知识点36锐角三角函数一、选择题1.（2022浙江金华丽水，8，3分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）．A．B．C．D．【答案】B．【解析】由锐角三角函数的定义，得AB=，AB=，∴AB与AD的长度之比为，故选B．【知识点】锐角三角函数2.（2022浙江衢州，第9题，3分）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC=6cm，圆锥的面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（）A．B．C．D．第9题图【答案】C【解析】本题考查了圆锥的计算、锐角三角函数的定义．19\n因为已知圆锥侧面积，从而可计算出母线长，利用勾股定理得到高线长，结合正弦函数的概念即可得到。∵圆锥侧面积为15π，则母线长L=2×15π÷6π=5，利用勾股定理可得OA=4，故sina∠ABC=故选C。【知识点】圆锥的计算、锐角三角函数的定义3.（2022江苏无锡，9，3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A.等于B.等于C.等于D.随点E位置的变化而变化【答案】A【思路分析】利用平行线的性质将∠AFE转化为∠GAF，然后利用相似三角形的对应边成比例确定GF、AG的关系，进而得到tan∠AFE的值.【解题过程】∵E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，AB=3，BC=4，∴=tan∠EAH=tan∠ACB==,∴.∵正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，∴FG=EH=HG，EF∥HG，∴∠AFE=∠GAF，∴tan∠AFE=tan∠GAF=====.19\n【知识点】矩形的性质、正方形的性质、平行线的性质、锐角三角函数值的定义4.（2022年山东省枣庄市，11，3分）如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【思路分析】设EF=a，由平行和点是边的中点得到AF与EF的关系以及BF、DF的关系，利用△BEF与△ABF相似，得到BF、EF、AF的关系，表示出BF，从而表示出DF，求得的值．【解题过程】设EF=a，在矩形中，AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴，又∵点是边的中点，∴，∴AF=2EF=2a，又∵，∴△BEF∽△ABF，∴，∴，∴BF=，∴DF=，=，故选A.【知识点】矩形；相似三角形；锐角三角函数5.（2022山东省淄博市，6，4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米，在科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是=2ndF1.0tan=51.0cos2ndF=2ndF1.0Sin=51.0Sin2ndF19\n（A）55（B）（C）（D）【答案】A【解析】利用计算器的按键要求选取合理选项.【知识点】利用计算器计算6.（2022天津市，2，3）的值等于（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】分析：本题查了特殊角的三角函数值．熟记锐角三角函数值，即可得结果.解：＝故选B.【知识点】特殊角的三角函数值1.（2022湖北黄冈，2题，3分）下列运算结果正确的是A.B.C.D.【答案】D19\n【解析】A.原式=6a5，错误；B.原式=4a2,错误;C.原式=1,错误;D.正确.故选D【知识点】同底数幂的乘法，积的乘方，特殊三角函数值2.（2022湖南益阳，8，4分）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A．300sinαB．300cosαC．300tanαD．【答案】A【思路分析】上升的高度为BC，为∠α的对边，AB是斜边，故用正弦求解．【解析】解：∵，∴BC＝ABsinα＝300sinα，故选择A．【知识点】锐角三角形函数，解直角三角形的应用3.（2022湖北宜昌，14，3分）如图，要测量小河两岸相对的两点的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽等于()(第14题图)A.米B.米C.米D.米【答案】C【解析】∵米，，∴在Rt△PAC中，=，故选择C.【知识点】正弦，正切.19\n4.（2022山东省日照市，10，3分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（）A.B.C.2D.【答案】D【解析】如图，在RtABC中，AB=2，BC=1，∴tan∠BAC==.∵∠BED=∠BAD，∴tan∠BED=.故选D.【知识点】正方形网格三角函数5.（2022广东广州，12，3分）如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tanC＝_______．【答案】【解析】根据锐角三角函数的定义可知，在直角三角形中，锐角C的对边与邻边的比叫做∠C的正切，所以tanC＝＝＝．【知识点】锐角三角函数的定义6.