绍兴市2022-2022年中考数学试题分类解析专题12押轴题一、选择题1.（2022年浙江绍兴3分）抛物线与x轴交于A，B两点，Q（2，k）是该抛物线上一点，且AQ⊥BQ，则ak的值等于【】（A）－1（B）－2（C）2（D）32.（2022年浙江绍兴4分）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为【】A．4B．6C．8D．1069\n3.（2022年浙江绍兴4分）如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD等于【】A．108°B．144°C．126°D．129°4.（2022年浙江绍兴4分）小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是【】69\n（A）0.71s （B） 0.70s （C）0.63s （D）0.36s 5.（2022年浙江绍兴4分）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数的图象上，则点E的坐标是【 】A．;B．C．;D．69\n6.（2022年浙江绍兴4分）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是【】A．向右平移7格B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对称轴作轴对称C．绕AB的中点旋转1800，再以AB为对称轴作轴对称D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格7.（2022年浙江绍兴4分）本学期实验中学组织开展课外兴趣活动，各活动小班根据实际情况确定了计划组班人数，并发动学生自愿报名，报名人数与计划人数的前5位情况如下：小班名称奥数写作舞蹈篮球航模报名人数2152011547665小班名称奥数舞蹈写作合唱书法计划人数120100908070若用同一小班的报名人数与计划人数的比值大小来衡量进入该班的难易程度，则由表中数据，可预测【】69\nA．奥数比书法容易B．合唱比篮球容易C．写作比舞蹈容易D．航模比书法容易8.（2022年浙江绍兴4分）如图，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x轴的垂线与三条直线相交，其中a＞0．则图中阴影部分的面积是【】A．12.5B．25C．12.5aD．25a【分析】根据等底等高的三角形、梯形面积相等的性质可知，图中阴影部分的面积是与，当x=5时所夹得三角形的面积，即：，故选A。69\n9.（2022年浙江绍兴4分）如图为某机械装置的截面图，相切的两圆⊙O1，⊙O2均与⊙O的弧AB相切，且O1O2∥l1（l1为水平线），⊙O1，⊙O2的半径均为30mm，弧AB的最低点到l1的距离为30mm，公切线l2与l1间的距离为100mm．则⊙O的半径为【】A．70mmB．80mmC．85mmD．100mm10.（2022年浙江绍兴4分）李老师从“淋浴龙头”受到启发．编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与轴交于点N（n，0），如图3．当m=时，求n的值．你解答这个题目得到的n值为【】A、4－2 B、2－4 C、－ D、
69\n11.（2022年浙江绍兴4分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为【】 A．B．C．D．69\n12.（2022年浙江绍兴4分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的【】A．7：20B．7：30C．7：45D．7：50【答案】A。【考点】一次函数和反比例函数的应用，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。【分析】∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟。69\n二、填空题1.（2022年浙江绍兴3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=Rt∠，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE，BC的延长线相交于点F，若AE=10，则的值是▲.69\n在Rt△ADE中：，即。∴x1=4，x2=6。当x=4时，CE=4，DE=8，AD=6，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE。∴，即。∴CF=3。∴。当x=6时，CE=6，DE=6，AD=8，69\n2.（2022年浙江绍兴5分）抛物线与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值是▲.3.（2022年浙江绍兴5分）用计数器探索：按一定规律排列的一组数：，，，…，，，如果从中选出若干个数，使它们的和大于0.5，那么至少要选▲个数.【答案】7。【考点】探索规律题（数字的变化类），计算器（有理数）。【分析】从最大的开始，从小到大逐个求和，即，当它们的和大于0.5时，停止。统计一下，用了7个数。4.（2022年浙江绍兴5分）69\n（以下两小题选做一题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分为3分。若两小题都做，以第（1）小题计分）选做第________小题，答案为________（1）将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积:之比等于▲（2）将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积:之比等于▲69\n∴上下两块三角板面积之比。5.（2022年浙江绍兴5分）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2022的位置，则P2022的横坐标x2022= ▲ ．6.（2022年浙江绍兴5分）绍兴黄酒是中国名酒之一．某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间，该车间有灌装、装箱生产线共26条,每条灌装、装箱生产线的生产流69\n量分别如图1、2所示．某日8:00～11:00，车间内的生产线全部投入生产，图3表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况，则灌装生产线有▲条．7.