2022-2022年江苏南通中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题11：圆一、选择题1.（2022江苏南通3分）下列命题：（1）相似三角形周长的比等于对应高的比；（2）顶角为800且有一边长为5cm的两个等腰三角形全等；（3）若两圆相切，则这两个圆有3条公切线；（4）在⊙O中，若 弧AB+弧CD＝弧EF，则AB+CD＝EF，其中真命题的个数为【】A、1个 B、2个 C、3个 D、4个【答案】A。【考点】相似三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，两圆相切的性质，圆心角、弧、弦的关系，【分析】三角形三边关系。根据相关知识作出判断：（1）根据相似三角形的性质，相似三角形周长的比和对应高的比都等于它们的相似比，所以相似三角形周长的比等于对应高的比。故命题正确，是真命题。（2）顶角为800且有一边长为5cm的两个等腰三角形，可能是腰可能是底为5cm。当一个等腰三角形底是5cm，另一个等腰三角形腰是5cm时，两个等腰三角形不全等。故命题错误，不是真命题。（3）若两圆相切，可能外切也可能内切。当两圆内切时，这两个圆有1条公切线.。故命题错误，不是真命题。（4）如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，则弧FM=弧AB。∴AB=FM，CD=EM。在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF。故命题错误，不是真命题。 综上所述，真命题的个数为1个。故选A。2.（江苏省南通市2022年3分）已知两圆的半径分别是3cm和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是【】A．内含B．相交C．内切D．外离23\n【答案】B。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。∵两圆的半径分别是3cm和4cm，圆心距为2cm，即4－3=1，3＋4=7，∴1＜2＜7。∴两圆相交。故选B。3.（江苏省南通市2022年3分）如果圆柱的底面半径为4cm，侧面积为64πcm2，那么圆柱的母线长为【】A．16cmB．16πcmC．8cmD．8πcm【答案】C。【考点】圆柱的计算。【分析】根据圆柱的侧面积公式：母线长=侧面积÷底面周长，可得圆柱的母线长=。故选C。4.（江苏省南通市2022年3分）两圆的圆心坐标分别是（－，0）和（0，1），它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是【】A．相离B．相交C．外切D．内切【答案】D。【考点】圆与圆的位置关系，坐标与图形性质，勾股定理。【分析】根据点的坐标，利用勾股定理求出圆心距，再根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系：∵圆心坐标分别是（－，0）和（0，1），∴圆心距为。∵5－3=2，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切。故选D。5.（江苏省南通市2022年3分）圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径的比是【】A．2：1B．2π：1C．D．【答案】A。【考点】圆锥的计算，弧长的计算。【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到圆锥底面半径和母线长的关系：23\n设底面半径为r，母线长为R，则底面周长=2πr=×2πR，∴R：r=2：1。故选A。6.（江苏省南通市2022年2分）如图，已知O的半径OA长为5，弦AB长为8，C是AB的中点，则OC的长为【】A、3B、6C、9D、10【答案】A。【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】根据垂径定理的推论，得OC⊥AB．再根据勾股定理，得OC=3。故选A。7.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）若圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形,则这个圆锥的侧面积是【】A、B、C、D、【答案】A。【考点】圆锥的计算，等边三角形的性质。【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2：∵圆锥的轴截面是一个边长为2cm的等边三角形，∴底面半径=1cm，底面周长=2πcm，∴圆锥的侧面积=×2π×2=2πcm2，故选A。8.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）如图,已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E,且AB=4,DE=CE+3,则CD的长为【】A、4B、5C、8D、10【答案】B。【考点】相交弦定理，解一元二次方程。【分析】运用相交弦定理求解：23\n设CE=x，则DE=3+x．根据相交弦定理，得x（x+3）=2×2，解得，x=1或x=－3（不合题意，应舍去）。则CD=3+1+1=5。故选B。10.（江苏省南通市大纲卷2022年2分）如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB=2cm，BC=8cm，则PA的长等于【】A、4cmB、16cmC、20cmD、2cm【答案】D。