（2022山东德州，16，4分）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，19\n的顶点都在格点上,则的正弦值是．【答案】【解析】因为，，，所以，所以，所以.【知识点】网格，直角三角形的边角关系7.（2022湖北荆州，T10，F3）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点是上的一动点当点到弦的距离最大时，的值是（）A．2B．3C.4D．5【答案】B【思路分析】【解析】如图所示，当点D到弦OB的距离最大时，DE⊥OB.连接AB，由题意可知AB为⊙P的直径，∵A（8，0），∴OA=8，B（0，6）∴OB=6，∴OE=BE==3，在RtDAOB中，AB==10，∴BP=×10=5，在在RtDPEB中，PE==4，∴DE=EP+DP=4+5=9，∴tan∠DOB=，故选B【知识点】圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数、垂径定理.19\n8.（2022湖北省孝感市，4，3分）如图，在中，，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据勾股定理可得BC===6.根据三角函数的定义可得sinA===.故选A.【知识点】勾股定理.锐角三角函数的定义.9.（2022四川凉山州，10，4分）无人机在A处测得正前方河流两岸B、C的俯角分别为，此时无人机的高度是h，则河流的宽度BC为（）A.B.C.D.【答案】A19\n【解析】设过A作ADBC的直线交CB的延长线于点D，则Rt△ACD中，∠CAD=50°，AD=h∴CD=ADtan50°=htan50°．又∵Rt△ABD中，∠BAD=20°，可得BD=ADtan20°=htan20°∴CB=CD-BD=htan50°-htan20°=h(tan50°-htan20°).故答案为A.(第10题答图)【知识点】余角定义，锐角三角函数——余弦的应用.10.（2022陕西，6，3分）如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵BE平分∠ABD，∠ABC=60°，∴∠ABE=∠EBD=30°，∵AD⊥BC，∴∠BDA=90°．∴DE=BE．19\n∵∠BAD=90°－60°=30°．∴∠BAD=∠ABE=30°．∴AE=BE=2DE∴AE=AD．在Rt△ACD中，sinC=,AD=ACsinC=．∴AE=，故选择C．【知识点】解直角三角形二、填空题1.（2022山东滨州，15，5分）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB＝__________．【答案】【解析】设BC＝x,则AC＝2x,根据勾股定理可知AB＝x,故sinB＝＝＝．【知识点】勾股定理和三角函数2.（2022年山东省枣庄市，14，4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯的倾斜角为，的长为12米，则大厅两层之间的高度为米.（结果保留两个有效数字）【参考数据：】19\n【答案】6.2【解析】运用锐角三角函数：，即，BC=12×0.515=6.18≈6.2米，故填6.2.【知识点】解直角三角形3.（2022年山东省枣庄市，16，4分）如图，在正方形中，，把边绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点，连接，则三角形的面积为.【答案】9－5．【思路分析】如图，过点P作PF⊥CD于点F，过点P作PG⊥BC于点G．先证明△ABP是等边三角形，再应用特殊角的三角函数值求出PF、CE的长，即可解得△PCE的面积．【解题过程】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，过点P作PG⊥BC于点G．则BP=，在Rt△BGP中，∵∠PBC＝30°，∴PG＝BP·sin∠PBG＝，BG＝BP·cos∠PBG＝3，∴CG＝BC－CG＝－3，则PF＝－3，∵∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°，又∵AB＝BP，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠PAD＝30°，∴DE＝AD·tan∠PAD＝2，∴CE＝DC－DE＝－2，∴S△PCE＝PF·CE＝×(－3)×(－2)＝9－5．【知识点】正方形的性质；等边三角形的判定；特殊角三角函数值19\n4.（2022浙江湖州，13，4）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC＝，AC＝6，则BD的长是．【答案】2【解析】∵菱形的对角线互相垂直，∴AB⊥CD．∵tan∠BAC＝，∴＝．∵AC＝6，∴AO＝3．∴BO＝1．∴BD＝2BO＝2．故填2.【知识点】菱形的对角线，正切5.（2022宁波市，18题，4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点连结MD，ME,若∠EMD=90°，则cosB的值为．