广州市2022-2022年中考数学试题分类解析专题6：函数的图像与性质一、选择题1.（2022年广东广州2分）一次函数y＝2x－3的图象不经过【】．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.（2022年广东广州3分）如果已知一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限，也不经过原点，那么k、b的取值范围是【】（A）k>0且b>0 （B）k>0且b<0 （C）k<0且b>0 （D）k<0且b<0由题意得，函数y=kx+b的图象不经过第三象限，也不经过原点，故它的图象经过第一、二、四象限，此时，。故选C。30\n3.（2022年广东广州3分）．若点都在反比例函数的图象上，则【】（A） （B） （C） （D）4.（2022年广东广州3分）抛物线的顶点坐标是【】（A）（－2，1） （B）（－2，－1） （C）（2，1） （D）（2，－1）5.（2022年广东广州3分）直线与抛物线的两个交点的坐标分别是【】（A）（2，2），（1，1） （B）（2，2），（－1，－1）（C）（－2，－2）（1，1） （D）（－2，－2）（－1，1）30\n【答案】B。【考点】直线与抛物线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组。【分析】联立两方程，得，。故选B。6.（2022年广东广州3分）抛物线的顶点坐标是【】（A）（2，0）（B）（－2，0）（C）（1，－3）（D）（0，－4）7.（2022年广东广州3分）有一块缺角矩形地皮ABCDE（如图），其中AB＝110m，BC＝80m，CD＝90m，∠EDC＝135°．现准备用此块地建一座地基为长方形（图中用阴影部分表示）的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是【】（A）（B）（C）（D）【答案】A。【考点】矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的性质。【分析】如图，作DG⊥AB于G，EF⊥BC于F，DG，EF交于O，设CN=x，则∠EDO=∠EDC-90°=45°。∴△EOD是等腰直角三角形。30\n同理△EQR，△RPD均为等腰直角三角形。∴EO=OD=AB－CD=20，RP=DP=CN=x，EQ=QR=AM=EO－RP=20－x，AE=BC－OD=60。8.（2022年广东广州3分）如果反比例函数的图象经过点（1，－2），那么k的值是【】A．－2B．2C．D．【答案】A。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】∵反比例函数的图象经过点（1，－2），∴，即k=－2。故选A。9.（2022年广东广州3分）下列各点中，在函数的图像上的是【】A.（2，3）B.（3，1）C.（0，－7）D.（－1，9）30\n10.（2022年广东广州3分）当k>0时，双曲线与直线的公共点有【】A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】A。【考点】正、反比例函数的性质。【分析】∵当k>0时，双曲线经过第一、三象限；直线经过第二、四象限， ∴当k>0时，双曲线与直线没有公共点。故选A。11.（2022年广东广州3分）抛物线的顶点坐标是【】．(A)(0，1)(B)(0，一1)(C)(1，0)(D)(一1，0)12.（2022年广东广州3分）下列图象中，表示直线y=x－1的是【】．(A)(B)(C)(D)13.（2022年广东广州3分）二次函数与x轴的交点个数是【】A．0B．1C．2D．3【答案】B。【考点】二次函数图象与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式。30\n【分析】根据二次函数与对应的一元二次方程的关系，求二次函数与x轴的交点个数只要令即，根据其根的判别式判定其解的个数：∵的△=，∴有两相等的实数根。∴二次函数与x轴有1个交点。故选B。14.（2022年广东广州3分）一次函数的图象不经过【 】A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限15.（2022年广东广州3分）二次函数的最小值是【】（A）2（B）1（C）－1（D）－216.（2022年广东广州3分）下列函数中，当＞0时，值随值增大而减小的是【】A、B、C、D、【答案】D。【考点】二次函数、一次函、正比例函数、反比例函数的性质。30\n【分析】A、二次函数的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（＞0时），y随的增大而增大；故本选项错误；B、一次函数的图象，y随的增大而增大；故本选项错误；C、正比例函数的图象在一、三象限内，y随的增大而增大；故本选项错误；D、反比例函数中的1＞0，所以y随的增大而减小；故本选项正确；故选D。17.（2022年广东广州3分）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是【】 A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1二、填空题1.（2022年广东广州3分）抛物线y＝x2＋6x＋5的顶点坐标是▲．2.（2022年广东广州3分）如果正比例函数的图像经过点（2，1），那么这个函数的解析式是▲．