【2022版中考12年】上海市2002-2022年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题

【2022版中考12年】上海市2022-2022年中考数学试题分类解析专题12押轴题一、选择题1.（上海市2022年3分）下列命题中，正确的是【】　　（A）正多边形都是轴对称图形；　　（B）正多边形一个内角的大小与边数成正比例；　　（C）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少；　　（D）边数大于3的正多边形的对角线长相等．【答案】A，C。【考点】正多边形和圆，命题与定理。【分析】根据正多边形的性质，以及正多边形的内角和．外角和的计算方法即可求解：A、所有的正多边形都是轴对称图形，故正确；B、正多边形一个内角的大小=(n－2)×180n，不符合正比例的关系式，故错误；C、正多边形的外角和为360°，每个外角=，随着n的增大，度数将变小，故正确；D、正五边形的对角线就不相等，故错误。故选A，C。2.（上海市2022年3分）已知AC平分∠PAQ，如图，点B、B’分别在边AP、AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB＝AB’，那么该条件可以是【】（A）BB’⊥AC（B）BC＝B’C（C）∠ACB＝∠ACB’（D）∠ABC＝∠AB’C【答案】A，C，D。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】首先分析选项添加的条件，再根据判定方法判断：55\n添加A选项中条件可用ASA判定△ACB≌△ACB’，从而推出AB＝AB’；添加B选项中条件无法判定△ACB≌△ACB’，推不出AB＝AB’；添加C选项中条件可用ASA判定△ACB≌△ACB’，从而推出AB＝AB’；添加D选项以后是AAS判定△ACB≌△ACB’，从而推出AB＝AB’。故选A，C，D。3.（上海市2022年3分）在函数的图象上有三点、，已知，则下列各式中，正确的是【】A.B.C.D.【答案】C。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。【分析】根据题意画出图形，再根据函数的增减性解答即可：∵＞0，函数图象如图，∴图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小。∵，∴。故选C。4.（上海市2022年3分）在下列命题中，真命题是【】　　A、两个钝角三角形一定相似　　　　　B、两个等腰三角形一定相似　　　　　C、两个直角三角形一定相似　　　　　D、两个等边三角形一定相似【答案】D。【考点】相似三角形的判定；命题与定理。【分析】55\n根据相似三角形的判定定理对各个选项进行分析：A不正确，不符合相似三角形的判定方法；B不正确，没有指明相等的角或边比例，故不正确；C不正确，没有指明另一个锐角相等或边成比例，故不正确；D正确，三个角均相等，能通过有两个角相等的三角形相似来判定。故选D。5.（上海市2022年4分）在下列命题中，真命题是【】一、两条对角线相等的四边形是矩形；二、两条对角线互相垂直的四边形是菱形；三、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；四、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。故本选项正确。故选D。6.（上海市2022年4分）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是【】A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块【答案】B。【考点】确定圆的条件。【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小。第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，从而可得到半径的长。故选B。7.（上海市2022年Ⅰ组4分）如图，从圆外一点引圆的两条切线，切点分别为．如果，，那么弦的长是【】55\nA．4B．8C．D．【答案】B。【考点】切线的性质，等边三角形和判定和性质。【分析】∵是圆的两条切线，∴。又∵，∴是等边三角形。又∵，∴。故选B。8.（上海市2022年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形中，如果，，那么等于【】A．B．C．D．【答案】B。【考点】向量的几何意义。【分析】根据向量的意义，。故选B。9.（上海市2022年4分）如图，已知，那么下列结论正确的是【】A．B．C．D．【答案】A。55\n【考点】平行线分线段成比例。【分析】已知，根据平行线分线段成比例定理，得。故选A。10.（上海市2022年4分）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1=3，则圆O1与圆O2的位置关系是【】A.相交或相切B.相切或相离C.相交或内含D.相切或内含【答案】A。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据圆与圆的五种位置关系，分类讨论：当两圆外切时，切点A能满足AO1=3，当两圆相交时，交点A能满足AO1=3，当两圆内切时，切点A能满足AO1=3，所以，两圆相交或相切。故选A。11.（上海市2022年4分）矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是【】．(A)点B、C均在圆P外；(B)点B在圆P外、点C在圆P内；(C)点B在圆P内、点C在圆P外；　(D)点B、C均在圆P内．【答案】C。【考点】点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理。55\n【分析】根据BP=3AP和AB的长度求得AP=2，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD=。点B、C到P点的距离分别为：PB=6，PC=。∴由PB＜半径PD，PC＞半径PD，得点B在圆P内、点C在外。故选C。12.（2022上海市4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是【】　A．外离B．相切C．相交D．内含【答案】D。13.（2022年上海市4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是【】（A）∠BDC=∠BCD（B）∠ABC=∠DAB（C）∠ADB=∠DAC（D）∠AOB=∠BOC【答案】C。【考点】等腰梯形的判定，平行的性质，等腰三角形的判定。