2022-2022年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题6：函数的图象与性质一、选择题1.（天津市2022年3分）已知均为正数，且，则下列4个点中，在反比例函数图象上的点的坐标是【】（A）（B）（C）（D）2.（天津市2022年3分）已知，如图为二次函数的图象，则一次函数的图象不经过【】（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】B。【考点】一次函数图象与系数的关系，二次函数图象与系数的关系。34\n【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴交点横坐标的符号判断出的正负情况，再由一次函数的性质解答：由二次函数图象开口向上可知＞0；对称轴，得＞0；与轴交点横坐标的符号为一正一负，即，得。∴一次函数的＞0，。∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。故选B。3.（天津市2022年3分）已知二次函数，且＜0，＞0，则一定有【】（A）＞0(B)=0(C)＜0(D)c≤0【答案】A。【考点】二次函数图象与系数的关系。【分析】∵＜0，∴抛物线的开口向下．。∵＞0，∴当=－1时，=＞0，画草图得：抛物线与轴有两个交点，∴＞0。故选A。4.（天津市2022年3分）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）其中正确的结论有【】A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C。【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，不等式的性质。【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，从而对所得结论进行判断：34\n①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=1，能得到：a＜0，c＞0，，∴b=－2a＞0，∴abc＜0。∴①正确。②当x=－1时，由图象知y＜0，把x=-1代入解析式得：a-b+c＜0，∴b＞a+c。∴②错误。③由①知b=－2a，c＞0，∴4a＋2b＋c=4a－4a＋c=c＞0。∴③正确。④∵由①②知b=－2a且b＞a+c，∴2c＜3b。∴④正确。⑤由①知b=－2a，∴a＋b=a－2a=－a＞0，，m（am＋b）=m（m－2）a。∵，∴（m－1）2＞0，即m2－2m+1＞0，1＞－m（m－2））。两边同乘以－a，得－a＞m（m－2）a），即a+b＞m（am+b），（m≠1的实数）成立。∴⑤正确。因此正确结论是①、③，④，⑤共有4个。故选C。5.（天津市2022年3分）在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（2，0），若点C在一次函数的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有【】A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D。【考点】一次函数综合题，圆周勾股定理理，勾股定理。【分析】如图，满足条件的点C有4点：（1）过点A（－4，0）作C1A⊥AB交的图象于点C1（－4，4）（把代入即可得）。（2）过点B（2，0）作C2B⊥AB交的图象于点C2（2，1）（把代入即可得）。（3）以AB=6为直径，点（－1，0）为圆心作圆，交的图象于点C3、C4。设圆心为点D，，连接CD，过点C作CE⊥AB于点E。在Rt△CDE中，，即。又∵点C在上，∴把代入得34\n，解得。∴当时，；当时，。∴。综上所述，满足条件的点C有4个：C1（－4，4），C2（2，1），。故选D。6.（天津市2022年3分）已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是【】（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】D。【考点】二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】结合所给图象，根据二次函数的性质分析作答：设对应的一元二次方程两根为，则①∵二次函数的图象与轴有两个交点，∴。所以①正确。②∵二次函数的图象开口向下，∴34\n又∵二次函数的图象与轴交于轴两侧，∴。∴。又∵二次函数的图象的对称轴为，∴。∴。所以②正确。③∵，即，∴二次函数可化为。又∵当时，函数值，即。所以③正确。④∵当时，函数值，且对称轴为，点－1关于对称轴的对称点为3。∴根据对称性，当时，函数值，即。所以④正确。综上所述，正确结论的个数是4个。故选D。7.（天津市2022年3分）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网所用时间计算；方式B除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费。若上网所用时问为分．计费为元，如图．是在同一直角坐标系中．