2022-2022年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题5：数量和位置变化一、选择题1.（江苏省常州市2022年2分）若点P(1－m，m)在第二象限，则下列关系式正确的是【】A.0<m<1B.m<0C.m>0D.m>1【答案】D。【考点】平面直角坐标系中各象限点的特征，解不等式组。【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）。因此，∵点P(1－m，m)在第二象限，所以1－m＜0，m＞0，解得m＞1。故选D。2.（江苏省常州市2022年2分）某人骑车外出，所行的路程S（千米）与时间t（小时）的函数关系如图所示，现有下列四种说法：①第3小时中的速度比第1小时中的速度快；②第3小时中的速度比第1小时中的速度慢；③第3小时后已停止前进；④第3小时后保持匀速前进。其中说法正确的是【】（A）②、③（B）①、③（C）①、④（D）②、④【答案】A。【考点】函数的图象。【分析】根据路程s与时间t的函数关系图象可知，相同时间所走路程不相同，3小时后，路程没有变化，可以判断三点的大小及行驶的状态：32用心爱心专心\n根据函数图象可知，前三个小时，每段的图象都是直线，是一次函数，每段中都是匀速运动，函数图象的倾斜角越大说明速度大，3小时以后路程随着时间的增加不变，因而第3小时后已停止前进；因而正确的说法是：②③。故选A。3.（江苏省常州市2022年2分）某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。已知某天0点到6点,进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示：给出以下3个判断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点,不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则上述判断中一定正确的是【】A、①B、②C、②③D、①②③【答案】A。【考点】函数的图象。【分析】通过图甲、乙，明确进水速度和出水速度，再根据图丙的折线图，判断进水，出水的状态：根据图示和题意可知，进水速度是1小时1万立方米，出水速度是1小时2万立方米，所以，由图丙可知：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点，一只管进水一只管只出水；③4点到6点2只管进水一只管出水。判断正确的是①。故选A。4.（江苏省常州市2022年2分）已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：，相应的△ABP的面积关于运动时间的函数图像如图2，若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有【】32用心爱心专心\n①图1中的BC长是8②图2中的M点表示第4秒时的值为24③图1中的CD长是4④图2中的N点表示第12秒时的值为18A．1个B．2个C．3个D．4个5.（江苏省常州市2022年2分）在函数中，自变量的取值范围是【】A．B．C．D．【答案】C。【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0。根据题意得：≠0，解得，故选C。6.（江苏省常州市2022年2分）如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是【】32用心爱心专心\nA．第3分时汽车的速度是40千米/时B．第12分时汽车的速度是0千米/时C．从第3分到第6分，汽车行驶了120千米D．从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时7.（江苏省常州市2022年2分）甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，给出下列说法:(1)他们都骑行了20km；(2)乙在途中停留了0.5h；(3)甲、乙两人同时到达目的地；(4)相遇后,甲的速度小于乙的速度.根据图象信息,以上说法正确的有【】A.1个B.2个C.3个D.4个32用心爱心专心\n【答案】B。【考点】函数的图象。【分析】根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可作出判断：由图可获取的信息是：他们都骑行了20km；乙在途中停留了1－0.5=0.5h；相遇后，甲的图象在乙的图象上方，即甲的速度＞乙的速度；甲比乙早2.5－2=0.5小时到达目的地。所以（1）（2）正确。故选B。8.江苏省2022年3分）如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是【】A．先向下平移3格，再向右平移1格B．先向下平移2格，再向右平移1格C．先向下平移2格，再向右平移2格D．先向下平移3格，再向右平移2格【答案】D。【考点】平移的性质。【分析】根据图形，对比图①与图②中位置关系可知：平移是先向下平移3格，再向右平移2格。