【分析】根据等腰梯形的判定，逐一作出判断：A.由∠BDC55\n=∠BCD只能判断△BCD是等腰三角形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形；B.由∠ABC=∠DAB和AD∥BC，可得∠ABC=∠DAB=900，是直角梯形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形；故选C。二、填空题1.（上海市2022年2分）已知AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是▲．【答案】AB=AC或∠B=∠C或AE=AF。【考点】菱形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质。【分析】根据菱形的判定定理，结合等腰三角形和三角形中位线的性质，可添加一个条件：AB=AC或∠B=∠C或AE=AF。2.（上海市2022年2分）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12。如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是▲。【答案】18＜r＜25或1＜r＜8。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】当⊙A和⊙C内切时，圆心距等于两圆半径之差，则r的取值范围是18＜r＜25；当⊙A和⊙C外切时，圆心距等于两圆半径之和，则r的取值范围是1＜r＜8。所以半径r的取值范围是18＜r＜25或1＜r＜8。3.（上海市2022年2分）如图所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为▲。55\n【答案】。【考点】正方形的性质，旋转的性质，解直角三角形。【分析】连接CH，得：△CFH≌△CDH（HL）。∴∠DCH=∠DCF=（90°－30°）=30°。在Rt△CDH中，CD=3，∴DH=CDtan∠DCH=。4.（上海市2022年3分）在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长为▲【答案】1。【考点】翻折变换（折叠问题）。【分析】∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，∴。又∵△BDE是△ADE翻折而成，DE为折痕，∴DE⊥AB，，∴在Rt△ADE中，。5.（上海市2022年3分）在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性。图是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形。55\n【答案】【考点】用旋转设计图案，中心对称图形。【分析】通过画中心对称图形来完成，找出关键点这里半径长，画弧，连接关键点即可。6（上海市2022年3分）图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．【答案】。【考点】利用旋转设计图案，中心对称图形。【分析】图中中间的相邻的2对黑色的正方形已是中心对称图形，需找到最上边的那个小正方形的中心对称图形，它原来在右上方，那么旋转180°后将在左下方。7.（上海市2022年4分）在中，，（如图）．如果圆的半径为，且经过点，那么线段的长等于▲．55\n【答案】3或5。【考点】锐角三角函数，等腰三角形的性质，弦径定理，勾股定理。【分析】如图，过点作交于点，根据锐角三角函数，等腰三角形的性质和弦径定理，由，得。由勾股定理，得。在中，，∴由勾股定理，得。当点在上方，线段；当点在下方，线段。8.（上海市2022年4分）在中，为边上的点，联结（如图所示）．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是▲．【答案】2。【考点】翻折变换（折叠问题）。【分析】∵沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，假设这个点是55\n′。作，垂足分别为。∵在中，，∴′=3，，′=′=3，。∴，即。∴，即。所以点M到AC的距离是2。9.（上海市2022年4分）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为▲.【答案】1或5。【考点】正方形的性质，旋转的性质，勾股定理。【分析】旋转两种情况如图所示：顺时针旋转得到F1点，由旋转对称的性质知F1C=EC=1。逆时针旋转得到F2点，则F2B=DE=2,F2C=F2B＋BC=5。10.（上海市2022年4分）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝▲．【答案】80°或120°。【考点】图形旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角三角函数值，三角形内角和定理，邻补角定义。55\n【分析】由已知，B恰好落在初始Rt△ABC的边上且旋转角0°＜m＜180°，故点B可落在AB边上和AC边上两种情况。当点B落在AB边上时（如图中红线），由旋转的性质知△DBE是等腰三角形，由∠B＝50°和等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理可得m＝∠BDE＝80°。当点B落在AC边上时（如图中蓝线），在Rt△CDH中，由已知BD＝2CD，即DH＝2CD，得∠CDH的余弦等于，从而由特殊角三角函数值得∠CDH＝60°，所以根据邻补角定义得m＝∠BDH＝120°。11.（2022上海市4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为▲．【答案】。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质。【分析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴。∵将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，∴∠ADB=∠EDB，DE=AD。∵AD⊥ED，∴∠CDE=∠ADE=90°，∴∠EDB=∠ADB=。∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°－90°=45°。∵∠C=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°。∴CD=BC=1。∴DE=AD=AC﹣CD=。55\n12.（2022年上海市4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为▲．