（2022年浙江绍兴5分）如图中的圆均为等圆，且相邻两圆外切，圆心连线构成正三角形，记各阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，Sn，则S12：S4的值等于▲．69\n8.（2022年浙江绍兴5分）李老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是▲．9.（2022年浙江绍兴5分）水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部69\n．若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为▲．10.（2022年浙江绍兴5分）如图，相距2cm的两个点A、B在直线l上．它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移，当点A，B分别平移到点A1，B1的位置时，半径为1cm的⊙A1，与半径为BB1的⊙B相切．则点A平移到点A1，所用的时间为 ▲ s．69\n11.（2022年浙江绍兴5分）如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为▲（用含n的代数式表示）69\n12.（2022年浙江绍兴5分）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为 ▲ ．69\n三、解答题1.（2022年浙江绍兴10分）如图，已知平面直角坐标系中三点A（4，0），（0，4），P（x，0）（x＜0），作PC⊥PB交过点A的直线l于点C（4，y）.（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q坐标.69\n69\n2.（2022年浙江绍兴12分）如图，⊙O的直径AB=6，弦CD⊥AB于H（AH＜HB，⊙分别切⊙O，AB，CD于点E，F，G.（1）已知CH=，求cosA的值；（2）当AF·FB=AF+FB时，求EF的长；（3）设BC=m，⊙的半径为n，用含m的代数式表示n.69\n。解得：r=1。∴O=2。∴∠FO=30°,∠FO=60°。∵E=F，∴∠E=。∴∠E=∠FOO。∴EF=FO=。（3）由射影定理得：∵，即：由①②得BF2=BC2，∴BF=BC。∴，即。∴。69\n3.（2022年浙江绍兴12分）如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D.（1）若∠B=30°，问：AB与AP是否相等？请说明理由；（2）求证：PD·PO=PC·PB；（3）若BD：DC=4：1，且BC=10，求PC的长.69\n4.（2022年浙江绍兴14分）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D.①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比.（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长.69\n69\n设OP=x，则OH=ON=，∴HC=DN=OD－ON=1－。而HC=HO+OC=+x，∴1－=+x。∴x=，即OP=。综上所述，OP的长.为1或。5.（2022年浙江绍兴12分）课本第五册第65页有一题：已知一元二次方程的两个根满足，且a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边.若a=c，求∠B的度数.小敏解得此题的正确答案“∠B=120°”后，思考以下问题，请你帮助解答.（1）若在原题中，将方程改为，要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么应对条件中的的值作怎样的改变？并说明理由.69\n（2）若在原题中，将方程改为（n为正整数，n≥2），要得到∠B=120°，而条件“a=c”不变，那么条件中的的值应改为多少（不必说明理由）？69\n6.（2022年浙江绍兴14分）在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求此抛物线的解析式.69\n（3）①当抛物线开口向上时，设，即。由菱形可知|a+k|=|k|，a+k＞0，k＜0，∴。∴。∴。记l与x轴交点为D，若∠PEM=60°，则∠FEM=30°，，∴。∴抛物线的解析式为。若∠PEM=120°，则∠FEM=60°，，69\n7.（2022年浙江绍兴12分）E、F为ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC于P，连PF并延长交AB于Q，如图①（1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表长度单位：cmAQ长度BQ长度AQ、BQ间的关系图①中图②中由上表可猜测AQ、BQ间的关系是__________________（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？（3）若将ABCD改为梯形（AB∥CD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）69\n（2）成立。理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB。∴△PDF∽△QBF。∴。∵EF为BD三等分点，∴。同理。∴。∴，即AQ=3BQ。（3）成立。69\n8.（2022年浙江绍兴14分）一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4。① 如图，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标；② 在①中，设BD与CE的交点为P，若点P，B在抛物线上，求b，c的值；③ 若将纸片沿直线l对折，点B落在坐标轴上的点F处，l与BF的交点为Q，若点Q在②的抛物线上，求l的解析式。69\n【考点】二次函数综合题，折叠问题，折叠对称的性质，矩形的性质，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。【分析】①求D点坐标，关键是求OD的长，根据折叠的性质可知：CD=BC=OA，在直角三角形OCD中，根据OC、CD的长，即可用勾股定理求出OD的值．也就求出了D点的坐标。69\n9.（2022年浙江绍兴12分）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等?（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl．求证：△ABC≌△A1B1C1．