故选D。9.（江苏省常州市2022年2分）函数的自变量x的取值范围是【】【答案】。【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。【分析】根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。10.（2022江苏常州2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点分别为A、B、C、D，轴上有一点P。作点P关于点A的对称点，作关于点B的对称点，作点关于点C的对称点，作关于点D的对称点，作点关于点A的对称点，作关于点B的对称点┅，按如此操作下去，则点的坐标为【】32用心爱心专心\nA．B．C．D．【答案】D.【考点】点对称，分类。【分析】按此分类，P1（2，0），P2（0，-2），P3（-2，0），P4（0，2}，……，P4n（0，2}，P4n+1（2，0），P4n+2（0，-2），P4n+3（-2，0）。而2022除以4余3，所以点P2022的坐标与P3坐标相同，为（-2，0）。故选D。二、填空题1.（2022江苏常州2分）写出下列函数中自变量x的取值范围：（1）y= ▲ _；（2）y= ▲ .【答案】；。【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，分别求解：要使在实数范围内有意义，必须；要使在实数范围内有意义，必须。2.（江苏省常州市2022年1分）在函数中，自变量的取值范围是▲。【答案】。【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。3.（江苏省常州市2022年2分）点A（﹣1，2）关于轴的对称点坐标是▲；点A关于原点的对称点的坐标是▲。【答案】（1，2）；（1，－2）。【考点】关于y轴对称和原点对称的点的坐标。32用心爱心专心\n【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解：点A（－1，2）关于y轴的对称点坐标是（1，2）；点A关于原点的对称点的坐标是（1，－2）。4.（江苏省常州市2022年4分）已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x=▲，满足y＜0的x的取值范围是▲，将抛物线向▲平移▲个单位，则得到抛物线.【答案】3；1＜＜5；上；4。【考点】二次函数的性质，二次函数图象与平移变换。【分析】把抛物线的一般式转化为顶点式和交点式，可求对称轴；根据交点式和图象的开口方向，可求y＜0时，x的取值范围．比较需要平移的两个函数式，可以发现平移规律：∵，∴抛物线的对称轴方程=3；＜0时，1＜＜5。∵加上4得到，∴抛物线向上平移4个单位得到抛物线。5.江苏省常州市2022年2分）在函数中，自变量的取值范围是▲；若分式的值为零，则▲。【答案】：。【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式的值为零的条件。【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。32用心爱心专心\n根据分式的值为零的条件，要使分式的值为零，必须。6.（江苏省常州市2022年2分）点A（1，－2）关于轴对称的点的坐标是▲；点A关于原点对称的点的坐标是▲．【答案】（1，2）；(－1，2)。【考点】关于x轴对称的点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标特征。【分析】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点A（1，－2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2）；关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点A（1，－2）关于原点对称的点的坐标是(－1，2)。7.（江苏省常州市2022年2分）点A(－2，1)关于y轴对称的点的坐标为▲，关于原点对称的点的坐标为▲.【答案】（2，1）；(2，－1)。【考点】关于y轴对称的点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标特征。【分析】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点A(－2，1)关于y轴对称的点的坐标是(2，1)。关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点A(－2，1)关于原点对称的点AO的坐标是(2，－1)。8.（江苏省常州市2022年2分）点P（1，2）关于x轴的对称点P1的坐标是▲，点P（1，2）关于原点的对称点P2的坐标是▲。【答案】（1，－2）；(－1，－2)。【考点】关于x轴对称的点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标特征。