分别描述两种计费方式的函救的图象，有下列结论：①图象甲描述的是方式A：②图象乙描述的是方式B；③当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱．其中，正确结论的个数是【】(A)3(B)2(C)1(D)0【答案】A。【考点】一次函数的图象和性质。34\n【分析】①方式A以每分0.1元的价格按上网所用时间计算，函数关系式为=0.1，与图象甲描述的是方式相同，故结论正确；②方式B除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费，函数关系式为=0.05+20，与图象乙描述的是方式相同，故结论正确；③从图象观察可知，当>400时，乙<甲，所以当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱，故结论正确。综上，选A。二、填空题3.（天津市2022年3分）已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点（0，1），且y随x的增大而增大，请你写出一个符合上诉条件的函数关系式▲【答案】y=x+1（答案不唯一）。【考点】一次函数的性质。34\n【分析】∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点（0，1），∴b=1。又∵y随x的增大而增大，∴k＞0。符合上述条件的函数式只要符合上述条件即可，例如y=x+1（答案不唯一）。4.（天津市2022年3分）已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），则该函数的图象与y轴交点的坐标为▲．【答案】（0，－1）。【考点】待定系数法求一次函数解析式，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），用待定系数法可求出函数关系式，再求出该函数的图象与y轴交点的坐标：设一次函数的解析式为y=kx+b，∵一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），∴，解得：。∴一次函数的解析式为y=2x－1。∵当x=0时，y=－1。∴该函数的图象与y轴交点的坐标为（0，－1）。5.（天津市2022年3分）某书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超过10本部分打八折．设一次购书数量为x本，付款金额为y元，请填写下表：x（本）271022y（元）16【答案】x（本）271022y（元）165680156.8【考点】一次函数的应用。【分析】根据题意，可得分段函数关系式：。∴当x=7时，y=7×8=56；当x=10时，y=8×10=80；当x=22时，y=6.4×22＋16=156.8。6.（天津市2022年3分）已知一次函数与的图象交于点P，则点P的坐标为▲．34\n【答案】（3，0）。【考点】两条直线相交问题，解二元一次方程组。【分析】一次函数与的图象的交点坐标，即是以这两个一次函数的解析式为方程组的解：由题意得：，解得：。∴点P的坐标为（3，0）。7.（天津市2022年3分）已知二次函数()中自变量和函数值的部分对应值如下表：则该二次函数的解析式为▲．【答案】。【考点】待定系数法求二次函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，可任选三组数据，用待定系数法求出抛物线的解析式，考虑到对称性，（，）是其顶点，故用顶点式较简单。所以，设所求二次函数解析式为，将（0，1）代入，得，解得。∴所求二次函数解析式为，即。8.（天津市2022年3分）已知一次函数的图象经过点(0．1)．且满足随的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为▲(写出一一个即可)．【答案】（答案不唯一）。34\n【考点】一次函数的图象和性质。【分析】根据一次函数的图象和性质，直接得出结果。答案不唯一，形如都可以。三、解答题1.（2022天津市7分）已知关于x的一次函数和反比例函数的图象都过点（1，-2），求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两个函数图象的另一个交点的坐标。【答案】解：（1）∵一次函数和反比例函数的图象都过点（1，－2），∴把（1，－2）分别代入两个解析式中得：，解得。∴一次函数表达式为，反比例函数表达式为。（2）依题意得：，解之得，，。∴另一个交点坐标为（，－4）。【考点】一次函数和反比例函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）把（1，-2）代入两个函数解析式中就可以得到关于m，n的方程组，然后解方程组即可求出m，n的值。（2）把两个函数解析式组成方程组解方程组就可以得到另一个交点坐标。2.（2022天津市7分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=a，AC=b．且a＞b，若a，b分别是二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标，求a、b的值。【答案】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理有：，∵a，b分别是二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标，∴。