【考点】切割线定理。【分析】根据已知得到PC的长，再根据切割线定理即可求得PA的长：23\n∵PB=2cm，BC=8cm，∴PC=10cm。∵PA2=PB•PC=20，∴PA=2（cm）。故选D。11.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为【】A、1：2B、2：1C、1：4D、4：1【答案】C。【考点】圆锥的计算。【分析】有关扇形和圆锥的相关计算，抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长。因此，设圆锥的母线长是R，则扇形的弧长是。设底面半径是r，则=2πr。∴r=。∴圆锥的底面半径与母线长的比为1：4。故选C。12.（江苏省南通市课标卷2022年2分）如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA等于【】A．B．C．2D．【答案】D。【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。【分析】作OC⊥AB于C点。根据垂径定理，AC=BC=4．在Rt△OCP中，有CP=4+2=6，OC=。∴tan∠OPA=。故选D。13.（江苏省南通市2022年3分）两个圆的半径分别为4cm和3cm，圆心距是7cm，则这两个圆的位置关系是【】．A、内切B、相交C、外切D、外离23\n【答案】C。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。根据题意，得：R+r=7cm，即R+r=d，∴两圆外切。故选C。14.（江苏省南通市2022年4分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2cm，CD＝4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD＝90°，则圆心O到弦AD的距离是【】．A、cmB、cmC、cmD、cm【答案】B。【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数值。【分析】易证△AOD是等腰直角三角形．则圆心O到弦AD的距离等于AD，所以可先求AD的长即可。以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，则OA=OD，△AOD是等腰直角三角形。易证△ABO≌△OCD，则OB=CD=4cm。在直角△ABO中，根据勾股定理得到OA2=20，OA=。在等腰直角△OAD中，过圆心O作弦AD的垂线OP。则OP=OA•sin45°=cm。故选B。15.（江苏省南通市2022年3分）如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是【】A．1B．C．D．2【答案】D。23\n【考点】圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角的圆周角定理，可知∠C＝90°，于是，利用含30°角的直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质可得AC=AB=2。故选D。16.（江苏省南通市2022年3分）如图，已知ABCD的对角线BD=4cm，将ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为【】A．4πcmB．3πcmC．2πcmD．πcm【答案】C。【考点】平行四边形的性质，旋转的性质，弧长的计算。【分析】点D所转过的路径长是一段弧，是一段圆心角为180°，半径为OD的弧，故根据弧长公式计算即可：∵ABCD中BD=4，∴OD=2。∴点D所转过的路径长=。故选C。17.（江苏省南通市2022年3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于【】A．8B．4C．10D．5【答案】D。【考点】弦径定理，勾股定理。【分析】根据圆的直径垂直平分弦的弦径定理，知△OAM是直角三角形，在Rt△OAM中运用勾股定理有，。故选D。二、填空题1.（2022江苏南通3分）扇形的弧长为2πcm，圆心角为1200，则扇形的面积等于▲_cm2。【答案】。【考点】扇形面积的和弧长的计算。23\n【分析】设扇形的半径是r，根据题意，得，解得，r=3。则扇形面积是（cm2）。2.（2022江苏南通3分）已知ΔABC内接于⊙O，∠AOB＝1300，则∠C的度数为▲_。【答案】650。【考点】圆周角定理。【分析】∵⊙O是△ABC的外接圆，∴∠C和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角。又∵∠AOB＝1300，∴根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，得∠C＝∠AOB＝650。3.（江苏省南通市2022年3分）圆内相交的两条弦中，一条弦被交点分成的两条线段的长分别为1cm和6cm，另一条弦被交点分成的两条线段的长分别为2cm和x，则x=▲cm．【答案】3。【考点】相交弦定理。【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算：1·6=2•x，解得x=3。4.（江苏省南通市2022年3分）如图，⊙O的半径为7cm，弦AB的长为cm，则由弧与弦AB组成的弓形的高CD等于▲cm．【答案】2。【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】根据垂径定理，可构造Rt△AOC，利用勾股定理，可求出OC的长，那么就可求出CD：根据垂径定理，AB⊥OD，AC=cm，在Rt△AOC中，cm，∴CD=OD－OC=7－5=2（cm）。