【分析】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点P（1，2）关于x轴对称的点的坐标是P1（1，－2）。关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点P（1，2）关于原点对称的点P2的坐标是(－1，－2)。9.（2022江苏常州2分）已知函数，则自变量x的取值范围是▲；若分式的值为0，则x=▲。【答案】；。32用心爱心专心\n【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，因此，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。三、解答题1.（2022江苏常州5分）已知，如图：（1）写出点A的坐标___________；（2）画出A点关于原点的对称点B；（3）画出直线y=x的图象；（4）画出点A关于直线y=x的对称点C；（5）以点A、B、C为顶点的三角形是___________三角形。【答案】解：（1）（2，3）。（2）（3）（4）解答如图：（5）直角。【考点】坐标与图形的对称变化32用心爱心专心\n【分析】（1）根据图形直接写出A的坐标。（2）如图关于原点对称的坐标特点：横坐标，纵坐标都互为相反数，所以知道B的坐标。（3）找出两个横坐标，纵坐标相等的点就可以画出直线y=x。（4）由于A，C关于y=x对称，所以y=x垂直于AC，CB∥直线y=x，∴以点A、B、C为顶点的三角形是直角三角形。2.（2022江苏常州7分）在直角坐标系xoy中：（1）画出一次函数y=x+的图象，记作直线a，a与x轴的交点为C；（2）画出△ABC，使BC在x轴上，点A在直线a上（点A在第一象限），且BC＝2，∠ABC＝1200；（3）写出点A、B、C的坐标；（4）将△ABC绕点B在直角坐标平面内旋转，使点A落在x轴上，求此时过点A、B、C的抛物线的解析式。【答案】解：（1）令x=0，则y=，令y=0，则x=－1，则函数图象与两坐标轴的交点分别为（0，），（－1，0）。作图如下：（2）∵C在x轴上，且∠ABC=120°，32用心爱心专心\n∴B点坐标为（1，0），在直线y=x+的图象上取点A，使∠ABC=120°即可。作图如下：（3）A、B、C三点的坐标分别为：A（3，2），B（－1，0），C（1，0）。（4）设三角形旋转以后的图形为△A′B′C，根据旋转的性质可知A′C=AC，B′C=BC，此时AC旋转的角度为∠ACD=60°。同理，B也旋转了60°，即∠ACA′=∠BCB′=60°，A′C=AC=。故A′点坐标为（5，0）。同理可得B′C=BC=。过B′作B′E⊥x轴，根据锐角三角函数的定义可知EC=1，故E与原点重合。此时B′点坐标为（0，2）。设此时过点A、B、C的抛物线的解析式，把A′，B′，C三点坐标分别代入得，，解得。∴此函数的解析式为y=【考点】一次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数值的定义，勾股定理。32用心爱心专心\n【分析】（1）分别令x=0，y=0找出直线与两坐标轴的交点即可画出一次函数y=x+的图象。（2）在x轴上找点C，使BC=2，根据∠ABC=120°可知，C在B的右侧，且B点坐标为（1，0），在直线y=x+的图象上取点A，使∠ABC=120°即可。（3）过A作AD⊥x轴，根据锐角三角函数的定义即可求出P点的坐标。设A（x，y），则y=x+，过A作AD⊥x轴，则CD=x－1，∠ACD=180°－∠ABC=180°－120°=60°。∴AD=CD•tan60°=（x－1），即（x－1）=x+，解得x=3，y=·3＋=2。∴A（3，2）。由（1）（2）可知B、C三点的坐标分别为：B（－1，0），C（1，0）。（4）根据旋转的性质当A落到x轴上时，设此点为A′则AA′=AC，此时AC旋转的角度为∠ACD=60°，同理，B也旋转了60°，BC=B′C，过B′作B′E⊥x轴，根据锐角三角函数值的定义可知B′此时正好落在y轴上，根据两点间的距离公式可求出B′、A′的坐标，再用待定系数法即可求出过点A、B、C的抛物线的解析式。3.（江苏省常州市2022年6分）如图，已知点A（2，3）和直线，（1）读句画图：画出点A关于直线的对称点B，点A关于原点（0，0）的对称点C；（2）写出点B、C的坐标；（3）判断△ABC的形状，并说明理由。【答案】解：（1）如下图：32用心爱心专心\n（2）B（3，2），C（－2，－3）。（3）△ABC是直角三角形。理由如下：连接BO，∵A，B关于y=x对称，∴OA=OB。∵OA=OC，∴OB=OA=OC。∴∠ABC=900。∴△ABC是直角三角形．【考点】中心对称变换作图，中心对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】（1）做AM⊥直线y=x，于点M，并延长到B，使BM=AM，即可得到B，连接AO并延长到C，使CO=AO。（2）根据（1）可求得B，C坐标。（3）连接BO可得到OB=OA=OC，那么根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理可得∠ABC=900，即△ABC是直角三角形。4.（江苏省常州市2022年8分）如图，直线OC、BC的函数关系式分别为和，动点P（x，0）在OB上移动（0<x<3），过点P作直线与x轴垂直。（1）求点C的坐标；（2）设△OBC中位于直线左侧部分的面积为s，写出s与x之间的函数关系式；（3）在直角坐标系中画出（2）中函数的图象；（4）当x为何值时，直线平分△OBC的面积？【答案】解：（1）解方程组得。32用心爱心专心\n∴C点的坐标是（2，2）。