34\n∴。由（1）得，把（2）（3）代入得，解得k=4，k=－6。∵a＞b＞0，∴a+b=2k+1＞0。∴k＞。∴k=4。∴二次函数的解析式为。令y=0，。∵a＞b，∴a=7，b=2。【考点】二次函数综合题，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系。【分析】根据勾股定理可得出，根据一元二次方程根与系数的关系可得出，联立三式即可得出k的值，从而可通过解方程求出a，b的值。3.（天津市2022年8分）已知抛物线（为常数）与轴交于A、B两点，且线段AB的长为。（I）求的值；（II）若该抛物线的顶点为P，求ΔABP的面积。【答案】解：（I）∵与轴交于A、B两点，即关于的方程有两不相等垢实数根，∴关于的方程的判别式，即。又∵，∴。根据题意，，解得。（II）∵,∴抛物线为,其顶点P的纵坐标为。34\n∴。【考点】抛物线与轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线的性质。【分析】（I）设抛物线与轴交点的横坐标为，首根据根与系数的关系得到，而，由此可以得到关于的方程，解方程即可求出。（II）由（I）可以求出抛物线的解析式，然后利用抛物线顶点公式即可求出顶点坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△ABP的面积。4.（天津市2022年8分）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，如果A点的坐标为(2，0)，点C、D分别在第一、三象限，且OA=OB=AC=BD。试求一次函数和反比例函数的解析式。【答案】解：设一次函数的解析式为，由OA=OB，A(2，0)，得B(0，－2).∵点A、B在一次函数的图象上，则，解得∴一次函数的解析式为。过点C作CE垂直于轴，垂足为E。∵OA=OB=AC=2，∴ΔAEC为等腰直角三角形。∴。∴点C的坐标为。34\n设反比例函数的解析式为，∵点C在反比例函数的图象上，则，∴。∴反比例函数的解析式。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法。【分析】求出B的坐标，根据待定系数法即可求得一次函数解析式。作CE⊥轴于点E．易得到△CAE为等腰直角三角形．就可求得C的坐标，据待定系数法就可求得反比例函数解析式。5.（天津市2022年10分）已知二次函数。（I）结合函数的图象，确定当取什么值时,；（II）根据（I）的结论，确定函数关于的解析式；（III）若一次函数的图象与函数的图象交于三个不同的点，试确定实数与应满足的条件。【答案】解：（I）画出函数的图象，由它的图象可知：当<－1或>3时，>0，当=－1或=3时，=0，当－1<<3时，<0。（II）根据（I）的结论，可得当≤－1或≥3时，||=,∴当－1<<3时，||=－，∴∴函数关于的解析式为。（III）由题设条件，时，一次函数的图象与函数的图象有三个交点，只需一次函数的图象与函数的图象在－1<<3的范围内有两个交点，34\n即方程组有两组不相等的实数解。消去，得。即只需二次函数的图象与轴的两个交点在－1<<3范围内。此时，应同时满足以下三个条件：（1）判别式，即。（2）二次函数图象的对称轴满足，得。又，∴或。（3）当=－1与=3时，的函数值均应大于0，即，解得∴当时，有；当时，有。6.（天津市2022年8分）已知抛物线。34\n（1）求证：该抛物线与轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。【答案】解：（1）证明：解方程，得，∴抛物线与轴有两个交点。（2）由（1）得A（－2，0），B（4，0），故AB=6。∵，∴P点坐标为（1，－9）。过P作PC⊥轴于C，则PC=9。∴S△ABP=AB•PC=×6×9=27。【考点】抛物线与轴的交点，抛物线的性质。【分析】（1）根据方程解的情况即可判断出二次函数的图象与轴交点的个数。（2）求出顶点坐标即可根据三角形面积公式求得△ABP的面积。7.（天津市2022年8分）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C，CD垂直于轴，垂足为D。若OA＝OB＝OD＝1。（1）求点A、B、D的坐标；（2）一次函数和反比例函数的解析式。【答案】解：（1）∵OA=OB=OD=1，∴点A、B、D的坐标分别为A（－1，0），B（0，1），D（1，0）。（2）∵点A、B在一次函数的图象上，∴，解得。∴一次函数的解析式为。∵点C在一次函数的图象上，且CD⊥轴，∴点C的坐标为（1，2）。34\n又∵点C在反比例函数的图象上，∴=2。∴反比例函数的解析式为。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据OA=OB=OD=1和各坐标轴上的点的特点易得到所求点的坐标。（2）将A、B两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式，由C点在一次函数的图象上可确定C点坐标，将C点坐标代入可确定反比例函数的解析式。8.（天津市2022年8分）已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且交点为A（2，0）.