知识点21二次函数在实际生活中应用一、选择题1.（2022·北京，7，2）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．下图记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10mB．15mC．20mD．22.5m【答案】B．【解析】解法一：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得，解得，从而对称轴为直线x＝－＝－＝15，故选B．解法二：将图上三个点(0，54)，(20，57.9)，(40，46.2)用光滑的曲线顺次连接起来，会发现对称轴位于直线x＝20的左侧，非常靠近直线x＝20，因此从选项中可知对称轴为直线x＝15，故选B．【知识点】二次函数图像的性质；二次函数的简单应用；二次函数解析式的求法；数形结合思想二、填空题1.（2022四川绵阳，16，3分）右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m34\n，水面宽度增加m.【答案】4-4【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-2代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2，解得：x=±2，故水面此时的宽度为4，比原先增加了4-4.故答案为4-4.【知识点】二次函数的应用三、解答题34\n1.（2022山东滨州，23，12分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝－5x²＋20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？第23题图【思路分析】本题主要考查了二次函数的函数值及最值在实际问题中的应用，解答关键是将实际问题中的相关条件转化为二次函数中的相应数值再根据二次函数的性质求解．（1）小球飞行高度为15m，即y＝－5x²＋20x中y的值为15，解方程求出x的值，即为飞行时间；（2）小球飞出时和落地时的高度为0，据此可以得出0＝－5x²＋20x，求出x的值，再求差即可；（3）求小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？即求x为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少？【解题过程】（1）当y＝15时有－5x²＋20x＝15，化简得x²－4x＋3＝0因式分解得（x－1）（x－3）＝0，故x＝1或3，即飞行时间是1秒或者3秒（2）飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y＝0．所以有0＝－5x²＋20x，解得x＝0或4，所以从飞出到落地所用时间是4－0＝4秒（3）当x＝＝＝2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20米.【知识点】二次函数图像与x轴交点及最值2.（2022浙江衢州，第23题，10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系。34\n（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进；在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后水热水柱的最大高度。【思路分析】本题考查了二次函数的实际应用，包括建立直角坐标系待定系数法求解析式，正确把握抛物线图像和性质是解题的关键。（1）利用待定系数法，已知顶点、与x轴交点为（8,0）。根据抛物线的对称性也得另一交点（-2，0），从而列方程组解得即可。（2）根据上题中解得的解析式，令y的值为1.8，求得x的值，再根据对称性确定范围。（3）因形状不变，故抛物线的a值不变，又因装饰物高度不变，故与y轴的交点也不变，且与x轴的交点为（16,0），利用待定系数法可求得。【解题过程】（1）∵抛物线的顶点为（3，5），∴设y=a(x-3)2+5，将（8，0）代入的a=，∴y=(x-3)2+5，或者y=（0<x<8），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=1；（2）当y=1.8时，即1.8=可得=7，=-1（舍去）34\n答：王师傅必须站在离水池中心7米以内。（3）∴y=(x-3)2+5可得原抛物线与y轴的交点为（0，），∵装饰物的高度不变，∴新抛物线也经过（0，），∵喷水柱的形状不变，所以a=∵直径扩大到32米，∴新抛物线也过点（0，16）设新抛物线为y新=（0<x<16），将点（0，）和（0，16）代入得b=3,c=∴y新=，∴y新=，当=时，y新=答：扩建改造后水热水柱的最大高度米。【知识点】二次函数的图像；二次函数的性质；二次函数的实际应用3.（2022安徽省，22，12分）小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元,调研发现：①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2（单位:元）（1）用含x的代数式分别表示W1,W2;34\n（2）当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?【思路分析】“每每”问题，注意利润与数量的关系，总利润=每盆利润盆数；（2）构建二次函数模型，利用二次函数求最值，并注意自变量取值范围。【解题过程】（1）=(50+x)(160-2x)=-2+60x+8000=19(50-x)=-19x+950（2）W总=+=-2+41x+8950（且x为整数）∵-2＜0，，开口向下，=，∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，又∵x取整数，故当x=10时，W总最大W总最大=-2×+41×10+8950=9160【知识点】求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的应用4.（2022四川省达州市，21，7分）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.（1）求该型号自行车的进价与标价分别是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？