（2）过点C作CD⊥x轴于D，分两种情况讨论：如图1，当0＜x≤2时，设直线与OC交于点M，则由△OPM∽△ODC得，即PM2=x2，则PM=x，∴s=OP•PM=x2。如图2，当2＜x＜3时，设直线与BC交于点N，则由△BPN∽△BDC得。∵DC=2，PB=3－x，DB=3－2=1，∴，即PN=2（3－x）。∴△BPN的面积为PB·PN=（3－x）2。又∵△OBC的面积是×3×2=3。∴s=△OBC的面积－△BPN的面积=3－（3－x）2=－x2＋6x－6综上所述，s与x之间的函数关系式为。（3）作图如下：（4）∵△OBC的面积是×3×2=3，△OCD的面积为×2×2=2∴直线平分△OBC的面积时，0＜x＜2。∴由，解得（已舍负值）。【考点】一次和二次函数综合题，相似三角形的判定和性质。32用心爱心专心\n【分析】（1）解两个函数解析式组成的方程组，就可以求出交点C的坐标。（2）分直线在C点的左侧和右侧两种情况进行讨论即可。（3）描点作图即可。（4）分析直线平分△OBC的面积时，点P的位置，然后根据（3）中的函数解析式，列出方程，解方程就可以解决。5.（江苏省常州市2022年9分）已知：如图，在平面直角坐标系中，点C在轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与轴相交于点A、B，与轴相交于D、E，且。点P是⊙C上一动点（P点与A、B点不重合）。连结BP、AP。（1）求∠BPA的度数；（2）若过点P的⊙C的切线交轴于点G，是否存在点P，使△APB与以A、G、P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。【答案】解：（1）根据垂径定理得到，又∵，∴。∴劣弧的度数是120°。∴∠BPA=60°或∠BPA=120°。（2）设存在点P，使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似。①当P在弧EAD上时，（图1）GP切⊙C于点P，∴∠GPA=∠PBA。又∵∠GAP是△ABP的外角，∴∠GAP＞∠BPA，∠GAP＞∠PBA。∴欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠GAP=∠PAB=90°，∴BP为⊙C的直径。32用心爱心专心\n在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PB=8，∴PA=4，AB=，OA=。∴P（，4）。②当P在弧EBD上时，（图2）在△PAB和△GAP中，∵∠PBA是△GBP的外角，∴∠PBA＞∠PGB。，又∵∠PAB=∠GAP，∴欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠APB=∠PGB，∵GP切⊙C于点P，∴∠GPB=∠PAG。由三角形内角和定理知：∠ABP=∠GBP，∴∠ABP=∠GBP=90°。在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PA=8，∴PB=4，AB=，OB=，∴P（－，4）。综上所述，存在点P1（，4）、P2（－，4）使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似。【考点】圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定。【分析】（1）点P可以在优弧AB上或在劣弧AB上，只需求得其中的一种情况，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得另一种情况．根据垂径定理得到，则，再根据半圆的度数是180°，从而求得的度数是60°，则劣弧的度数是120°，从而求得∠BPA的度数。（2）分两种情况，即点P在y轴的左侧和右侧，若相似，根据相似三角形的对应角相等，分析得到两个三角形必是直角三角形，再结合（1）中求得的角的度数，运用解直角三角形的知识求解。6.（江苏省常州市2022年12分）已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（，0），顶点A在轴上方，顶点D在⊙O上运动．（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；（2）设点D的横坐标为，正方形ABCD的面积为S，求出S与的函数关系式，并求出S的最大值和最小值．