（Ⅰ）求b、c的值；（Ⅱ）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△OAB的周长（答案可带根号）.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：y=（x－2）2=x2－4x＋4∴b=－4，c=4。（Ⅱ）在y=x2－4x＋4中，令x=0，得y=4，∴B（0，4）．∴OB=4，OA=2。在Rt△AOB中，根据勾股定理,得。∴△OAB的周长为：OA+OB+AB=。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。【分析】（Ⅰ）抛物线与x轴只有一个交点，那么此点必为抛物线的顶点，已知了二次项系数和抛物线顶点，即可得出顶点式抛物线的解析式，展开后即可求得b、c的值；（也可用根的判别式和A点的坐标联立方程来解）。（Ⅱ）根据（Ⅰ）的抛物线可求出B点坐标，即可得出OA、OB的长，然后根据A、B坐标用勾股定理求出AB的长，即可得出三角形的周长。9.（天津市2022年8分）已知一次函数y＝x＋m与反比例函数（x≠－1）的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）.（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）求一次函数和反比例函数的解析式.【答案】解：（Ⅰ）∵点P（x0，3）在一次函数y＝x＋m的图象上，∴3=x0+m，即m=3－x0。34\n又∵点P（x0，3）在反比例函数的图象上，∴，即m=3x0－1。∴3－x0=3x0－1，解得x0=1。（Ⅱ）由（1），得m=3－x0=3－1=2，∴一次函数的解析式为y=x+2，反比例函数的解析式为。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（Ⅰ）已知一次函数y=x+m与反比例函数（m≠-1）的图象在第一象限内的交点为P（x0，3），把P点的坐标代入两个解析式就可以解决。（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上，进一步求得m的值即可。10.（天津市2022年10分）已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x2＋1.（Ⅰ）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填在表格中：x－3－2－10123y1＝2xy2＝x2＋1（Ⅱ）观察第（Ⅰ）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立；（Ⅲ）试问，是否存在二次函数y3＝ax2＋bx＋c，其图象经过点（－5，2），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立，若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）填表如下：x－3－2－10123y1＝2x－6－4－30246y2＝x2＋1105212510（Ⅱ）证明：∵在实数范围内，对于x的同一个值y2－y1==x2+1－2x=（x－1）2≥0，∴y1≤y2。（Ⅲ）由已知，二次函数y3＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－5，2），得25a－5b＋c=2①∵当x=1时，y1＝y2＝2，y3＝a＋b＋c，34\n若对于自变量x取任意实数时，y1≤y3≤y2成立，则有2≤a＋b＋c≤2，∴a＋b＋c=2②。由①②，得b=4a，c=2－5a。∴y3＝ax2＋4ax＋（2－5a）。当y1≤y3时，有2x≤ax2＋4ax＋（2－5a），即ax2＋（4a－2）x＋（2－5a）≥0。若二次函数y＝ax2＋（4a－2）x＋（2－5a）对于一切实数x，函数值大于或等于零，必须，即③。当y3≤y2时，有ax2＋4ax＋（2－5a）≤x2+1，即（1－a）x2－4ax＋（5a－1）≥0。若二次函数y＝（1－a）x2－4ax＋（5a－1）对于一切实数x，函数值大于或等于零，必须，即④。∴由③④得。综上，。∴存在二次函数，在实数范围内，对于x的同一个值，y1≤y3≤y2均成立。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，不等式的性质。【分析】（Ⅰ）根据表中所给的x的值，代入函数式求值即可。（Ⅱ）用y2－y1进行比较即可得出结论。（Ⅲ）由图可知，在实数范围内，对于x的同一个值，三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立，利用b=4a，c=2－5a，代入得y3＝ax2＋4ax＋（2－5a）。结合y1≤y3和y3≤y2，利用不等式的性质推理出抛物线的解析式。11.（天津市2022年8分）已知关于x的一次函数y＝kx＋1和反比例函数的图象都经过点（2，m）。（Ⅰ）求一次函数的解析式；34\n（Ⅱ）求这两个函数图象的另一个交点的坐标。【答案】解：（Ⅰ）根据题意关于x的一次函数y＝kx＋1和反比例函数的图象都经过点（2，m），∴，解得：。∴一次函数的解析式是：y=x+1。
