为，有。由（1）得，，，∴。又∵，∴，即。解得。（II）当时，有，∴，解得。（III）当时，有，∴，即。解得（不合题意，舍去）。综上所述，当是等腰三角形时，，或，或，或。【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，等腰三角形时的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由可得，从而得到点的坐标。作点作⊥轴于点，利用可得，从而得到点的坐标。（2）①当与射线有公共点时，考虑（I）当的圆心由点向左运动，使点到点时，的取值；（II）当点在点左侧，与射线相切时，的取值。当在二者之间时，与射线有公共点。②分，，三种情况讨论即可。7.（江苏省泰州市2022年12分）如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点．19\n⑴求的值；⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）【答案】解：（1）∵抛物线经过点D()，∴，解得c=6。（2）过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，∵AC将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC，∴DE=BF。又∵∠DME=∠BMF，∠DEM=∠BFM，∴△DEM≌△BFM（AAS）。∴DM=BM，即AC平分BD。∵c=6，∴抛物线为。∴A（）、B（）。∵D，M是BD的中点，∴M（）。设直线AC的解析式为y=kx+b，由直线经过A、M点，得19\n，解得。∴直线AC的解析式为。（3）存在。验证如下：设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AON中，易得AN=，于是以A点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“SAS”易得△AQP≌△ABP。8.（江苏省泰州市2022年12分）在平面直角坐标系O中，边长为（为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在轴正半轴上运动，顶点B在轴正半轴上运动（轴的正半轴、轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在轴正半轴上、点B在轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；（3）设点P到轴的距离为，试确定的取值范围，并说明理由。19\n【答案】解：（1）当∠BAO=45°时，四边形OAPB为正方形OA=OB=a·cos45°=a∴P点坐标为（a，a）（2）作DE⊥x轴于E,PF⊥x轴于F,设A点坐标为（m,0）,B点坐标为（0,n）∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°∴∠DAE=∠ABO在△AOB和△DEA中：∴△AOB≌和△DEA（AAS）∴AE=0B=n,DE=OA=m,则D点坐标为（m+n,m）∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0,n）∴P点坐标为（,）∴PF=OF=∴∠POF=45°,∴OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；（3）当A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为α，则0°≤α＜45°h=PF=PA·cosα=a·cosα∵0°≤α＜45°∴＜cosα≤1∴a＜h≤a【考点】正方形性质,特殊角三角函数,全等三角形,,直角梯形。【分析】⑴根据已知条件,用特殊角三角函数可求。（2）根据已知条件,假设A点坐标为（m,0）,B点坐标为（0,n）并作DE⊥x轴于E,19\nPF⊥x轴于F,用全等三角形等知识求出点D,P,E,F坐标(用m,n表示),从而证出PF=OF,进而∠POF=45°.因此得证。（3）由（2）知∠OPF=45°,故0°≤∠OPA＜45°,＜cos∠OPA≤1,在Rt△APF中PF=PA·cos∠OPA,从而得求。19