32用心爱心专心\n【答案】解：（1）CD与⊙O相切。理由如下：∵A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，∴∠COD=90°。∴CD是⊙O的切线。CD与⊙O相切时，有两种情况：①切点在第二象限时（如图①），设正方形ABCD的边长为a，则a2＋（a＋1）2=13，解得a=2，或a=－3（舍去）。过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE≌Rt△OBA，∴，即。∴DE=，OE=。∴点D的坐标是（－，）。∴OD所在直线对应的函数表达式为y=。②切点在第四象限时（如图②），设正方形ABCD的边长为b，则b2＋（b－1）2=13，解得b=－2（舍去），或b=3。过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，∴，即。∴OF=，DF=。∴点D的坐标是（，－）。∴OD所在直线对应的函数表达式为y=。（2）如图③，过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，32用心爱心专心\n则BD2=BG2＋DG2=（BO－OG）2＋OD2－OG2=。∴S=AB2=。∵－1≤x≤1，∴S的最大值为，最小值为。【考点】一次函数综合题，圆切线的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）易证CD是⊙O的切线，分点D在第二象限和第四象限两种情况，求出D的坐标，根据待定系数法，求出函数解析式。（2）过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD2=BG2＋DG2=（BO－OG）2＋OD2－OG2，所以S=AB2=。因为－1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出。7.（江苏省常州市2022年10分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）线段AB长度的最小值为4。理由如下：连接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB。取AB的中点C，则AB=2OC。当OC=OP=2时，OC最短，即AB最短。此时AB=4。（2）设存在符合条件的点Q，设四边形APOQ为平行四边形32用心爱心专心\n若OA是对角线，如图①，∵OP⊥AB，OP=OQ∴四边形APOQ为正方形。∴在Rt△OQA中，OQ=2，∠AOQ=450，∴Q点坐标为（）。若OP是对角线，如图②，∵OQ∥PA，OP⊥AB，∴∠POQ=900。又∵OP=OQ，∴∠PQO=450。∵PQ∥OA，∴轴。设轴于点H，在Rt△OHQ中，OQ=2，∠HQO=450，∴Q点坐标为（）。综上所述，符合条件的点Q的坐标为（）或（）。【考点】动点问题，切线的性质，坐标与图形性质，平行四边形的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，有OP＜OC，所以当OC与OP重合时，OC最短。（2）分两种情况：如图（1），当OA是对角线时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（）：如图（2），当OP是对角线时，可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（）。8.（江苏省常州市2022年7分）已知经过A（－4，2），B（－3，3），C（－1，－1），O（0，0）四点，一次函数的图象是直线，直线与轴交于点D．（1）在下边的平面直角坐标系中画出，直线与的交点坐标为；（2）若上存在整点P（横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点），使得△APD为等腰三角形，所有满足条件的点P坐标为；（3）将沿轴向右平移个单位时，与相切．32用心爱心专心\n（4）将沿轴向右平移个单位时，与相切．【答案】解：（1）先在坐标系中找到A（－4，2），B（－3，3），C（－1，－1），O（0，0）的坐标，然后画圆，过此四点：（－4，2）（－1，－1）。（2）（0，2）（-3，-1）。（3）2＋。（4）。【考点】切线的判定，等腰三角形的判定，直线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，勾股定理，平移的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）要先在坐标系上找到这些点，作AB和AC的中垂线，以交点O1为圆心，以OO1为半径再画圆。对一次函数有，当=0时，=－2；当=0时，=－2，从坐标系中先找出这两点，画过这两点的直线，即是一次函数的图象。32用心爱心专心\n与圆的交点，从图中可看出是；（－4，2）（－1，－1）。（2）①若AD为底边，根据垂直平分线上的两点到线段两端的距离相等．作AD的垂直平分线，与圆的交点且是整点的点的坐标就是所求的坐标（如图）。