（Ⅱ）根据题意得：，解得：或。∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为（－3，－2）。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（Ⅰ）已知一次函数y=kx+1和反比例函数的图象都经过点（2，m）．则点（2，m）一定满足函数解析式，代入就得到一个关于k，m的方程组，就可以求出解析式。（Ⅱ）联立和，即可求出另一交点。12.（天津市2022年8分）已知抛物线y＝x2＋x－.（Ⅰ）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（Ⅱ）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长.【答案】解：（Ⅰ）∵y=x2＋x－=（x+1）2－3，∴抛物线的顶点坐标为（－1，－3），对称轴是直线x=－1。
（Ⅱ）当y=0时，x2＋x－=0，解得：x1=，x2=，∴AB=|x1－x2|=|（）－（）|=||=。【考点】二次函数的性质，抛物线与x轴的交点。【分析】（Ⅰ）此题首先要将函数化为顶点式，即可得顶点坐标和对称轴。（Ⅱ）令y=0，求得抛物线在x轴上的交点坐标，即可求得线段AB的长度。13.（天津市2022年10分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c.（Ⅰ）若a＝2，c＝－3，且二次函数的图象经过点（－1，－2），求b的值（Ⅱ）若a＝2，b＋c＝－2，b＞c，且二次函数的图象经过点（p，－2），求证：b≥0；（Ⅲ）若a＋b＋c＝0，a＞b＞c，且二次函数的图象经过点（q，－a），试问自变量x＝q＋4时，二次函数y＝ax2＋bx＋c所对应的函数值y是否大于0？并证明你的结论。34\n【答案】解：（Ⅰ）当a=2，c=－3时，二次函数为y=2x2＋bx－3，∵该函数的图象经过点（－1，－2），∴－2=2×（－1）2+b×（－1）－3，解得b=1。
（Ⅱ）证明：当a=2，b+c=－2时，二次函数为y=2x2＋bx－b－2，∵该函数的图象经过点（p，－2），∴－2=2p2＋bp－b－2，即2p2＋bp－b=0。∴p为方程2x2＋bx－b=0的根，∴△=b2＋8b=b（b＋8）≥0。又∵b＋c=－2，b＞c，∴b＞－b－2，即b＞－1，有b+8＞0。∴b≥0。（Ⅲ）当x＝q＋4时，二次函数y＝ax2＋bx＋c所对应的函数值y大于0。证明如下：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点（q，－a），∴aq2＋bq＋c＋a=0。∴q为方程ax2＋bx＋c＋a=0的根。∴△=b2－4a（a＋c）≥0。又∵a＋b＋c=0，∴△=b2＋4ab=b（b＋4a）=b（3a－c）≥0。又∵a＋b＋c=0，a＞b＞c，知a＞0，c＜0，得3a－c＞0，∴b≥0。∵q为方程ax2＋bx＋c＋a=0的根，∴或。当x=q＋4时，y=a（q＋4）2＋b（q＋4）＋c=（aq2＋bq＋c＋a）＋8aq＋15a＋4b=8aq＋15a＋4b，①若，则y=8a·＋15a＋4b=15a－4。∵a＞b≥0，∴。∴-。∴。②若，则y=8+15a+4b=15a+4＞0。综上所述，当x=q＋4时，二次函数y＝ax2＋bx＋c所对应的函数值大于0。34\n【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解一元二次方程，不等式的性质。【分析】本题根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系求二次函数解析式，条件由具体到抽象，要根据题目的条件逐步求解。（Ⅱ）（Ⅲ）还需结合一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识解题。14.（天津市2022年8分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）和反比例函数y＝的图象都经过点（4，2）。（Ⅰ）求这两个函数的解析式；（Ⅱ）这两个函数图象还有其他交点吗？若有，请求出交点的坐标；若没有，请说明理由。【答案】解：（I）∵点A（4，2）在正比例函数y=kx的图象上，∴，即。∴正比例函数的解析式为。又∵点A（4，2）在反比例函数y＝的图象上，∴，即∴反比例函数的解析式为。（II）这两个函数的图象还有一个交点。由解得或。∴这两个函数图象的另一个交点坐标为（－4，－2）。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（I）把点（4，2）代入正比例函数y=kx（k≠0）和反比例函数y=中，求得k、m的值，即可求解两个函数的解析式。（II）联立求得的两个函数解析式，求解即可。15.（天津市2022年8分）已知抛物线y＝4x2－11x－3.（Ⅰ）求它的对称轴；（Ⅱ）求它与x轴、y轴的交点坐标.【答案】解：（I）∵，34\n∴该抛物线的对称轴是。（II）令y=0，得，解得∴该抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（，0）。令x=0，得y=－3。∴该抛物线与y轴的交点坐标为（0，－3）。