【答案】。【考点】翻折问题，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】如图，将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，过点E作AH⊥BC于点H，EF⊥BC于F，则EF是△ACH的中位线∵AB=AC，BC=8，∴根据等腰三角形三线合一的性质，得HC=BH=4。∵，即。∴AH=6。∴EF=3，FC=2。设BD=x，则根据翻折的性质，DE=BD=x，又。在Rt△DEF中，根据勾股定理，得，解得，即BD=。三、解答题1.（上海市2022年10分）如图，直线y＝x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9．　　（1）求点P的坐标；（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.55\n【答案】解：（1）由题意，得点C（0，2），点A（－4，0）。　　设点P的坐标为（a，a＋2），其中a＞0。由题意，得S△ABP＝（a＋4）（a＋2）＝9，　　解得a＝2或a＝－10（舍去）。　　而当a＝2时，a＋2＝3，∴点P的坐标为（2，3）。　　（2）设反比例函数的解析式为。　　∵点P在反比例函数的图象上，∴，k＝6。∴反比例函数的解析式为。设点R的坐标为（b，），点T的坐标为（b，0）其中b＞2，那么BT＝b－2，RT＝。①当△RTB∽△AOC时，，即，∴，解得b＝3或b＝－1（舍去）。∴点R的坐标为（3，2）。　　　　　　　　　　　　　　②当△RTB∽△COA时，，即，　∴　，解得b＝1＋或b＝1－（舍去）。∴点R的坐标为（1＋，）。　综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1＋，）。55\n【考点】一次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）根据点在直线上，点的坐标满足方程的性质，求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标。（2）设R点坐标为（x，y），求出反比例函数．又因为△BRT∽△AOC，利用线段比联立方程组求出x，y的值。2.（上海市2022年12分）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．　　探究：设A、P两点间的距离为x．　　（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；　　（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；　　（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．　　（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用）【答案】解：（1）PQ＝PB。证明如下：　　过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）。∴NP＝NC＝MB。　　∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°。 而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM。　又∵∠QNP＝∠PMB＝90°，∴△QNP≌△PMB（AAS）。55\n∴PQ＝PB。　　（2）作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形。　　∴PT＝CB＝PN．　　又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN（HL）。∴S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN　＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1∴y＝x2－＋1（0≤x＜）。（3）△PCQ可能成为等腰三角形。　　①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此时x＝0。　　②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）　　　　　此时，QN＝PM＝x，CP＝－x，CN＝CP＝1－x。　　∴CQ＝QN－CN＝x－（1－x）＝x－1。当－x＝x－1时，得x＝1。【考点】二次函数综合题，正方形的性质。【分析】（1）过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，可得四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形；根据等腰三角形的性质与角的互余关系进行代换可得△QNP≌△PMB，故PQ=PB。（2）由（1）的结论，根据图形可得关系S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN，代入数据可得解析式。（3）分①当点P与点A重合，与②当点Q在边DC的延长线上，两种情况讨论，分别讨论答案。3.（上海市2022年10分）已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数55\n的图象经过点A、B，与轴相交于点C。（1）、的符号之间有何关系？（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证、互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果＝－4，AB＝，求、的值。【答案】解：（1）由图可知：当抛物线开口向下，即＜0时，＜0（如图）；当抛物线开口向上，即＞0时，＞0；因此、同号。（2）设A（m，0），B（n，0），抛物线的解析式中，令=0，得：。∴OA•OB=mn=，OC2=。∵OA•OB=OC2，∴=，解得=1。所以、互为倒数。（3）由题意知：，则m＋n=，mn=。∵AB=，∴AB2=48。∴（n－m）2=48，即（m+n）2－4mn=48，。解得。∴。因此、的值分别为：、2或－、－2。【考点】二次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系。