(请你将下列证明过程补充完整)证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1.则∠BDC=∠B1D1C1=900，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．69\n10.（2022年浙江绍兴14分）某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图．请结合图象，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟?（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗?请说明理由．69\n（3）可能。理由如下：①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符。②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t分钟开69\n11.（2022年浙江绍兴12分）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）69\n12.（2022年浙江绍兴14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，3）．将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线经过点A，点D是该抛物线的顶点．（1）求证：四边形ABCO是平行四边形；69\n（2）求a的值并说明点B在抛物线上；（3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求点P的坐标；（4）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标．∴顶点D的坐标为（1，）。69\n（3）先根据（2）的抛物线的解析式求出顶点D的坐标，然后求出OB、AD的长，当∠APD=∠OAB时，可得出△APD∽△OAB，进而可得出关于AP，AD、OA、OB的比例关系式．设出P点的坐标，然后用P的横坐标表示出AP的长，即可根据上面的比例关系式求出P点的坐标。（4）如图，分三种情况进行讨论：69\n13.（2022年浙江绍兴12分）学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①；②；③．并对②，③的判断，选择一个给出证明．69\n69\n14.（2022年浙江绍兴14分）将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示OP，OQ；（2）当t=1时，如图1，将沿△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；（3）连接AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．69\n∵，∴当时，PQ∥AC。②PE不能与AC垂直。理由如下：若PE⊥AC，延长QE交OA于F，如图，则QF∥CA，∴，∵OA=6，OC=3，∴AC=。∴，即。∴。又∵Rt△EPF∽Rt△OCA，∴。即。解得：t≈t.45。69\n∵，∴不存在t，使PE⊥AC。要找到一组平行线，得到对应线段成比例看是否在相应的范围内。15.（2022年浙江绍兴12分）如图1的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．（1）如图2，《思维游戏》这本书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，现有一张面积为875cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图1所示．求折叠进去的宽度；（2）若有一张长为60cm，宽为50cm的矩形包书纸，包2本如图2中的书，书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图1所示．问折叠进去的宽度最大是多少？69\n16.（2022年浙江绍兴14分）定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，若F1：，经过变换后，得到F2：，点C的坐标为（2，0），则：①b的值等于▲；②四边形ABCD为【】A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．（2）如图2，若F1：，经过变换后，点B的坐标为（2，c－1），求△ABD的面积；69\n（3）如图3，若F1：，经过变换后，AC=2，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．∴F2的对称轴为。∴可设F2的解析式为。69\n即△ABD边AD上的高h。∵DN=1，AN=，DB⊥AC，∴∠DAN=30°。∴△ABD是等边三角形。【考点】新定义，二次函数综合题，平移、动点和轴对称问题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形、菱形和等边三角形的判定和性质，轴对称的性质（线段最短问题），分类思想的应用。69\n17.（2022年浙江绍兴12分）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF 交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的长．（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH=▲；②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH=▲（用n的代数式表示）．69\n则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形。∴EF=BN，GH=AM。∵∠FOH=90°，AM∥GH，EF∥BN，∴∠NO′A=90°。由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN。∵EF=4，∴GH=EF=4。（3）①8，②4n。18.（2022年浙江绍兴14分）如图，设抛物线C1：，C2：，C1与C2的交点为A，B，点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是－2．（1）求a的值及点B的坐标；（2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记过C2顶点M的直线为l，且l与x轴交于点N．