【考点】二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点。【分析】（I）将抛物线的函数解析式化为顶点式即可求出它的对称轴。（II）当x=0时，即可求得与y轴的交点坐标；当y=0时，即可求得与x轴的交点坐标。16.（天津市2022年10分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2,4).（Ⅰ）试用含a的代数式分别表示b，c；（Ⅱ）若直线y＝kx＋4（k≠0）与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F，且，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若线段EF的长m满足，试确定a的取值范围。【答案】解：（I）由已知，设抛物线的顶点式为，即。∴。（II）设E（）、F（），由方程组，消去y，得（*）∴①，②。又∵，∴。∴。∴。即。由②，知x1与x2同号，∴x2=4x1③。34\n由②、③，得x1=1，x2=4；x1=－1，x2=－4。将上面数值代入①，得，解得k=a或k=－9a。经验证，方程（*）的判别式△>0成立。∴k=a或k=－9a。（III）由勾股定理，得，而，由，得，∴，即。由已知，得，即，∴或。当k=a时，有1≤a≤2或－2≤a≤－1；当k=－9a时，有1≤－9a≤2或－2≤－9a≤－1，即或。综上所述，a的取值范围－2≤a≤－1或或或1≤a≤2。17.（天津市2022年8分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点（1，5）。（1）求这两个函数的解析式；（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标。34\n【答案】解：（1）∵点A（1，5）在反比例函数的图象上。∴，即。∴反比例函数的解析式为。又∵点A（1，5）在一次函数的图象上，∴，即。∴一次函数的解析式为。（2）由题意可得，解得或。∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）把点（1，5）代入反比例函数和一次函数中，求得、的值，即可求解两个函数的解析式。（2）联立求得的两个函数解析式，求解即可。18.（天津市2022年8分）已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）。（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。34\n19.（天津市2022年8分）已知点P（2，2）在反比例函数（）的图象上，（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）当时，求的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵点P（2，2）在反比例函数的图象上，∴．即。∴反比例函数的解析式为。∴当时，。（Ⅱ）∵当时，；当时，，又反比例函数在时值随值的增大而减小，∴当时，的取值范围为。【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数的性质。【分析】（Ⅰ）将点P（2，2）的坐标代入反比例函数的解析式，可以求得比例系数，从而确定反比例函数的解析式，再进一步求得当时，的值。34\n（Ⅱ）根据反比例函数在时值随值的增大而减小的特点，确定当时函数的取值范围。其关键是求出横坐标分别是1和3的函数值。20.（天津市2022年10分）已知抛物线，（Ⅰ）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；（Ⅱ）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；（Ⅲ）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．【答案】解：（Ⅰ）当=1，－1时，抛物线为，∵方程=0的两个根为，∴该抛物线与轴公共点的坐标是（－1，0）和（，0）。（Ⅱ）∵当=1时，抛物线为，且与轴有公共点，∴对于方程=0，判别式≥0，有。①当时，由方程=0，解得．此时抛物线为与轴只有一个公共点（，0）。②当时，时，，时，。由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有，解得。综上，或。（Ⅲ）当时，抛物线与轴有两个公共点，证明如下：对于二次函数，由已知时，；时，，又，∴。x于是．而，∴，即。34\n∴。∵关于的一元二次方程的判别式，∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方。又该抛物线的对称轴，由，，，得。∴。又由已知时，；时，，观察图象，可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点。【考点】二次函数的性质，抛物线与轴的交点，一元二次方程根的判别式，解不等式。【分析】（Ⅰ）把=1，－1代入得抛物线的函数表达式，令=0，即可得该抛物线与轴公共点的坐标。（Ⅱ）考虑当=1时，抛物线与轴有公共点，故对于方程=0，判别式△≥0，得。然后分和两种情况讨论即得。