55\n作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点：（1）当∠DEF＝45º时，求证：点G为线段EF的中点；（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△DEF，如图，当EF＝时，讨论△ADD与△EDF是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。【答案】解：（1）证明：∵∠DEF=45°，∴∠DFE=90°－∠DEF=45°。∴∠DFE=∠DEF。∴DE=DF。又∵AD=DC，∴AE=FC。∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，∴AD切圆B于点A。同理：CD切圆B于点C。又∵EF切圆B于点G，∴AE=EG，FC=FG。∴EG=FG，即G为线段EF的中点。（2）根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1－y，根据勾股定理，得（x+y）2=（1－x）2+（1－y）2，∴y=（0＜x＜1）。（3）当EF=时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，即x＋=，解得x1=55\n或x2=。①当AE=时，△AD1D∽△ED1F，证明如下：设直线EF交线段DD1于点H，由题意，得：△EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH=D1H。∵AE=，AD=1，∴AE=ED。∴EH∥AD1，∠AD1D=∠EHD=90°。又∵∠ED1F=∠EDF=90°，∴∠ED1F=∠AD1D。∴△ED1F∽△AD1D。②当AE=时，△ED1F与△AD1D不相似。【考点】切线的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定。【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一进行证明，能够熟练运用等腰直角三角形的性质和切线长定理发现G为线段EF的中点。（2）根据切线长定理、正方形的性质得到有关的线段用x，y表示，再根据勾股定理建立函数关系式。（3）结合（2）中的函数关系式，求得x的值．分两种情况分别分析，根据切线长定理找到角之间的关系，从而发现正方形，根据正方形的性质得到两个角对应相等，从而证明三角形相似。5.（上海市2022年10分）在△ABC中，，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设，△AOC的面积为。（1）求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积。【答案】解：（1）∵在，∴。∵，∴，且边上的高为2。55\n∴。∴关于的函数解析式为。（2）如图，过点A作AD⊥BC于点D，当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意；当点O与点D不重合时，在中，。∵圆A的半径为1，圆O的半径为，∴①当圆A与圆O外切时，，解得：。此时△AOC的面积。②当圆A与圆O内切时，，解得。此时△AOC的面积。∴当圆A与圆O相切时，△AOC的面积为或。【考点】勾股定理，建立函数关系式，两圆相切的性质。【分析】（1）用表示出，即可建立关于的函数解析式。（2）根据两圆相切的性质，分两圆外切和内切即可。6.（上海市2022年12分）数学课上，老师出示图和下面框中条件。如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作轴的垂线，分别交二次函数的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交轴于点H，记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为．同学发现两个结论：①；②数值相等关系：。（1）请你验证结论①和结论②成立；（2）请你研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为”，其他条件不变，结论①是否仍成立？（请说明理由）（3）进一步研究：如果将上述框中的条件“A点坐标（1，0）”改为“A点坐标为55\n”，又将条件“”改为“”，其他条件不变，那么和有怎么样的数值关系？（写出结果并说明理由）【答案】解：（1）由已知可得点的坐标为（2，0），点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为（2）结论①仍成立，理由如下：∵点A的坐标为，则点B坐标为（），从而点C坐标为，点D坐标为，设直线OC的函数解析式为，则，得。55\n∴直线OC的函数解析式为。设点M的坐标为（），∵点M在直线OC上，∴当时，，点M的坐标为（）。∴。∴结论①仍成立。（3），理由如下：由题意，当二次函数的解析式为，且点A坐标为（t，0）（）时，点C坐标为（），点D坐标为（），设直线CD的函数解析式为则∴直线CD的函数解析式为。则点H的坐标为（），。∵，∴。些点的坐标进行求解即可。（2）（3）的解法同（1）完全一样。7.（上海市2022年10分）小明家使用的是分时电表，按平时段（6：00－22：00）和谷时段（22：00－次日6：00）分别计费，平时段每度电价为0.61元，谷时段每度电价为0.30元，小明将家里2022年1月至5月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如图），同时将前4个月的用电量和相应电费制成表格（如表）月用电量（度）电费（元）55\n1月9051.802月9250.853月9849.244月10548.555月根据上述信息，解答下列问题：（2）计算5月份的用电量和相应电费，将所得结果填入表中；（3）小明家这5个月的月平均用电量为　　　　　度；（4）小明家这5个月的月平均用电量呈　　　　　趋势（选择“上升”或“下降”）；这5个月每月电费呈　　　趋势（选择“上升”或“下降”）；（5）小明预计7月份家中用电量很大，估计7月份用电可达500度，相应电费将达243元，请你根据小明的估计，计算出7月份小明家平时段用电量和谷时段用电量.【答案】解：（1）65+45=110，45×0.61+65×0.3=46.95。月用电量（度）电费（元）1月9051.802月9250.853月9849.244月10548.555月11046.95（2）99。（3）小明家这5个月的月平均用电量呈上升趋势；这5个月每月电费呈下降趋势。（4）设平时段x度，谷时用（500－x）度，则0.61x＋0.3（500－x）=243，55\n解得x=300，500－x=200。答：平时段用电300度，谷时用电200度。【考点】统计表，折线统计图，算术平均数，一元一次方程的应用，用样本估计总体。