从图可见，也可应用中垂线的性质和勾股定理求得（－4，2）（－1，－1）。②若AD为腰，点A是顶点，由于AD大于圆的直径，所以此时以点A为圆心AD为半径的圆与没有交点。因此，此时在上不存在点P，使得△APD为等腰三角形。③若AD为腰，点D是顶点，以点D为圆心AD为半径的圆与交于另一点P，图中可见，点P不是整数点。因此，此时在上不存在整点P（横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点），使得△APD为等腰三角形。（也可计算确定点P不是整数点）（3）要求平移多少个单位就要先求出圆的圆心坐标，然后再平移：如图，由（2）①可知，与轴的另一交点P为（0，2），作OP和AP的中垂线，交点即为圆心，结合O（0，0），A（－4，2），可得圆心的坐标（－2，1）。利用勾股定理求出圆的半径OO1。∴FG=O1F＋O1G=2＋。∴将沿x轴向右平移2＋，与相切。（4）如图，当平移到时，圆与直线相切，即为所求平移的距离。延长交直线于点M，过点作于点N，过点作于点Q。由（3）知（－2，1），。将代入：，得，即M（－3，1）。即。32用心爱心专心\n由和平行的性质知，∴。由，得∥，∴∽.∴,即，即，解得。∴将沿轴向右平移个单位时，与相切。9.（江苏省常州市2022年11分）如图，抛物线与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上一动点.(1)求点A的坐标;(2)以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;(3)设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当时，求x的取值范围.【答案】解：（1）∵，∴A（－2，－4）。（2）当四边形ABP1O是菱形时，P1（－2，4）；当四边形ABOP2是等腰梯形时，P2（）：当四边形ABP3O是直角梯形时，P3（）；32用心爱心专心\n当四边形ABOP4是直角梯形时，P4（）。（3）∵A（－2，－4），B（－4，0）。∴AB的解析式为。∴直线l的解析式为。设点P坐标为（x，－2x）。①当点P在第二象限时，x＜0，。又，∴。∵，∴，解得。∴x的取值范围是。②当点P在第四象限时，x＞0，过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′。则。∵，∴。∵，∴，解得。∴x的取值范围是。综上所述，当时，x的取值范围为32用心爱心专心\n或。10.（江苏省2022年12分）如图，已知射线与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线的方向作匀速运动．设运动时间为秒．（1）请用含的代数式分别表示出点与点的坐标；（2）以点为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点在点的左侧），连接PA、PB．①当与射线有公共点时，求的取值范围；②当为等腰三角形时，求的值．32用心爱心专心\n【答案】解：（1）∵，∴。∴。过点作⊥轴于点，∵，，∴。又∵，且，∴，即。∴。∴。∴。（2）①当的圆心由点向左运动，使点到点时，有，即。当点在点左侧，与射线相切时，过点作射线，垂足为，则由，得，则．解得。由，即，解得。∴当与射线有公共点时，的取值范围为。②（I）当时，过作轴，垂足为，有。32用心爱心专心\n由（1）得，，，∴。又∵，∴，即。解得。（II）当时，有，∴，解得。（III）当时，有，∴，即。解得（不合题意，舍去）。综上所述，当是等腰三角形时，，或，或，或。【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，等腰三角形时的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由可得，从而得到点的坐标。作点作⊥轴于点，利用可得，从而得到点的坐标。（2）①当与射线有公共点时，考虑（I）当的圆心由点向左运动，使点到点时，的取值；（II）当点在点左侧，与射线相切时，的取值。当在二者之间时，与射线有公共点。②分，，三种情况讨论即可。11.（江苏省常州市2022年6分）小明在研究了苏科版《有趣的坐标系》后，得到启发，针对正六边形OABCDE，自己设计了一个坐标系如图。该坐标系以O为原点，直线OA为x轴，以正六边形OABCDE的边长为一个单位长。坐标系中的任意一点P用一有序实数对（a，b）来表示，我们称这个有序实数对（a，b）为P点的坐标。坐标系中点的坐标的确定方法如下：（1）x轴上点M的坐标为（m，0），其中m为M在x轴上表示的实数；（2）y轴上点N的坐标为（0，n），其中n为N点在y轴上表示的实数；32用心爱心专心\n（3）不在x、y轴上的点Q的坐标为（a，b），其中a为过点Q且与y轴平行的直线与x轴的交点在x轴上表示的实数，b为过点Q且与x轴平行饿直线与y轴的交点在y轴上表示的实数。则：（1）分别写出点A、B、C的坐标；（2）标出点M（2，3）的位置；（3）若点K（x，y）为射线OD上任一点，求x与y所满足的关系式。