（Ⅲ）由已知证出，然后根据方程根的判别式△＞0得到抛物线与轴有两个公共点，且顶点在轴下方的结论。最后根据抛物线对称轴的位置和已知时，；时，，得出在范围内，该抛物线与轴有两个公共点的结论。21.（天津市2022年8分）已知图中的曲线是反比例函数（为常数）图象的一支．（Ⅰ）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数的取值范围是什么？（Ⅱ）若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象内限的交点为，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为4时，求点的坐标及反比例函数的解析式．34\n【答案】解：（Ⅰ）这个反比例函数图象的另一支在第三象限。∵这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，∴，解得。（Ⅱ）如图，由第一象限内的点在正比例函数的图象上，设点的坐标为，则点的坐标为。∵，∴，解得（负值舍去）。∴点的坐标为（2，4）。又∵点在反比例函数的图象上，∴，解得。∴反比例函数的解析式为。【考点】反比例函数正比例函数的交点问题，和反比例函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（Ⅰ）根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限。由于这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，所以有，从而得到常数的取值范围。（Ⅱ）根据，用待定系数法即可求出点A的坐标即可，从而由点A的坐标得到反比例函数的解析式。22.（天津市2022年10分）已知函数为方程的两个根，点在函数的图象上．（Ⅰ）若，求函数的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值；（Ⅲ）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．【答案】解：（Ⅰ）∵，34\n∴将分别代入，得，解得。∴函数的解析式为。（Ⅱ）由已知，得，设的高为，∴，即。∴。根据题意，，即。当时，解得；当时，解得。∴的值为或或。（Ⅲ）由已知，得，∴，，化简，得。∵，∴。∴。有。又∵，∴，。∴当时，；34\n当时，；当时，。【考点】二次函数综合题，根与系数的关系，一次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式。【分析】（Ⅰ）通过把分别代入，确定的值而求得函数的解析式。（Ⅱ）关键在于明确这一等量关系才能求得的值。（Ⅲ）比较的大小需要正确理解及在整式变形中分类应用。23.（天津市2022年8分）已知反比例函数（为常数，）．（Ⅰ）若点在这个函数的图象上，求的值；（Ⅱ）若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围；（Ⅲ）若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由．【答案】解：（Ⅰ）∵点在这个函数的图象上，∴，解得。（Ⅱ）∵在函数图象的每一支上，随的增大而减小，∴，解得。（Ⅲ）∵，有，∴反比例函数的解析式为。将点的坐标代入，可知点的坐标满足函数关系式，∴点在函数的图象上。将点的坐标代入，由，可知点的坐标不满足函数关系式，∴点不在函数的图象上。【考点】反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（Ⅰ）将点代入解析式即可求出的值。（Ⅱ）根据反比例函数的性质：当时，函数图象的每一支上，随的增大而减小；当时，函数图象的每一支上，随的增大而增大。所此可求出的取值范围。34\n（Ⅲ）将代入，得到反比例函数解析式，再将B（3，4），C（2，5）代入解析式解答即可。24.（天津市2022年8分）已知一次函数(b为常数)的图象与反比例函数（为常数．且）的图象相交于点P(3．1)．(I)求这两个函数的解析式；(II)当>3时，试判断与的大小．井说明理由。【答案】解：(I)∵P(3．1)在一次函数一次函数上，∴1=3＋b。∴b=－2。∴一次函数的解析式为。同理，反比例函数的解析式为。(II)．理由如下：当时，，又当时．一次函数随的增大而增大．反比例函数随的增大而减小，∴当时。【考点】点的坐标与方程的关系，一次函数和反比例函数的性质。【分析】(I)因为点在曲线上点的坐标满足方程，所以利用点P在一次函数和反比例函数的图象上，把P的坐标分别代入即可求出。(II)根据一次函数和反比例函数增减性的性质即可作出判断。25.（天津市2022年10分）已知抛物线：．点F(1，1)．(Ⅰ)求抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)①若抛物线与轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：②抛物线上任意一点P（）)（）．连接PF．并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；(Ⅲ)将抛物线作适当的平移．得抛物线：，若时．恒成立，求m的最大值．34\n【答案】解：(I)∵，∴抛物线的顶点坐标为()．