30\n【答案】。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】设正比例函数的解析式为。∵正比例函数的图像经过点（2，1），∴，即。∴这个函数的解析式是。3.（2022年广东广州3分）若反比例函数的图象经过点(1，一1)，则k的值是▲．4.（2022年广东广州3分）已知函数，当=1时，的值是▲【答案】2。【考点】求函数值。【分析】将=1代入得。三、解答题1.（2022年广东广州12分）已知点A（1，2）和B（—2，5）．试写出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点．【分析】可以设出函数解析式y＝ax230\n＋bx＋c（a≠0），把A，B坐标代入求出过这两点的函数解析式的通式，再任取点的坐标代入，也可直接再取一个点的坐标与A，B坐标结合求出解析式。（答案不唯一）2.（2022年广东广州11分）已知一次函数y＝－x＋6和反比例函数（k≠0）．（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点?（2）设（1）中的两个公共点分别为A、B，∠AOB是锐角还是钝角?【考点】反比例函数和一次函数交点问题，一元二次方程根的判别式，反比例函数和一次函数的性质，分类思想的应用。【分析（1）当比例系数符号相同或组成方程组整理后的一元二次方程的判别式大于0时，两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点。（2）结合（1）中k的取值范围，分情况探讨∠AOB是锐角还是钝角。3.（2022年广东广州13分）在图的方格纸上有A、B、C三点（每个小方格的边长为1个单位长度）。（1）在给出的直角坐标系中（或舍去该直角坐标系，在自己另建立适当的直角坐标系中）分别写出点A、B、C的坐标；（2）根据你得出的A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数的解析式。30\n解法二（在以B为原点，另建的直角坐标系中计算）：（1）以B为原点，建立如图所示的直角坐标系。点A的坐标是（－2，2），点B的坐标是（0，0），点C的坐标是（4，8）。（2）设所求的二次函数解析式为：。把点A、B、C的坐标分别代入上式，得：，解之，得。∴所求的二次函数解析式为。解法三（在以点A为原点，另建的直角坐标系中计算）：（1）以A为原点，建立如图所示的直角坐标系，点A的坐标是（0，0），点B的坐标是（2，－2），点C的坐标是（6，6）。30\n（2）设所求的二次函数解析式为：。把点A、B、C的坐标分别代入上式，得：， 解得。∴所求的二次函数解析式为。4.（2022年广东广州16分）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费为多少元？【答案】.解：（1）设用A型车厢x节，则用B型车厢(40－x)节，总运费为y万元，根据题意，得y＝0.6x＋0.8(40－x)＝－0.2x＋32。（2）根据题意，得，解得。∴24≤x≤26。∵x取整数，∴A型车厢可用24节或25节或26节。相应有三种装车方案：①24节A型车厢和16节B型车厢；②25节A型车厢和15节B型车厢；30\n③26节A型车厢和14节B型车厢。（3）由函数y＝－0.2x＋32知，x越大，y越少，故当x＝26时，运费最省。这时y＝－0.2×26＋32＝26.8(万元)。答：安排A型车厢26节、B型车厢14节运费最省．最小运费为26.8万元。5.（2022年广东广州15分）已知抛物线（m为整数）经过点A（1，1），顶点为P，且与x轴有两个不同的交点．（1）判断点P是否在线段OA上（O为坐标原点），并说明理由；（2）设该抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，是否存在实数m，使x1＜m＜x2？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）点P不在线段OA上。理由如下：∵抛物线与x轴有两个交点，∴方程有两个实数根。∴△=，即。又∵m+1≠0，∴m＜0，且m≠-1。根据题意可知：P点的坐标为，因此分两种情况进行讨论：①当－1＜m＜0时，m+1＞0，＜0，点P在第三象限，此时点P不在线段OA上；②当m＜－1时，m+1＜0，＞0，点P在第一象限，30\n∵＞0，∴＞1。∴点P不在线段OA上。综上所述，点P不在线段OA上。（2）存在实数m满足x1＜m＜x2。∵x1，x2是方程的两个不相等的根，∴。∴。∵x1＜m＜x2，∴＜0，即＜0。又∵m＜0，且m≠－1，且。∴＜0。根据实数运算的符号法则，可得，即。∴m的取值范围是：－1＜m＜0。6.（2022年广东广州12分）已知二次函数。……（*）（1）当a=1，b=－2，c=1时，请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图像；（2）用配方法求该二次函数（*）的图像的顶点坐标。30\n【答案】解：（1）∵当a=1，b=－2，c=1时，，∴该二次函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x=1。利用函数对称性列表如下：x…－10123…y…41014…在给定的坐标中描点，画出图象如下：（2）由是二次函数，知a≠0，∴。∴该二次函数图象的顶点坐标为。7.