【答案】3-12【解析】解：延长EM，交DA的延长线与点G，连接ED∵M是AB中点，∴AM=BM又∵菱形ABCD∴GD∥BC∴∠GAB=∠ABC∴易证△ACD≌△BCE(SAS)∴GM=EM；AG=BE19\n又∵MD⊥GE；GM=EM∴DG=DE设BE=x∴DE=x+2在RT△ABE中，AE2=AB2-BE2在Rt△ADE中，AE2=DE2-AE2∴AB2-BE2=DE2-AE2，即22-x2=(x+2)2-22解得：x=3-1在Rt△ABE中cosB=BEAB=3-12【知识点】勾股定理、锐角时间函数、等腰三角形1.（2022甘肃天水，T12，F4）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=1213，则tanB的值为____.【答案】512.【解析】在Rt△ABC中，由sinA=1213，令a=12，c=13，根据勾股定理，得b=5.∴tanB=ba=512.【知识点】锐角三角函数2.（2022广西玉林，17题，3分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是_______19\n第17题图【答案】2<AD<8【解析】由题，∠A=60°，AB=4，已确定，AD的长度可以变化，如下图（1），是AD最短的情况，此时AD=ABcos60°=2，如下图（2），是AD最长的情况，此时AD=AB/cos60°=8，而这两种情况四边形ABCD就变成了三角形，故都不能达到，故AD的取值范围是2<AD<8第17题图（1）第17题图（2）【知识点】动态问题，特殊的三角函数值3.（2022山东省泰安市，15，3）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在处，若的延长线恰好过点，则的值为．19\n【答案】【解析】根据折叠的性质得到Rt△AEB≌Rt△A’EB，即可得到结论，，，在Rt△CBA’中利用勾股定理求得：，在Rt△CDE中，设，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x．在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长，从而求出的值【解答过程】解：∵矩形ABCD沿沿折叠，使点落在处，∴Rt△AEB≌Rt△A’EB∴，，在Rt△CBA’中，由勾股定理求得：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，在Rt△CDE中，设AE＝x，则EC＝8+x，ED＝10﹣x，在Rt△CDE中，CE2＝CD2+DE2，即，解得x＝2，在Rt△AEB中，19\n∴故答案是：【知识点】翻折变换(折叠问题)；矩形的性质；直角三角形的性质；三角函数.三、解答题1.（2022江苏无锡，17，3分）已知△ABC中，AB=10，AC=，∠B=30°，则△ABC的面积等于.【答案】或【思路分析】先画出△ABC的草图，确定对应元素的位置和大小，再利用三角形的面积公式求解.【解题过程】分两种情况求解：（1）如图1所示，作AD⊥BC于点D，∵AB=10，∠B=30°，∴AD=AB=×10=5，.又∵AC=，∴.∴BC=BD+CD=，∴△ABC的面积为.（2）如图1所示，作AD⊥BC于点D，19\n∵AB=10，∠B=30°，∴AD=AB=×10=5，.又∵AC=，∴.∴BC=BD-CD=，∴△ABC的面积为.综上所述，△ABC的面积等于或.【知识点】含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、解直角三角形、三角形的面积公式、分类讨论思想2.（2022四川省成都市，24，4）如图，在菱形ABCD的中，tanA＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段AB的对应线段EF经过顶点D．当EF⊥AD时，的值为．【答案】19\n【思路分析】延长NF交DC于H．根据翻折得∠A＝∠E，∠B＝∠DFN，利用菱形中邻角互补，可得到∠A＝∠DFH，且∠DHF＝90°，在Rt△EDM中，根据tanA＝tanE＝，得到△EDM三边的关系，求出菱形边长，在解Rt△DHF和Rt△NHC，求出CN，BN，即可求出的值．【解题过程】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∵∠DFN＋∠DFH＝180°，又∵∠B＝∠DFN，∴∠A＝∠DFH，∵AB∥CD，∴∠A＋∠ADC＝180°，又∵∠ADF＝90°，∴∠A＋∠FDC＝90°，∴∠DFH＋∠FDC＝90°，∴∠DHF＝90°，∵∠A＝∠E，∴tanA＝tanE＝＝，设DM＝4x，DE＝3x，∴EM＝＝5x，∴AM＝5x，∴AD＝AM＋DM＝9x，∵EF＝AB＝AD＝9x，∴DF＝EF－DE＝6x，在Rt△DFH中∠A＝∠DFH，∴tanA＝tan∠DFH＝＝，∴DH＝DF＝x，∴CH＝DC－DH＝x，在Rt△CHN中∠A＝∠C，∴tanA＝tanC＝＝，∴CN＝CH＝7x，∴BN＝BC－CN＝2x，∴＝．【知识点】菱形性质；锐角三角函数；翻折变换1.（2022四川自贡，22，8分）如图，在⊿中，；求和的长.【思路分析】通过作高构造直角三角形，在Rt△BCD和Rt△ACD中利用特殊角的三角比和勾股定理即可求解.【解题过程】如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△BCD中，，，∴，∴.，∴.在Rt△ACD中，,，∴，∴.19\n，综上所述，AC长为10，AB长为.【知识点】解直角三角形19