【分析】（1）从折线图中可看出用电度数是平时段和谷时段的和所以第一空填65+45=110，电费则是45×0.61+65×0.3=46.95。（2）用平均公式求即可：（90+92+98+105+110）÷5=99。（3）读表格获取信息。（4）设出平时段，谷时段的用电量列出方程求解即可。8.（上海市2022年12分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。（1）如图，求证：△ADE∽△AEP；（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BF＝1时，求线段AP的长.【答案】解：（1）证明：连接OD，∵AP切半圆于D，∴∠ODA=∠PED=90°。又∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED。∴∠ADE=∠ODE+∠ODA，∠AEP=∠OED+∠PED。∴∠ADE=∠AEP。又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEP。（2）∵∠ABC＝90°，AB=4，BC=3，∴AC=5。∵△AOD∽△ACB，∴。∴OD=OA，AD=OA，55\n∵△ADE∽△AEP，∴。∵AP=y，OA=x，AE=OE+OA=OD+OA=OA，∴，。∴y关于x的函数解析式为y=（0＜x≤）。（3）分点B在CF上和在CF延长线上两种情况讨论：情况1：当点B在CF上，y=，BP=4－AP=4－，∵△PBF∽△PED，∴。又∵△ADE∽△AEP，∴。∴，即。解得：x=。∴AP==2。情况2：如图，当点B在CF延长线上，∵∠CEF=900－∠AED=900－∠P=∠CFE，∴CE=CF=BC－BF=3－1=2。过点E作EG⊥BC，交BC于点G，则。解得，EG=，CG=。∴FG=FC－CG=2－。又∵，∴PB=，AP=AB+PB=4+2=6。综上所述，当BF＝1时，线段AP的长为2或6。【考点】切线的性质；根据实际问题列一次函数关系式；相似三角形的判定与性质。【分析】55\n（1）证△ADE∽△AEP，两组对应角相等即可。连接OD，根据切线的性质，得∠ODA=90°，而∠ODE=∠OED，因此∠ADE和∠AEP都是90°加上一个等角，因此∠AEP=∠ADE；再加上两三角形的公共角∠A，即可证得两三角形相似。（2）由△AOD∽△ACB，可得OD=OA，AD=OA；又由△ADE∽△AEP，可得y=。又∵以点O为圆心的半圆交线段OC于点E，∴0＜AE≤AC，即0＜x≤5，0＜x≤。（3）分点B在CF上和在CF延长线上两种情况讨论即可。【答案】解：（1）由题意，点在二次函数的图象上，∴点的坐标为，∴。∵，即，∴。∴点的坐标为。　　　又∵二次函数的图象过点，∴，解得。55\n　　　∴所求二次函数的解析式为。　　　（2）由题意，可得点的坐标为，所求二次函数解析式为。　　　（3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移个单位后所得的图象，那么对称轴直线不变，且。　　　∵点在平移后所得二次函数图象上，∴设点的坐标为，　　　在和中，∵，∴边上的高是边上的高的倍。　　　①当点在对称轴的右侧时，，得，∴点的坐标为。　　　②当点在对称轴的左侧，同时在轴的右侧时，，得，∴点的坐标为。　　　③当点在轴的左侧时，，又，得（舍去）。　　　∴所求点的坐标为或。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角函数定义，旋转和平移的性质。【分析】（1）由点在二次函数的图象上求出点的坐标而得到。由，根据三角函数定义求出而得到点的坐标。由点在二次函数的图象上求出，从而得到所求二次函数的解析式。（2）由题意，可知点的横坐标等于点的纵坐标，点的纵坐标等于点的横坐标，即。55\n由平移的性质，设平移后得到的函数关系式为，把代入，得，从而得到所求二次函数的解析式。（3）由和，知边上的高是边上的高的倍，据此，分别讨论点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧且在轴的右侧，点在轴的左侧三种情况即可。10.（上海市2022年14分）已知点在线段上，点在线段延长线上．以点为圆心，为半径作圆，点是圆上的一点．（1）如图，如果，．求证：（4分）；（2）如果（是常数，且），，是，的比例中项．当点在圆上运动时，求的值（结果用含的式子表示）（7分）；（3）在（2）的条件下，讨论以为半径的圆和以为半径的圆的位置关系，并写出相应的取值范围（3分）。【答案】解：（1）证明：∵，∴。∴。∵，∴。∵，∴。（2）设，则，。∵是，的比例中项，∴，得，即。∴。∵是，的比例中项，即，55\n∵，∴。设圆与线段的延长线相交于点，当点与点，点不重合时，∵，∴。∴即，当点与点或点重合时，可得。∴当点在圆上运动时，。（3）由（2）得，，且，，圆和圆的圆心距。显然，∴圆和圆的位置关系只可能相交、内切或内含。【考点】圆的性质，相似三角形的判定和性质，比例中项的性质，两圆的位置关系。【分析】（1）由已知，可得且，根据三角形的判定定理得证。（2）由是，的比例中项，可求出且，从而，从而。（3）根据两圆的位置关系的判定，分别求出圆与圆相交、内切或内含的情况。11.（上海市2022年12分）如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，，．55\n（1）若的面积为4，求点的坐标；（2）求证：；（3）当时，求直线的函数解析式．【答案】解：（1）∵函数，是常数）图象经过，∴。设交于点，据题意，可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为。∵，∴，。由的面积为4，即，得，∴点的坐标为。（2）证明：根据题意，点的坐标为，则。∵，易得，，∴，。∴。∴。（3）∵，∴当时，有两种情况：①当时，四边形是平行四边形，由（2）得，，∴，得。∴点的坐标是（2，2）。设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，得解得。55\n∴直线的函数解析式是。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，两直线平行的判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质。【分析】（1）由函数（，是常数）的图象经过，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，求出函数关系式，从而由的面积为4求出点的坐标。（2）由已知，求出，即可证得。（3）分和与所在直线不平行两种情况讨论即可。12.（上海市2022年14分）已知：，点在射线上，（如图）．为直线上一动点，以为边作等边三角形（点按顺时针排列），是的外心．