5.（江苏省南通市2022年2分）弦AB分圆为1：5两部分，则劣弧所对的圆心角等于▲。23\n【答案】60。【考点】圆心角、弧、弦的关系。【分析】利用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．”即可解：∵弦AB分圆为1：5两部分，∴劣弧的度数等于360°÷6×1=60°，∴劣弧AB所对的圆心角等于60度。6.（江苏省南通市2022年2分）已知：如图：AB是⊙O的直径，BD=OB，∠CAB=30度．请根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论（除AO=OB=BD外）：①▲②▲③▲。【答案】BC=AB；BC=OB；BC=OB。（答案不唯一）【考点】圆周角定理。【分析】根据已知及圆周角定理进行分析，从而得到答案：∵AB是⊙O的直径，BD=OB，∴∠ACB=90°又∵∠CAB=30°，∴BC=AB=OB。∵BD=OB，∴BC=OB。7.（江苏省南通市2022年3分）如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OC长为8cm，贴纸部分的CA长为15cm，则贴纸部分的面积为▲cm2（结果保留π）【答案】。【考点】扇形面积的计算。【分析】贴纸部分的面积实际是扇形OAB和扇形OCD的面积差，可根据扇形的面积公式分别表示出两部分的面积，从而可求出贴纸部分的面积：23\n。8.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在上,则∠BEC=▲°.【答案】45°。【考点】正方形的性质，圆周角定理。【分析】连接OB、OC，则∠BEC=∠BOC，∵O是正方形外接圆的圆心，∴∠BOC=90°。∴∠BEC=∠BOC=45°。9.（江苏省南通市课标卷2022年3分）若两圆外切，圆心距为8cm，一个圆的半径为3cm，则另一个圆的半径为▲cm．【答案】5。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，由两圆外切，圆心距为8cm，一个圆的半径为3cm，则另一个圆的半径为8－3=5。10.（江苏省南通市课标卷2022年3分）已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为▲cm2（结果保留）．【答案】8π。【考点】圆锥的计算，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值。【分析】利用30°的三角函数即可求得圆锥的底面半径，圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2：由正弦的概念知，底面半径=4sin30°=2，则底面周长=4π，侧面积=12×4π×4=8πcm2。11.（江苏省南通市课标卷2022年3分）23\n已知圆上一段弧长为6π，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径为▲．【答案】9。【考点】弧长的计算。【分析】设该圆的半径为r，根据题意得：，解得r=9，即该圆的半径为9。12.（江苏省2022年3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB．若∠ABD=65°，则∠ADC=▲．【答案】25°。【考点】圆周角定理，平行线的性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】∵CD∥AB，∴∠ADC=∠BAD。又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。又∵∠ABD=65°，∴∠ADC=∠BAD=90°－∠ABD=25°。13.（江苏省2022年3分）已知正六边形的边长为1cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为▲cm（结果保留）．【答案】。【考点】正六边形的性质，扇形弧长公式。【分析】如图，连接AC，则由正六边形的性质知，扇形ABmC中，半径AB=1，圆心角∠BAC=600，∴弧长。由正六边形的对称性，知，所得到的三条弧的长度之和为弧长的6倍，即。14.（江苏省南通市2022年3分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在轴上，并与直线相切．设三个半圆的半径依次为r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝▲．23\n【答案】9。【考点】一次函数，直角三角形的性质，相似三角形。【分析】设直线y＝x与三个半圆分别切于A，B，C，作AEX轴于E，则在Rt∆AEO1中，易得∠AOE=∠EAO1=300，由r1＝1得EO=，AE=，OE=，OO1=2。则。同理，。15.（2022江苏南通3分）如图，在⊙O中，∠AOB＝46º，则∠ACB＝▲º．【答案】23°。【考点】圆周角定理。【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质，∵∠AOB和∠ACB是同⊙O中同弧所对的圆周角和圆心角，且∠AOB＝46º，∴∠ACB=∠AOB=×46°=23°。三、解答题1.（2022江苏南通6分）请阅读下题及其证明过程，并回答所提出的问题：如图，已知P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径，求证：AC∥OP。