【思路分析】（1））本小题的等量关系是按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．根据等量关系列、解方程即可解决问题．（2）本小题的等量关系是每月的利润W＝实际售价×销售数量．根据等量关系列、解方程可得．【解题过程】解：（1）设该型号自行车的进价为x元，则标价为（1＋50%）x元．根据题意，得8[（1＋50%）x×0.9－x]＝7[（1＋50%）x－100－x]整理,得2.8x＝3.5x－700解得x＝1000(元),（1＋50%）x＝1500(元)．34\n答:该型号自行车的进价为1000元，则标价为1500元．（2）设该型号自行车降价a元时，每月获利W最大．根据题意，得W＝（155－1000－a）（51＋）＝－a2＋a＋25500＝－（a2－160a＋802－802）＋25500＝－（a－80）2＋26460.当a＝80时，每月获利最大，最大利润是26460元.即该型号自行车降价80元时，每月获利最大，最大利润是26460元.【知识点】一元一次方程的应用;二次函数的最值;5.（2022浙江绍兴，20，8分）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点，，的坐标，机器人能根据图2，绘制图形.若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式.请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式.（1），，.（2），，.（第20题图）34\n【思路分析】（1）由，得到绘制线段，然后根据平面上两点之间线段的求法，就可求出线段的长度。（2）由，，可知绘制抛物线，可设抛物线为，把点坐标代入，就可求出抛物线的解析式。【解题过程】20.解：（1）∵，，，∴绘制线段，.（2）∵，，，，∴绘制抛物线，设，把点坐标代入得，∴，即.【知识点】平面上两点之间的线段的长度、用待定系数法求二次函数的解析式。6.（2022湖南衡阳，24，8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示.34\n（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式.并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【思路分析】（1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可．【解题过程】解：（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，30），（16，24）代入得，，解得.∴y与x之间的函数关系式y=-x+40（10≤x≤16）；（2）W=（x-10）（-x+40）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225，对称轴x=25，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴当x=16时，W最大，最大为144．即当销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【知识点】二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质7.(2022山东青岛中考，22，10分)某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元件．此产品年销售量(万件）与售价(元件）之间满足函数关系式．（1）求这种产品第一年的利润(万元）与售价(元件）满足的函数关系式；34\n（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元.【思路分析】（1）根据“利润=售价×销售量－成本”列出W1与x的函数关系式；（2）由题意得出方程－x2+32x－236=20，解方程即可；（3）根据“利润=售价×销售量－第二年的成本”列出W2与x的函数关系式，再由“第二年产品售价不超过第一年的售价”与“销售量无法超过12万件”得出x的取值范围，在相应的范围内，根据二次函数的性质求出利润的最小值．【解题过程】（1）W1=(x－6)(－x+26)－80=－x2+32x－236．（2）令W1=－x2+32x－236=20，则x2－32x+256=0，(x－16)2=0，∴x=16．答：该产品第一年的售价为16元．（3）W2=(x－5)(－x+26)－20=－x2+31x－150．又∵∴14≤x≤16．∵a=－1，对称轴x=15.5，∴当x=14时，W2有最小值=88．答：第二年的利润W2至少为88万元．【知识点】二次函数的应用——经济利润问题8.（2022山东威海，23，10分）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款，小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款，已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元，该产品每月销售量(万件)与销售单价(元)之间的函数关系如图所示．34\n(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；(2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？【思路分析】（1）先用待定系数法求出直线AB与BC的函数表达式，然后在4≤x≤6与6≤x≤8时，根据“每月利润＝销售单价×每月销售量－工资及其他费用”列出W与x之间的函数表达式；（2）先求出每月的最大利润，然后求出最快还款的时间．【解题过程】解：(1)设直线的函数表达式为yAB＝kx＋b，代入A（4，4），B（6，2），得，解得．∴直线AB的函数表达式为yAB＝－x＋8．设直线的函数表达式为yBC＝k1x＋b1，代入B（6，2），C（8，1），得，解得，∴直线BC的函数表达式为yBC＝－x＋5．工资及其他费用为0.4×5＋1＝3（万元）．当4≤x≤6时，∴，即．当6≤x≤8时，∴，即．(2)当4≤x≤6时，34\n，∴当时，取得最大值1．当6≤x≤8时，，∴当x＝7时，取得最大值1.5．∴，即第7个月可以还清全部贷款．【知识点】二次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；9.