(II)①根据题意，可得点A(0，1)，∵F(1，1)．∴AB∥轴．得AF=BF=1，②成立．理由如下：如图，过点P（）作PM⊥AB于点M，则FM=，PM=（）。∴Rt△PMF中，有勾股定理，得又点P（）在抛物线上，得，即∴，即。过点Q（）作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，同理可得∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，∴△PMF∽△QNF。∴，这里，。∴，即。(Ⅲ)令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且<，∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的，观察图象．随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大，∴当满足，恒成立时，m的最大值在处取得。∴当时．所对应的即为m的最大值。∴将带入，得。解得或（舍去）。∴。此时，，得。解得，。34\n∴m的最大值为8。【考点】二次函数综合题，抛物线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，图象平移，解一元二次方程。【分析】(I)只要把二次函数变形为的形式即可。(II)①求出AF和BF即可证明。②应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。(Ⅲ)应用图象平移和抛物线的性质可以证明。26.（2022天津市8分）已知反比例函数（k为常数，k≠1）．（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．【答案】解：（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）∵点P在正比例函数y=x的图象上，∴2=m，即m=2。∴点P的坐标为（2，2）。∵点P在反比例函数的图象上，∴，解得k=5。（Ⅱ）∵在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，∴k－1＞0，解得k＞1。（Ⅲ）∵反比例函数图象的一支位于第二象限，∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，∴x1＞x2。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y=x的图象上可求出m的值，从而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数的图象上，所以，解得k=5。（2）由于在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k－1＞0，求出k的取值范围即可。（3）反比例函数34\n图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，故可知x1＞x2。27.（2022天津市10分）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在该抛物线上．（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P的坐标；②求的值；（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求的最小值．【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10。①∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6，∴抛物线的顶点坐标为P（－2，6）。②∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在抛物线y=x2+4x+10上，∴yA=15，yB=10，yC=7。∴。（Ⅱ）由0＜2a＜b，得。由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1。连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB－yC，CD=1。过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0）。则∠FAA1=∠CBD。∴Rt△AFA1∽Rt△BCD。∴，即。过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD。∴，即。∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，∴yA=a+b+c，yB=c，yC=a－b+c，yE=ax12+bx1+c，∴，化简，得x12＋x1－2=0，34\n解得x1=－2（x1=1舍去）。∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1。则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3。∴的最小值为3。34
