2022-2022年江苏南京中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题4：图形的变换一、选择题1.（2022江苏南京2分）如图是将三角形绕直线L旋转一周，可以得到图中所示的立体图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。【考点】点、线、面、体的概念，旋转的性质。【分析】本题是一个平面图形围绕一条边为中心对称轴旋转一周根据面动成体的原理可知，绕直角三角形一条直角边旋转可得到圆锥，本题要求得到两个圆锥的组合体，那么一定是两个直角三角形的组合体：两条直角边相对，绕另一直角边旋转而成的。故选B。2.（江苏省南京市2022年2分）圆锥的侧面展开图是【】A、三角形 B、矩形 C、圆 D、扇形【答案】D。【考点】几何体的展开图。【分析】圆锥的侧面展开图是扇形。故选D。3.（江苏省南京市2022年2分）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝acm，宽BC＝bcm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于【】．（A）∶l（B）1∶（C）∶l（D）1∶【答案】A。【考点】折叠问题，比例线段，比例的性质。【分析】∵，∴。∴。∴a：b=：1。故选A。19\n4.（江苏省南京市2022年2分）下列四个几何体中，主视图、左视图与俯视图是全等图形的几何体是【】A、球B、圆柱C、三棱柱D、圆锥【答案】A。【考点】全等图形，简单几何体的三视图【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、正面和上面看，所得到的图形。因此，A、球的三视图是相等圆形，符合题意；B、圆柱的三视图分别为长方形，长方形，圆，不符合题意；C、三棱柱三视图分别为长方形，长方形，三角形，不符合题意；D、圆锥的三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意。故选A。5.（江苏省南京市2022年2分）下列四个几何体中，已知某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、圆，则该几何体是【】Ａ．球体Ｂ．长方体Ｃ．圆锥体Ｄ．圆柱体【答案】D。【考点】由三视图判断几何体.【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形。因此，A、球体的三视图都是圆，不符合题意；B、长方体的三视图都是矩形，不符合题意；C、圆锥体的主视图，左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和中间一点，不符合题意；D、圆柱体的主视图，左视图都是长方形，俯视图是圆，符合题意。故选D。6.（江苏省2022年3分）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有【】A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B。【考点】简单几何体的三视图。19\n【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体。故选B。7.（江苏省南京市2022年2分）如图是一个三棱柱，下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是【】A．B．C．D．【答案】B。【考点】图形的展开与折叠。【分析】根据三棱柱及其表面展开图的特点．三棱柱上、下两底面都是三角形得：A、折叠后有二个侧面重合，不能得到三棱柱；B、折叠后可得到三棱柱；C、折叠后有二个底面重合，不能得到三棱柱；D、多了一个底面，不能得到三棱柱。故选B。8.（2022江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，的值为【】A.B.C.D.【答案】A。【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。∴∠D=180°-∠A=120°。根据折叠的性质，可得19\n∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M。∴BC=CM。设CF=x，D′F=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y，在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°=，∴。∴。故选A。二、填空题1.（江苏省南京市2022年2分）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称：▲．【答案】平行四边形，等腰梯形（答案不唯一）。【考点】三角形中位线定理【分析】让相等边重合，动手操作看拼合的形状即可：
如图：可知可拼成平行四边形、等腰梯形和矩形三种不同的形状．2.（江苏省南京市2022年2分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF，将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF，旋转角为α（0°＜α＜180°），则∠α=▲．19\n【答案】90°。【考点】旋转的性质，正方形的性质。【分析】首先作出旋转中心，根据正方形的性质即可求解：∵四边形ABCD是正方形．∴∠AOB=90°，∴α=90°。三、解答题1.（2022江苏南京8分）如图，E、F是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线FE交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H，作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足为M、N，设HM=x，矩形AMHN的面积为y。（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？【答案】解：（1）∵EC=1，BC=4，∴BE=3。∵CF∥BG，∴△CEF∽△BEG。∴，即：。∴BG=4。在Rt△GMH中，tan∠G=tan∠CFE=。∵HM=x，tan∠G=∴MG=。∴AM=AG－MG=AB＋BG－MG=。∴。（2）由（1）的函数式可知：。19\n∴当x=3时，矩形AMHN的面积最大，最大值为12。【考点】动点问题，二次函数综合题，矩形和正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，二次函数最值。【分析】（1）要求矩形的面积，就要得出AM和MH的值，已知了MH为x，关键是求AM的长，那么必须得出BG，MG的长，可根据相似三角形CFE和BGE求出BG的长（也可用BE和∠C的正切值来求）．然后在直角三角形GMH中，用HM和∠C的正切值求出MG，这样就能表示出AM的长，就可得出关于x，y的函数关系式。（2）可根据（1）的函数的性质及自变量的取值范围来求出矩形面积的最大值以及对应的x的值。2.