【答案】.解：（1）A（1，0），B（2，1），C（2，2）。（2）点M（2，3）的位置标注如下：（3）设射线OD的解析式为：。∵D（1，2）在上，∴。∴x与y所满足的关系式为。【考点】新定义，坐标系和坐标，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据定义写出坐标。（2）根据定义标出坐标。（3）用待定系数法求出正比例函数。12.（2022江苏常州7分）如图，在△ABO中，已知点、、，正比例函数图像是直线，直线AC∥轴交直线与点C。32用心爱心专心\n⑴C点的坐标为；⑵以点O为旋转中心，将△ABO顺时针旋转角（90°＜＜180°），使得点B落在直线上的对应点为，点A的对应点为，得到△①∠=②画出△⑶写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标。【答案】解：⑴（-3，3）。⑵①900.②以点O为圆心，OB长为半径画弧交直线于B’。以点O为圆心，OA长为半径画弧交AO的延长线于D；分别以点A，D为圆心，大于OA长半径画弧，两弧交于E，F，连接EF；以点O为圆心，OA长为半径画弧交EF于A’（在OB的反方向上）。连接OA’，A’B’，△A′OB′即为所求。（画图略）⑶【考点】一次函数，尺规作图，平移，旋转，相似三角形．【分析】⑴C点的纵坐标与A点相同，为3，又C点在上，所以C点的横坐标为-3。⑵①由于点B坐标为（-1，-1），从而OB与X轴负方向夹角为450，又OC与X轴负方向夹角为450，因此∠α=900。②关键在作OA的垂线。32用心爱心专心\n⑶易求，，因此点A也按上述变形得D1：，则；作D1关于图像（直线）的对称点；13.（2022江苏常州9分）在平面直角坐标系XOY中，一次函数的图像是直线，与轴、轴分别相交于A、B两点。直线过点且与直线垂直，其中＞0。点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位。⑴写出A点的坐标和AB的长；⑵当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线、轴都相切，求此时的值。【答案】解：（1）∵一次函数的图象直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴y＝0时，x＝－4，∴A（－4，0），AO＝4，∴x＝0时，y＝3，∴B（0，3），BO＝3，∴AB＝5。∴A点坐标为（－4，0），AB的长为5。（2）由题意得：AP＝4t，AQ＝5t，又∠PAQ＝∠OAB，∴△APQ∽△AOB，∴∠APQ＝∠AOB＝90°。∵点P在上，∴⊙Q在运动过程中保持与相切，①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，PQ=OQ，∴AQ=AO+OQ=4+PQ32用心爱心专心\n由△APQ∽△AOB得：∴PQ＝6；设与⊙Q相切于E，连接QE，则∵⊙Q与和都相切，∴QE＝PQ=6。由△QEC∽△APQ∽△AOB，得：，∴。②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，PQ=OQ，∴AQ=AO—OQ=4—PQ由△APQ∽△AOB得：∴PQ＝；设与⊙Q相切于F，连接QF，则∵⊙Q与和都相切，∴QF＝PQ=。由△QFC∽△APQ∽△AOB，得：，∴。∴。【考点】一次函数，勾股定理，相似三角形的判定的性质。圆心距和切线的关系。【分析】（1）由点在直线上，点的坐标满足方程，很易求出A和B点的坐标，应用勾股定理即可求出AB的长。（2）首先用相似三角形的判定方法得出相似三角形，再应用三角形对应边的比求出满足条件的的值。14.（2022江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：（1）顶点A1的坐标为▲，B1的坐标为▲，C1的坐标为▲；（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。32用心爱心专心\n【答案】解：作图如下：（1）（－2，0），（－6，0），（－4，－2）。（2）符合要求的变换有两种情况：情况1：如图1，变换过程如下：将△A2B2C2向右平移12个单位，再向上平移5个单位；再以B1为中心顺时针旋转900。情况2：如图2，变换过程如下：将△A2B2C2向右平移8个单位，再向上平移5个单位；再以A1为中心顺时针旋转900。32用心爱心专心\n【考点】作图（位似、平移和旋转）网格问题，位似的性质，平移的性质，旋转的性质。【分析】（1）作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：①先确定图形的位似中心；②利用相似图形的比例关系作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧。（2）作平移变换时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形。作旋转变换时，找准旋转中心和旋转角度。32用心爱心专心