证明：连结AB，交OP于点D.∵PA、PB切⊙O于A、B，∴PA＝PB，∠1＝∠2。∴PD⊥AB。∴∠3＝∠900。∵___________________________________(＊)，∴∠4=900。∴∠3=∠4。23\n∴AC∥OP。(1)D在（＊）处的横线上补上应填的条件；(2)上述证明过程中用到的定理名称或定理的具体内容是（只要求写出两个）；①________________________________________________;②________________________________________________.【答案】解：（1）BC是直径。 （2）①直径所对的圆周角是直角； ②内错角相等，两直线平行。（答案不唯一）【考点】开放型，切线的性质，等腰三角形的性质，平行的判定。【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，填写“BC是直径”而得到∠4=900。 （2）根据证明过程写出两条即可。2.（2022江苏南通11分）如图，已知ΔABC内接于⊙O，点E在弧BC上，AE交BC于点D，EB2＝ED·EA，经过B，C两点的圆弧交AE于点I。（1）求证：ΔABE∽ΔBDE；（2）如果BI平分∠ABC，求证：；（3）设⊙O的半径为5，BC＝8，∠BDE＝450，求AD的长。23\n【答案】解：（1）证明：∵EB2＝ED·EA，∴。又∵∠AEB＝∠BED，∴ΔABE∽ΔBDE。（2）证明：根据第（1）ΔABE∽ΔBDE，得到∠EBD=∠BAE。∵BI平分∠ABC，∴∠DBI=∠ABI。∵∠EBI=∠EBD＋∠DBI，∠BIE=∠BAE＋∠ABI，∴∠EBI=∠BIE。∴△BEI是等腰三角形，即BE=EI。根据第（1）ΔABE∽ΔBDE，得到，即。∴。（3）如图，连接OB，OE，OE交BC于点F。根据（1）ΔABE∽ΔBDE，得到∠EBD=∠BAE，∴。∴OE是BC的中垂线。∵⊙O的半径为5，BC＝8，∴BF=CF=4，OB=5。∴根据勾股定理，得OF=3。∴EF=5－3=2。∵∠BDE＝450，∴ΔDEF是等腰直角三角形。∴DF=EF=2，DE=2，BD=4＋2，DC=4－2。又∵∠DBE=∠DAC，∠BED=∠ACD，∴ΔDBE∽ΔDAC。∴，即，解得AD=2。【考点】圆的综合题，相似三角形的判定和性质，角平分线定义，圆周角定理。垂径定理，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。【分析】（1）由EB2＝ED·EA可得，由公共角∠BED=∠ACB，根据相似三角形的判定即可证得ΔABE∽ΔBDE。（2）由（1）ΔABE∽ΔBDE可得∠EBD=∠BAE，从而由BI平分∠ABC可得∠EBI=∠BIE，根据等角对等边的判定得BE=EI。由（1）ΔABE∽ΔBDE可得，从而得出结论。（3）连接OB，OE，OE交BC于点F。由（1）ΔABE∽ΔBDE，得到∠EBD=∠BAE，从而得到，从而得出OE是BC的中垂线。由∠BDE＝450，得ΔDEF是等腰直角三角形。因此可求出BD、CD、DE的长，由ΔDBE∽ΔDAC的对应边成比例即可求得AD的长。23\n3.（江苏省南通市2022年10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，DE⊥AC，E为垂足．（1）求证：∠ADE=∠B；（2）过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F．求证：FD·DA=FO·DE．【答案】证明：（1）连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC又∵AB=AC，∴AD平分∠BAC，即∠OAD=∠CAD。∴∠ODA=∠DAE=∠OAD。∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADE+∠ODA=90°。∴∠ODE=90°，即OD⊥DE。∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线。∴∠ADE=∠B。（2）∵OF∥AD，∴∠F=∠ADE。又∵∠DEA=∠FDO（已证），∴△FDO∽△DEA。∴FD：DE=FO：DA，即FD•DA=FO•DE。【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理，角平分线的性质，直角三角形两锐角的关系，圆切线的判定，弦切角定理，平行的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接OD，证明OD⊥EF，得出EF是⊙O的切线，根据切线的性质得出结论。（2）通过证明△FDO∽△DEA，得出对应的比例，证明结论。4.（江苏省南通市2022年8分）如图，已知Rt△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=90°，AH⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交⊙O于点F，且AE=BE．（1）求证：；（2）若BE•EF=32，AD=6，求BD的长．23\n【答案】解：（1）证明：连接BH，根据垂径定理可知，∴∠BAH=∠BHA。∵AE=BE，∴∠BAH=∠ABF。∴∠BHA=∠ABF。∴。（2）∵BE•EF=32，且BE•EF=AE•EH，∴AE•EH=32。∵AD=6，∴AH=12。∴AE•（12＋AE）=32，解得AE=4或8（不合舍去）。