（江苏省南京市2022年9分）如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD为矩形；（2）如图，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切．【答案】解：（1）根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20﹣t，解得t=4。答：t为4时，四边形APQD为矩形。（2）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切。①如果点P在AB上运动。只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4。由（1），得t=4。②如果点P在BC上运动。此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P与⊙Q外离。③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧。可得CQ=t，CP=4t﹣24。当CQ﹣CP=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，t﹣（4t﹣24）=4，解得。④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧。当CP﹣CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，4t﹣24﹣t=4，解得。19\n∵点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D移动到D需要11s，点Q从C开始沿CD边移动到D需要20s，而，∴符合题意。综上所述，当t为4s，s，s时，⊙P与⊙Q外切。【考点】动点问题，矩形的判定和性质，圆与圆的位置关系。【分析】（1）四边形APQDA为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解出即可；（2）分点P在AB上，点P在BC上，点P在CD上在点Q右侧，点P在CD上在点Q左侧四种情况，根据每一种情况，找出相等关系，解出即可。3.（江苏省南京市2022年7分）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合（如图），所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）：①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（）②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（）（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是．（写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．【答案】解；（1）①假；②真。（2）①、③。（3）①如正五边形，正十五边形；②如正十边形，正二十边形。（答案不唯一）【考点】旋转对称的性质，多边形内角和定理，轴对称图形，中心对称图形。【分析】（1）根据旋转对称的性质可得出结论。（2）找出内角度数能整除1200的正多边形即可。（3）有一个旋转角为72°的旋转对称图形是正五边形，正十边形，正十五边形，正二十边形等（边数是5的倍数）。边数是奇数时，它们是轴对称图形，但不是中心对称图形；边数是偶数时，它们既是轴对称图形，又是中心对称图形。19\n4.（江苏省南京市2022年9分）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.(1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，，求DE的长；(2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．【答案】解：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，，∠D=900。根据轴对称的性质，得EF=。∴DF=AD－。在Rt△DEF中，。（2）设AE与FG的交点为O。根据轴对称的性质，得AO=EO，取AD的中点M，连接MO。则MO=DE，MO∥DC。设DE=，则MO=。在矩形ABCD中，∠C=∠D=900，∴AE为△AED的外接圆的直径，点O为圆心。延长MO交BC于点N，则ON∥CD。∴∠CMN=1800－∠C=900。∴ON⊥BC。∴四边形MNCD是矩形。∴MN=CD=AB=2。∴ON=MN－MO=2－。∵△AED的外接圆与BC相切，∴ON是△AED的外接圆的半径。∴OE=ON=2－，AE=2ON=4－。在Rt△AED中，，即。解得，。19\n∴DE，OE=2－。根据轴对称的性质，得AE⊥FG。∴∠D=900。又∵∠FEO=∠AED，∴△FEO∽△AED。∴，即。又∵AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO。∴△FEO≌△GAO。∴FO=GO。∴FG=2FO=。∴折痕FG的长是。5.（江苏省南京市2022年7分）如图，是半径为的上的定点，动点从出发，以的速度沿圆周逆时针运动，当点回到地立即停止运动．（1）如果，求点运动的时间；（2）如果点是延长线上的一点，，那么当点运动的时间为时，判断直线与的位置关系，并说明理由．【答案】解：（1）当时，点运动的路程为周长的或。设点运动的时间为。当点运动的路程为周长的时，，解得。19\n当点运动的路程为周长的时，，解得。∴当时，点运动的时间为或。（2）如图，当点运动的时间为时，直线与相切。理由如下：当点运动的时间为时，点运动的路程为。连接。∵的周长为，∴的长为周长的。∴。∵，∴是等边三角形。∴，。∵，∴。∵，∴。∴。∴。∴直线与相切。【考点】扇形的弧长，等边三角形的判定和性质，三角形外角定理，直线与圆相切的判定。【分析】（1）根据得出点运动的路程为周长的或分别求解。（2）按照垂直于过切点半径的直线是圆的切线的判定思路探求即可。6.（江苏省南京市2022年10分）在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．（1）填空：①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（，）；②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为；19\n（2）如图3，分别以锐角三角形的三边，，为边向外作正方形，，，点，，分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系．【答案】解：（1）①2，600；②2。（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段；经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段。∵，，∴，。【考点】新定义，旋转的性质。【分析】（1）直接根据旋转相似变换的定义写出的坐标和线段的长。（2）反复应用旋转相似变换得出结论。7.（江苏省南京市2022年6分）如图，菱形（图1）与菱形（图2）的形状、大小完全相同．