（1）当点在射线上运动时，求证：点在的平分线上（4分）；（2）当点在射线上运动（点与点不重合）时，与交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域（5分）；（3）若点在射线上，，圆为的内切圆．当的边或与圆相切时，请直接写出点与点的距离（5分）．55\n【答案】解：（1）证明：如图，连结，∵是等边三角形的外心，∴，圆心角。当不垂直于时，作，，垂足分别为。由，且，，∴。∴。∴。∴。∴点在的平分线上。当时，，即，∴点在的平分线上。综上所述，当点在射线上运动时，点在的平分线上。（2）如图，∵平分，且，∴。由（1）知，，，∴，∴。∵，∴。∴。∴。∴。∴。定义域为：。55\n（3）①如图1，当与圆相切时，；②如图2，当与圆相切时，；③如图3，当与圆相切时，。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，相似三角形的判定和性质，直线和圆相切的性质。【分析】（1）分不垂直于和两种情况分别证明。（2）由已知，证出，根据相似三角形的性质即可得出，从而得到关于的函数解析式。由于点在射线上运动（点与点不重合），所以函数的定义域为。（3）分点在射线上运动（点与点不重合），点与点不重合，点在射线的反向上运动（点与点不重合）三种情况分别讨论：①当点在射线上运动（点与点不重合）时，如图1，在中，，，∴点与点的距离。②当点与点重合时，如图2，，，∴点与点的距离。③点在射线的反向上运动（点与点不重合）时，如图3，点与点重合，∴点与点的距离。13.（上海市2022年12分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．二次函数的图像经过点，顶点为．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标（5分）；55\n（2）如果点的坐标为，，垂足为点，点在直线上，，求点的坐标（7分）．【答案】解：（1）∵二次函数的图像经过点，∴，得。所求二次函数的解析式为。则这个二次函数图像顶点的坐标为。（2）过点作轴，垂足为点。在中，，，，∴。在中，，又，可得。∴。过点作轴，垂足为点。由题意知，点在点的右侧，易证．∴。其中，。设点的坐标为，则，。55\n【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点坐标，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由二次函数的图像经过点，可求得，从而得到二次函数的解析式。把二次函数的解析式化为顶点式，可得这个二次函数图像顶点的坐标为。（2）过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点。分点在的延长线上和点在线段上两种情况分别求出点的坐标为或。14.（上海市2022年14分）已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域（5分）；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长（4分）；（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长（5分）．【答案】解：（1）取中点，联结，∵为的中点，∴，。又∵，∴。∴，得。（2）由已知得。∵以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，55\n∴，即。解得，即线段的长为。（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得。由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②。①当时，∵，∴。∴。∴，易得．得②当时，∵，∴。∴。又，∴。∴，即，得，解得，（舍去）．即线段的长为2。综上所述，所求线段的长为8或2。【考点】梯形的中位线性质，勾股定理，两圆外切的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据梯形的中位线性质，可得，由可知是边上的高。因此，。由于是射线上的动点（点与点不重合），从而。（2）根据两圆外切，圆心距等于两半径之和，列方程解之即可。（3）根据相似三角形的判定和性质，由于。从而只要或即可。因此分此两情况讨论即可。15.（上海市2022年12分）在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点55\n的坐标为，直线轴（如图所示）．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点，联结．（1）求的值和点的坐标；（2）设点在轴的正半轴上，若是等腰三角形，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以为半径的圆与圆外切，求圆的半径．【答案】解：（1）∵点的坐标为，点与点关于原点对称，∴点（—1，0）。∵点在直线上，∴将点（—1，0），代入得到。∴直线：。将代入，得。∴点（3，4）。（2）∵点（3，4），∴。∵点在轴的正半轴上，是等腰三角形，∴是等腰三角形的情况有、和。情况1：，则点（5，0）。情况2：，由点（3，4）得，则点（6，0）。情况3：，设，由D（3，4）根据勾股定理得，解得。则点。综上所述，若是等腰三角形，点的坐标为（5，0），（6，0），55\n。（3）设圆的半径为，情况1：时，由两点坐标得，。∵以为半径的圆与圆外切，∴圆心距。∴。情况2：时，由两点坐标得，。∵以为半径的圆与圆外切，∴圆心距。∴。情况3：时，不存在圆，使以为半径的圆与圆外切。【考点】关于原点对称的点的性质，直线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，两圆外切的性质。【分析】（1）由关于原点对称的点的性质求出点的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系求出的值和点的坐标。（2）根据等腰三角形的性质，分、和三种情况讨论即可。（3）根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和的性质，结合（2）的三种情况分别讨论即可。16.（上海市2022年14分）已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图1所示）．（1）当，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长（4分）；（2）在图1中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域（5分）；（3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求55\n的大小（5分）．