69\n①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1，2），求点N的横坐标；②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围．∴∠AHG=60°，HG=AH=4。69\n∴∠GHQ=30°。又∵∠GQH=90°，∴GQ=HG=2，HQ=。∴OQ=OH+HQ=，∴G（，2）。∴NQ=，NF=x－1，GQ=2，MF=5。∵△NGQ∽△NMF，∴，即。∴。当点D移到与点B重合时，如图：直线l与DG交于点D，即点B，此时点N的横坐标最小。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的69\n判定和性质，平移的性质，最值问题。②求点N横坐标的取值范围，需考虑N点横坐标最大、最小两种情况：i当点D、A重合，且直线l经过点G时，N点的横坐标最大，过点G作GQ⊥x轴于Q，过点M作MF⊥x轴于F，设出点N的横坐标，然后分别表示出NQ、NF的长，通过证△NQG∽△NFM，根据所得比例线段，即可求得此时N点的横坐标；ii当点D、B重合，直线l过点D时，N点的横坐标最小，解法同①。19.（2022年浙江绍兴12分）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题69\n在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．20.（2022年浙江绍兴14分）抛物线与轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与轴交于点C．（1）如图1．求点A的坐标及线段OC的长；（2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一 个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；②若含30．角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，69\n求点P的坐标．69\n【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上的点与方程的关系，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，对称的性质。【分析】（1）把=0代入抛物线求出y的值确定点A的坐标，求出抛物线的对称轴得到OC的长。（2）①由△CDE是等腰直角三角形，分别过点D作轴和PQ的垂线，通过三角形全等得到∠DQO=45°，求出点Q的坐标，然后用待定系数法求出BQ的解析式。②分点P在对称轴的左右两边讨论，根据相似三角形先求出点Q的坐标，然后代入抛物线求出点P的坐标。69\n21.（2022年浙江绍兴12分）把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。69\n22.（2022年浙江绍兴14分）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线经过A，B两点。（1）求A点坐标及线段AB的长；69\n（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。①当PQ⊥AC时，求t的值；②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。【答案】解：（1）由抛物线知：当x=0时，y=﹣2，∴A（0，﹣2）。69\n如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，则QG⊥PG，即∠GQP=90°。∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，此时PQ不与AC垂直。综上所述，当时，有PQ⊥AC。②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，∴，∴，解得t=2。即当t=2时，PQ∥AC。此时AP=2，BQ=CQ=1。∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）。抛物线对称轴的解析式为x=2，当H1为对称轴与OP的交点时，有∠H1OQ=∠POQ，∴当yH＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ。作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1。∴OQ=，∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3=OQ×PM，69\n（2）①Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上三段来分析，若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建23.（2022年浙江绍兴12分）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．69\n【答案】解：（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°－∠ACB。∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC。∵点E为AB的中点，∴AB=2BE。∴AC=BE。在△ACD与△BEF中，∵，∴△ACD≌△BEF（AAS）。69\n69\n24.（2022年浙江绍兴14分）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．（1）求点B及点D的坐标．（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．69\n69\n69\n69\n∴NF=CN=a，CF=a。∴MF=MN﹣NF=a，∴MG=FG=a。∴CG=FG+FC=a。∴M（a，）。代入抛物线，解得a=。∴M（5，12）。（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时，∵∠CMN=∠BDE＜45°，∴∠MCN＞45°。而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，∴点M不存在。综上可知，点M坐标为（）或（5，12）。69\n69