（2022年广东广州14分）如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD，其中AB//DC，∠B=90°，AB=100m，BC=80m，CD=40m30\n，现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36m。（1）求边AD的长；（2）设PA=x（m），求S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）若S=3300m2，求PA的长。（精确到0.1m）（3）当S=3300m2时，，即。∴。∴，。∴即当S=3300m2时，PA的长为75m，或约为91.7m。【考点】二次函数综合题，直角梯形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，曲线上点的坐标与方程的关系，公式法解一元二次方程。30\n【分析】（1）通过构建直角三角形进行求解，过D作AB的垂线，那么可在构建的直角三角形中，根据梯形两底的差和梯形的高，用勾股定理求出AD的长。（2）根据（1）中构建的直角三角形，由△APM∽△ADE表示出AM，PM的长，进而可根据AB的长，表示出矩形的长BM的值，由此可根据矩形的面积公式得出关于S、x的函数关系式．自变量的取值范围可根据PM的长至少为36m来解，即让PM的表达式大于等于36即可。（3）将S的值代入（2）所求得的函数解析式中，求出x的值，然后看x的值是否符合自变量的取值范围。8.（2022年广东广州12分）如图，⊙O的半径为1，过点A(2，0)的直线切⊙O于点B，交y轴于点C.(1)求线段AB的长；(2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式．【考点】一次函数综合题，圆切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。30\n【分析】（1）连接OB，在Rt△ABO中应用勾股定理即可求得线段AB的长。（2）由△ABO∽△AOC求出OC的长，而得到到点C的坐标，用待定系数法即可求得以直线AC为图象的一次函数的解析式。9.（2022年广东广州14分）已知抛物线（m≠0）．（1）求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）过点P（0，n）作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B（点A在点P的左边），是否存在实数m、n，使得AP=2PB？若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由．∴……………………….③由②式可解得…………………………..④第二种：点A、B都在点P左边，点A在点B左边，30\nPB=，AP=。∵AP=2PB，∴，即………….⑤∴……………………….⑥由⑤式可解得……….⑦综合①③④⑥⑦可知，满足条件的点P存在，此时应满足条件：，或。10.、（2022年广东广州14分）二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC.（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值。【答案】解：（1）∵A(1，0)、B(4，0)，∴AO=1，OB=4，即AB=AO+OB=1+4=5。∵AB=OC，∴OC＝5，即点C的坐标为（0，5）。（2）设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为，30\n∵点C（0，5）在图象上，∴，即。∴所求的二次函数解析式为。∵，且，∴当时，y有最大值。.11.（2022年广东广州12分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；（2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值【答案】解：（1）由图象知，A（－6，－2），B（4，3）。（2）∵点A（－6，－2）在反比例函数的图象上，∴。∴反比例函数解析式为。∵点A（－6，－2）和B（4，3）在一次函数的图象上，∴，解得。30\n∴一次函数解析式为。（3）由图象知，当－6＜x＜0或x＞4时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值。12.（2022年广东广州14分）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），ΔABC的面积为。（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）由二次函数的图象与y轴交于点C（0，－1），得q=－1。由ΔABC的面积为得，即，∴AB=。设A（a，0），B(b，0)，则AB=b-a=。30\n令，得。∵，即，解得p=。∵p<0，∴p=。∴该二次函数的关系式为：。（3）存在。由（2）知AC⊥BC。①若以AC为底边，则BD//AC。由A、C的坐标易求AC的解析式为y=－2x－1，可设BD的解析式为y=－2x+b，把B(2，0)代入得BD解析式为y=－2x＋4。解方程组得，∴D（，9）。②若以BC为底边，则BC//AD。由B、C的坐标易求BC的解析式为可设AD的解析式为，把A(，0)代入得AD解析式为。解方程组得。