【答案】解：（1）∵，∴为等腰直角三角形。∴。∴。∵，∴为等腰直角三角形。又∵，∴。（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成，，高分别是，则，化简，得。∴。又，∴由得。∴关于的函数解析式为。(3)假设不垂直，则可以作一条直线′垂直于，与交于′点，则：，′，，四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：。又由于所以，点′与点重合，所以。【考点】等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。55\n【分析】（1）由等腰直角三角形的判定和性质和勾股定理可求出线段的长。（2）由求出和两高之间的关系，即可由列出关于的函数解析式。定义域：当垂直时，这时，∴。当点运动到与点重合时，的取值就是最大值，连接,作，由已知条件得：，，，四点共圆，则由圆周角定理可以推知：,∴。(3)作出一条直线′垂直于，与交于′点，证明其与点重合即可。17.（上海市2022年12分）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3).（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.55\n【答案】解：（1）将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：，解之得：b=4，c=0∴抛物线的表达式为：。将抛物线的表达式配方得：∴该抛物线的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）。（2）点p（m，n）关于直线x=2的对称点为点E（4－m，n），点E关于y轴的对称点为点F（4－m,－n）。则四边形OAPF可以分为：△OFA与△OAP，∴=+==20∴=5。∵点P为第四象限的点，∴n<0，∴n=－5。代入抛物线方程得m=5。55\n相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.【答案】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°。∵AD=AE，∴∠AED＝60°=∠CEP。∴∠EPC＝30°。∴△BDP为等腰三角形。∵△AEP∽△BDP，∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°。∴AE=EP=1.∴在Rt△ECP中，EC=EP=。（2）设BD=BC=x，则AB=x＋1∵AE=1，EC=2，∴AC=3。在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2=AC2＋BC2，即（x＋1）2=32＋x2。解得，x=4，即BD=BC=4。过点D作DQ⊥AC于点Q，∵∠ACB＝90°，∴DQ∥BC。∴△ADQ∽△ABC。55\n∴。∵AD=1，AB=5，AC=3，BC=4。∴。∴。∴。由DQ∥BC得，∠BPD=∠QDE，∴。(3)设AQ=，则QE=1－。过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE∽△PCE。∴。∴即：，其中x>0。【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，含300角直角三角形的性质，勾股定理，平行的性质，锐角三角函数定义，解方程。【分析】（1）由已知，证出△BDP为等腰三角形。由△AEP∽△BDP证出AE=EP=1和△ECP是含300角的直角三角形，根据300角所对边是斜边一半的性质得EC=EP=。（2）Rt△ABC中，由勾股定理求得BD=BC=4。过点D作DQ⊥AC于点Q，根据相似三角形的判定和性质证得△ADQ∽△ABC，从而得到，求得，55\n。根据平行线内错角相等的性质和锐角三角函数定义，得到。（3）设AQ=，过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE∽△PCE。根据相似三角形的性质和求得。在Rt△ADQ中，根据据勾股定理得，从而求得AQ=，DQ=。由△ADQ∽△ABC，根据相似三角形的性质得，从而得到，即可求得y关于x的函数关系式。19.（上海市2022年12分）已知平面直角坐标系O（如图1），一次函数的图像与轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO＝MA．二次函数＝2＋b＋c的图像经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．【答案】解：（1）在一次函数中，当=0时，=3。∴A（0，3）。∵MO=MA，∴M为OA垂直平分线上的点，而OA垂直平分线的解析式为。又∵点M在反比例函数上，∴M（1，）。又∵A（0，3）．∴AM=。（2）∵二次函数＝2＋b＋c的图象经过点A、M．可得55\n，解得。∴这个二次函数的解析式＝2－＋3。（3）∵点D在一次函数y=的图象上，则可设D（n，），设B（0，m）（m＜3），C（n，）。∵四边形ABDC是菱形，∴|AB|=3—m，|DC|==－（）=。|AD|=∵|AB|=|DC|，∴3－m=①。∵|AB|=|AD|，∴3－m=②。解①②得，n1=0（舍去），n2=2。将n=2，代入C（n，）。∴点C的坐标为C（2，2）。【考点】二次函数综合题，线段垂直平分线的性质，曲线上的点与方程的关系，待定系数法，菱形的性质，勾股定理。【分析】（1）先求出根据OA垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段AM的长。（2）二次函数＝2＋b＋c的图象经过点A、M．由待定系数法即可求出二次函数的解析式。（3）可设D（n，），，C（n，）且点C在二次函数＝2－＋3上，根据菱形的性质得出|AB|=|DC|，|AB|=|AD|，得到方程求解即可。20.（上海市2022年14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝，BN＝，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；55\n（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，∴AC=。∵CP⊥AB，∴△ABC∽△CPB。∴，即。∴CP=24。∴CM=。（2）∵，∴设EP=12，则EM=13，PM=5。∵EM=EN，∴EN=13，PN=5。∵△AEP∽△ABC，∴，即。