∴AE=4，DE=2。∵AE=BE，∴BE=4。∴BD=。【考点】圆周角定理，垂径定理，相交弦定理，勾股定理。【分析】（1）要证就要利用相等的圆周角所对的弧相等来证明，所以连接BH，根据垂径定理可知。因为AE=BE，利用等腰三角形的性质及等量代换就可证明。（2）已知BE•EF=32，AD=6，所以可根据相交弦定理求出AE，EH的长，然后再由已知AE=BE求出BE的长，利用勾股定理即可求出BD的长。5.（江苏省南通市2022年8分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC。⑴从图中找出一对相似三角形（不添加任何字母和辅助线），并证明你的结论；⑵若AD＝2，AE＝1，求CD的长。【答案】解：（1）△BCO∽△DBE。证明如下：23\n∵∠BDE=90°，∠CBO=90°，∴∠BDE=∠CBO。又∵OC⊥BD，∴∠DEB+∠DBE=∠DBE+∠BOC=90°。∴∠DEB=∠BOC。∴△BCO∽△DBE。
（2）∵AD2=AE•AB，AD=2，AE=1，∴AB=4。∵CD=CB，∠ABC=90°，设CD的长为x，则（x+2）2=x2+42，解得x=3，即CD=3。【考点】切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定，切割线定理，勾股定理。【分析】（1）△BCO∽△DBE。首先容易得出∠BDE=∠CBO=90°，再利用垂径定理可知OC⊥BD，那么∠DBE+∠BOC=90°，而∠DEB+∠DBE=90°，故∠DEB=∠BOC，那么△BCO∽△DBE。（2）先根据切割线定理可求出AB，在Rt△ABC中，利用勾股定理可以求出CD。6.（江苏省南通市大纲卷2022年10分）如图,已知：AO为的直径,与的一个交点为E,直线AO交于B、C两点,过的切线GF,交直线AO于点D,与AE的延长线垂直相交于点F.（1）求证：AE是的切线;（2）若AB=2，AE=6，求的周长.【答案】解：（1）证明：连接OE，∵AO是⊙O1的直径，∴∠AEO=90°。∵OE是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线。
（2）∵AE是⊙O的切线，ACO是⊙O的割线，∴AE2=AB•AC。∵AB=2，AE=6，∴AC=18，BC=AC－AB=16，OG=OB=8。∵OE⊥AF，OG⊥DF，DF⊥AF，EF=FG，OE=OG，∴四边形FGOE是正方形。∴EF=OG=8，AF=14。23\n∵OG∥AF，∴OG：AF=DG：（DG+FG），即8：14=DG：（DG+8），解得。在Rt△OGD中，OG2+DG2=OD2，即82+（）2=（8+CD）2，解得CD=。∴△ODG的周长=DG+CD+OC+OG=32。【考点】圆周角定理，切线的判定，切割线定理，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理。【分析】（1）连接OE，由于AO是⊙O1的直径，则直径对的圆周角是直角，所以∠AEO=90°，而OE是圆O的半径，所以AE是圆O的切线。（2）由切割线定理可求得AC，BC的长，从而得到四边形FGOE是正方形，根据平行线的性质可求得DG的长；再根据勾股定理得到CD的长，这样△ODG的周长即可求。7.（江苏省南通市课标卷2022年7分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD=600m，EF=100m，求这段弯路的半径．【答案】解：连结OC．设这段弯路的半径为R米，则OF＝OE－EF＝R－100。∵OE⊥CD，∴CF＝CD＝×600＝300。根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋（R－100）2。解之，得R＝500。所以这段弯路的半径为500米。【考点】垂径定理，勾股定理。【分析】连接OC，设这段弯路的半径为R米，可得OF=OE－EF=R－100．由垂径定理得CF=CD==300。由勾股定理可得OC2=CF2+OF2，解得R的值。8.（江苏省南通市大纲卷2022年8分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD=3，AC=，求AB的长．23\n【答案】解：（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC。∴∠DAC=∠OCA。∴OC∥AD。∴AD⊥CD。（2）连接BC，则∠ACB=90°．∵∠DAC=∠OAC，∴△ADC∽△ACB。∴，∴AC2=AD·AB。∵AD=3，AC=，∴AB=5。【考点】切线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，平行的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接OC；根据切线的性质知：OC⊥CD；因此只需证OC∥AD即可．已知AC平分∠BAD，即∠DAC=∠BAC，等腰△OAC中，∠OAC=∠OCA，等量代换后可得出OC、AD的内错角相等，由此得证。（2）连接BC，证△ADC∽△ACB，根据相似三角形得出的对应边成比例线段，可将AB的长求出。9.（江苏省南通市课标卷2022年6分）．如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O的切线PA与弦BC的延长线相交于点P，∠PBA的平分线交PA于点D，∠ABC=30°．（1）求∠ADB的度数；（2）若PA=2cm，求BC的长．【答案】解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠PAB=90°。∵BD平分∠PBA，∴∠ABD=∠ABC=×30°=15°。∴∠ADB=90°－∠ABD=75°。23\n（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠PCA=∠ACB=90°；在Rt△ABP中，∠ABP=30°，PA=2cm，∴PB=4cm。∵PA是⊙O的切线，PB是⊙O的割线，∴PA2=PC·PB，即22=（4－BC）·4，解得BC==3（cm）。【考点】切线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，切割线定理。【分析】（1）根据切线的性质知：∠PAB=90°，再根据∠PBA的平分线交PA于点D，∠ABC的度数，可得：∠ABD的度数，从而求出∠ADB的度数。（2）在Rt△ABP中，由PA的长和∠ABP=30°，根据含30度角的直角三角形性质可将PB的长求出，从而根据切割线定理将BC的长求出。10.（江苏省南通市2022年10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【答案】解：（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA。∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD。∴∠OAD=∠EDA。∴OA∥CE。∵AE⊥CD，∴∠AED=900。∴∠OAE=∠AED=900。∴AE⊥OA。∴AE是⊙O的切线。（2）∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=∠BAD=900。∵∠DBC＝30°，∴∠BDC=600。∴∠BDE=1200。∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA=600。∴∠ABD=∠EAD=300。在Rt△AED中，∠AED=900，∠EAD=300，∴AD=2DE。在Rt△ABD中，∠BAD=900，∠ABD=300，∴BD=2AD=4DE。∵DE＝1cm，∴BD=4DE＝4cm。23\n【考点】等腰三角形的性质，平行的判定和性质，圆切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，含300角直角三角形的性质。【分析】（1）要证AE是⊙O的切线只要证AE垂直于过切点的半径即可，结合已知条件通过应用等腰三角形等边对等角的性质和平行的判定和性质即可得到。（2）由BD是⊙O的直径，根据直径所对圆周角是直角的性质，得到△AED和△ABD各角的度数，应用300角直角三角形中300角所对直角边是斜边一半的性质即可求解。11.（江苏省南通市2022年8分）已知：如图，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN＝4cm．（1）求圆心O到弦MN的距离；（2）求∠ACM的度数．【答案】解：（1）连结OM。∵点M是的中点，∴OM⊥AB．。过点O作OD⊥MN于点D，由垂径定理，得。在Rt△ODM中，OM＝4，，∴OD＝。∴圆心O到弦MN的距离为2cm。（2）∵cos∠OMD＝，∴∠OMD＝30°。又∵OM⊥AB，∴∠ACM＝60°。【考点】圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）连接OM，作OD⊥MN于D．根据垂径定理和勾股定理求解。（2）根据（1）中的直角三角形的边求得∠M的度数．再根据垂径定理的推论发现OM⊥AB，即可解决问题。12.（江苏省南通市2022年8分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足M是OB的中点，CD＝6cm，求直径AB的长．23\n【答案】解：连结OC，BC，则OC=OB。∵PC垂直平分OB，∴OC=BC。∴OC=OB=BC。∴△BOC为等边三角形。∴∠BOC=60°。由垂径定理，CM=CD=3cm。在Rt△MOC中，。∴cm。∴AB=2OB=4OM=4cm。【考点】等边三角形的判定和性质，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由条件可得到△BOC为等边三角形，从而由垂径定理结合锐角三角函数求解。13.（江苏省南通市2022年8分）如图，AM切⊙O于点A，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．求∠B的度数．【答案】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB，∵AM切⊙O于点A，即OA⊥AM，又BD⊥AM，∴OA∥BD，∴∠AOC＝∠OCB又∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠OCB＝∠COB＝600。【考点】圆切线的性质，角平分线定义，直线平行的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】要求∠B，由于OC＝OB，根据等边对等角可知∠OCB＝∠B。由于OA，BD都垂直于同一条直线AM，从而OA∥BD，根据两直线平行内错角相等，有∠AOC＝∠OCB。而OC平分∠AOB，通过等量代换可得∠B＝∠OCB＝∠COB，因此由三角形的内角和1800可得∠B＝＝600。23\n14.（2022江苏南通8分）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．23