∴D()30\n综上所述，存在两点D，坐标为：（，9）或()。13.（2022年广东广州12分）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．（1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标；（2）选取适当的数据填入下表，并在图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x……y……（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．【答案】解：（1）x=1；（1，3）。（2）填表如下：x…﹣10123…y…﹣1232﹣1…30\n描点作图如下：（3）因为在对称轴x=1右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2。14.（2022年广东广州12分）已知反比例函数(m为常数)的图象经过点A（－1，6）．（1）求m的值；（2）如图，过点A作直线AC与函数的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求点C的坐标．【答案】解：（1）∵图象过点A（﹣1，6），∴=6，解得m=2。（2）分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点E、D，由题意得，AE=6，OE=1，即A（﹣1，6）。30\n∵BD⊥x轴，AE⊥x轴，∴AE∥BD。∴△CBD∽△CAE。∴。∵AB=2BC，∴，即。∴BD=2，即点B的纵坐标为2。当y=2时，x=－3，即B（－3，2）。15.（2022年广东广州12分）已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的轴上，点C（1，3）在反比例函数的图象上，且sin∠BAC＝．（1）求的值和边AC的长；（2）求点B的坐标．【答案】解：（1）∵点C（1，3）在反比例函数的图象上，∴把C（1，3）代入得，，即＝3。∵sin∠BAC＝，∴sin∠BAC＝。∴AC＝5。（2）∵△ABC是直角三角形，∴∠DAC=∠DCB。30\n又∵sin∠BAC＝，∴tan∠DAC＝。∴。又∵CD＝3，∴BD＝。∴AB＝1＋。∴B点的坐标为（，0）。16.（2022年广东广州14分）已知关于的二次函数的图象经过点C（0，1），且与轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．【答案】解：（1）把C（0，1）代入二次函数得：1＝0＋0＋，解得：＝1。∴的值是1。（2）由（1）二次函数为，把A（1，0）代入得：0＝＋＋1，∴＝－1－。∵二次函数为与轴有两个交点，∴一元一次方程根的判别式∆＞0，即＞0，30\n∴≠1且＞0。∴的取值范围是≠1且＞0。（3）证明：∵0＜＜1，∴B在A的右边，设A（1，0），B（，0），∵由根与系数的关系得：1＋＝，∴。∴AB＝。把＝1代入二次函数得：解得：1＝0，2＝，∴CD＝。过P作MN⊥CD于M，交轴于N，则MN⊥轴，∵CD∥AB，∴△CPD∽△BPA。∴。∴。∴。∴。∴。即不论为何值，S1－S2的值都是常数。这个常数是1。（3）设A（1，0），B（，0），由根与系数的关系求出AB，把＝1代入抛物线得到方程，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交轴于N，根据△CPD∽△BPA，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1－S2的值即可。30\n17.（2022年广东广州12分）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？18.（2022年广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．30\n设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，∴。设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得，解得。∴直线AC解析式为。直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，∴直线L1的解析式为。则D1的纵坐标为。∴D1（﹣4，）。同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。30\n综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。又FE=5，则在Rt△MEF中，ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，FN=MN•cos∠MFE=3×。则ON=。∴M点坐标为（，）。直线l过M（，），E（4，0），设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。∴直线l的解析式为y=x+3。同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。30\n综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣30