∴=16，，∴BP=50－16，∴y=50－21，=50－21·，=50－。由（1），当点E与点C重合时，AP=，∴函数的定义域是：0＜＜32。（3）①当点E在AC上时，如图2，由（2）知，AP=16，BN=y=50－，EN=EM=13，AM=AP－MP=16－5=11。∵△AME∽△ENB，∴，即。∴。∴AP=16×=22。②当点E在BC上时，如图，设EP=12，则EM=13，MP=NP=5，∵△EBP∽△ABC，∴，即。∴BP=9。∴BN=9－5=4，AM=50－9－5=50－14。55\n∵△AME∽△ENB，，即。∴。∴AP=50－9×=42。综上所述，AP的长为：22或42。【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用。【分析】（1）根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值。（2）根据EM＝EN，，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出，求出的值，即可得出关于的函数关系式，并且能求出函数的定义域．（3）设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分点E在AC上和点E在BC上两种情况，根据△EBP∽△ABCC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出的值，得出AP的长。21.（2022上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．【答案】解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），∴，解得。∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8。（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。∴∠DEF=∠ODA。55\n∴△EDF∽△DAO。∴。∵，∴。∵OD=t，∴，∴EF=。同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2。（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8。如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。在△CAG与△OCA中，∵∠OAC=∠GCA，AC=CA，∠ECA=∠OAC，∴△CAG≌△OCA（ASA）。∴CG=AO=4，AG=OC=8。如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，由勾股定理得：。在Rt△AEG中，由勾股定理得：。在Rt△ECF中，EF=，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=4+由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即。解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6。∴t=6。55\n解。（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：△CAG≌△OCA，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。22.（2022上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。又∵OB=2，∴。（2）存在，DE是不变的。如图，连接AB，则。∵D和E是中点，∴DE=。（3）∵BD=x，∴。55\n∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。∴∠2+∠3=45°。过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=。由△BOD∽△EDF，得，即，解得EF=x。∴OE=。∴。【考点】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=1200．（1）求这条抛物线的表达式；55\n（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．【答案】解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AO=OB=2，∴B（2，0）。∵∠AOB=1200，∴∠AOD=300，∴AD=1，OD=。∴A（－1，）。将A（－1，），B（2，0）代入，得：，解得。∴这条抛物线的表达式为。（2）过点M作ME⊥x轴于点E，∵。55\n∴M（1，），即OE=1，EM=。∴。∴。∴。（3）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AH=，HB=HO＋OB=3，∴。∴，∴。∴。∴要△ABC与△AOM相似，则必须：①，或②。设点C的坐标为（c，0），则根据坐标和勾股定理，有AO=2，，，。标为（4，0）或（8，0）。【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定，分类思想的应用。55\n【分析】（1）应用三角函数求出点A的坐标，将A，B的坐标代入，即可求得a、b，从而求得抛物线的表达式。（2）应用二次函数的性质，求出点M的坐标，从而求得，进而求得∠AOM的大小。（3）由于可得，根据相似三角形的判定，分，两种情况讨论。24.（2022年上海市14分）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，连接QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．【答案】解：（1）根据题意，得AP=x，BQ=y，AB=5，，∵QM是线段BP的垂直平分线，∴。易得△ABP∽△MQB，∴，即。化简，得。∴y关于x的函数解析式为，x的取值范围为。（2）根据题意，⊙P和⊙Q的圆心距PQ=BQ=y，⊙P的半径为，⊙Q的半径为，55\n若⊙P和⊙Q外切，则，即。代入，得解得。∴当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，。（3）∵EF=EC=4，且EF⊥PQ，EC⊥BC，∴PQ和BC是以点E为圆心，4为半径圆的两条切线。连接EQ，易得，△ABP∽△CEQ，∴。∵AB=5，AP=x，CE=4，CQ=，∴，即。代入，得整理，得，解得。∴满足条件的x值为：或。55\n55