（1）请从下列序号中选择正确选项的序号填写；①点；②点；③点；④点．19\n图1图2如果图1经过一次平移后得到图2，那么点对应点分别是；如果图1经过一次轴对称后得到图2，那么点对应点分别是；如果图1经过一次旋转后得到图2，那么点对应点分别是；（2）①图1，图2关于点成中心对称，请画出对称中心（保留画图痕迹，不写画法）；②写出两个图形成中心对称的一条性质：．（可以结合所画图形叙述）【答案】解：（1）①；②；④。（2）①画图如下：②对应线段相等（答案不惟一）。【考点】作图（平移变换，轴对称变换，旋转变换）。【分析】（1）利用对应边平行且相等，即可找出对应边、对应点；利用找两个图形的对称轴即可找出相应的对应点；利用旋转前后的对应角相等，即可找出对应点。（2）利用对应点的连线都经过对称中心，即可解决问题。8.（江苏省南京市2022年8分）如图，已知的半径为6cm，射线经过点，，射线与相切于点．两点同时从点出发，点以5cm/s的速度沿射线方向运动，点以4cm/s的速度沿射线方向运动．设运动时间为s．（1）求的长；（2）当为何值时，直线与相切？19\n【答案】解：（1）连接。∵与相切于点，∴，即。∵，，∴。（2）过点作，垂足为．∵点的运动速度为5cm/s，点的运动速度为4cm/s，运动时间为s，∴，。∵，，∴。又，∴．∴。∵，∴四边形为矩形。∴。∵的半径为6，∴时，直线与相切。①当运动到如图1所示的位置，。由，得，解得。②当运动到如图2所示的位置，。由，得，解得。∴当为0.5s或3.5s时直线与相切．【考点】直线和圆相切的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。19\n【分析】（1）连接，由直线和圆相切的性质，三角形OPQ是直角三角形，应用勾股定理即可求出的长。（2）由已知可证得，从而可证得四边形为矩形，因此得出时，直线与相切。分两种情况分别求出值。9.（江苏省2022年10分）（1）观察与发现小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到（如图②）．小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．【答案】解：（1）同意。理由如下：如图，设与交于点。由折叠知，平分，∴。又由折叠知，，∴。∴。∴，即为等腰三角形。（2）由折叠知，四边形是正方形，，∴。又由折叠知，，∴。∴。【考点】折叠问题，对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，正方形的判定和性质。【分析】（1）由折叠对称的性质，可得和，从而可得19\n，根据等腰三角形等角对等边的判定得到为等腰三角形的结论。（2）由折叠对称的性质，可得和平分，从而，因此。10.（江苏省南京市2022年8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）设AE=x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并填写自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．19\n【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，【分析】（1）欲求y关于x的函数关系式，即△EGF的面积，观察图形发现S△EGF=EF·MG，由条件AM=DM及正方形的性质可得△AME≌△DMF，所以EF=2EM，因此求出面积的关键是求出MG。结合图形发现过点M作MN⊥BC，垂足为N可得Rt△AME∽Rt△NMG，从而运用相似三角形的性质得到MG的长，问题获解。（2）如图，点P运动的路线在AB的中垂线OP上，理由如下：由（1）知MG=2ME，又点P是MG的中点，∴MP=ME。又∵∠PMG=900－∠EMO=∠EMA，∠MOP=∠A=900，∴Rt△MOP≌Rt△MAE（AAS）。∴MO=AM。又∵正方形ABCD中M是AD的中点，∴MO=ON。∴点P在AB的中垂线OP上。如图，P1P2（P1是P起始位置，P2是P终止位置．）是点P运动路线的长。由Rt△ABM≌Rt△P2P1M（ASA），得P1P2=AB=2。11.（江苏省南京市2022年8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为s．⑴当=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；⑵已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求的值．19\n【答案】解：⑴直线AB与⊙P相切．如图，过点P作PD⊥AB,垂足为D．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC=6cm，BC=8cm，∴．∵P为BC的中点，∴PB=4cm。∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC．∴△PBD∽△ABC。∴，即，∴PD=2.4(cm)。当时，PQ(cm)。∴PD＝PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径。∴直线AB与⊙P相切。⑵∠ACB＝90°，∴AB为△ABC的外切圆的直径。∴。12.（2022江苏南京10分）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。（1）已知∠APB是上关于点A、B的滑动角。19\n①若AB为⊙O的直径，则∠APB=②若⊙O半径为1，AB=，求∠APB的度数（2）已知为外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，∠APB为上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。【答案】解：（1）①900。②如图，连接AB、OA、OB．在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2。∴∠AOB=90°。当点P在优弧AB上时（如图1），∠APB=∠AOB=45°；当点P在劣弧AB上时（如图2），∠APB=（360°－∠AOB）=135°。（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，∵∠MAN=∠APB+∠ANB，∴∠APB=∠MAN-∠ANB。第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，19\n∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。第四种情况：点P在⊙O2内，如图6，∠APB=∠MAN+∠ANB。【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。【分析】（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB=900。②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论即可。（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。19