（2022山东威海，6，3分）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，下列结论错误的是()A．当小球抛出高度达到7.5时，小球距O点水平距离为3mB．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C．小球落地点距O点水平距离为7米D．斜坡的坡度为1∶2【答案】A【解析】根据函数图象可知，当小球抛出的高度为7．5时，二次函数y＝4x－x2的函数值为7．5，即4x－x2＝7．5，解得x1＝3，x2＝5，故当抛出的高度为7．5时，小球距离O点的水平距离为3m或5m，A结论错误；由y＝4x－x234\n得y＝－（x－4）2＋8，则抛物线的对称轴为直线x＝4，当x＞4时，y随x值的增大而减小，B结论正确；联立方程y＝4x－x2与y＝x解得，或；则抛物线与直线的交点坐标为（0，0）或（7，），C结论正确；由点（7，）知坡度为∶7＝1∶2（也可以根据y＝x中系数的意义判断坡度为1∶2），D结论正确；故选A．【知识点】抛物线的函数值、二次函数与一次函数的结合，斜坡的坡度10.（2022浙江温州，22，12）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元.根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元.设每天安排人生产乙产品.（1）根据信息填表产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲15乙（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润.（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等.已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的值.【思路分析】(1)利用总共有65名工人，x表示每天生产乙产品工人数，则甲（65-x）人。因为每人每天生产2件，所以甲每天产量为2(65-x)而乙产品生产了x件所以增加了（x-5）件每件减少2（x-5）元，所以每件产品可获利润为120-2(x-5)=130-2x元（2）每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元所以15×2(65-x)=x(130-2x)+550,得一元二次方程x2-80x+700=0,解得x1=10,x2=70(不合题意,舍去),所以130-2x=110每件乙产品可获得的利润是110元(3)设生产甲产品m人，生产乙产品x人，丙种产品65-x-m人，甲种产品的产量为2m件，乙种产品的产量x件，丙种产品的产量（65-x-m）件，得：W=x(130-2x)+15×2m+30(65-x-m)=-2(x-25)2+3200，二次函数图像的对称轴为x=25,34\n要求每天甲、丙两种产品的产量相等，所以2m=65-x-m所以得m=因为x,m都是非负整数,所以取x=26,此时m=13,65-x-m=26,利用二次函数的图像和性质得即当x=26时,W大=3198(元)【解题过程】解(1)产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲65-x2(65-x)乙130-2x（2）由题意得15×2(65-x)=x(130-2x)+550,∴x2-80x+700=0,解得x1=10,x2=70(不合题意,舍去),∴130-2x=110(元)答;每件乙产品可获得的利润是110元(3)设生产甲产品mW=x(130-2x)+15×2m+30(65-x-m)=-2x2+100x+1950=-2(x-25)2+3200∵2m=65-x-m∴m=∵x,m都是非负整数,∴取x=26,此时m=13,65-x-m=26,即当x=26时,W大=3198(元)答:安排26人生产乙产品时,可获得的最大总利润为3198元【知识点】二次函数的应用，二次函数的最值，一元二次方程的应用34\n1.（2022湖北黄冈，23题，9分）我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销量y（万件）与月份x（月）的关系为：，每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如下表：x123456789101112z191817161514131211101010（1）请你根据表格求出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；（2）若月利润w（万元）=当月销量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；（3）当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？【思路分析】（1）根据表中数字变化趋势可以看出分为两部分，前一部分为一次函数，后一部分为常函数，注意自变量的取值范围；（2）根据自变量的取值范围，可以分为三种情况，分别为1≤x≤8，9≤x≤10和11≤x≤12，在不同的范围找到对应的函数表达式，进而根据题中利润的公式进行计算；（3）将二次函数化为顶点式，结合自变量的取值范围和函数的增减性进行分析，得到各部分函数的最值，通过比较，得出整个函数在1≤x≤12范围内的最大值。【解析】解：（1）根据表格知：当1≤x≤10，x为整数时，z=-x+20，当11≤x≤12，x为整数时，z=10，所以每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式为：；（2）当1≤x≤8时，w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80=-(x-8)2+144，当9≤x≤10时，w=(-x+20)(-x+20)=(x-20)2，当11≤x≤12时，w=10(-x+20)=-10x+200，综上所述，；（3）当1≤x≤8时，w=-(x-8)2+144，当x=8时，w有最大值为144，当9≤x≤10时，w=(x-20)2，w随x增大而减小，所以x=9时，w有最大值为121，当11≤x≤12时，w=-10x+200，w随x增大而减小，所以x=11时，w有最大值为90，综上所述，当x=8时，w有最大值为144.【知识点】一次函数，二次函数增减性，二次函数最值2.（2022内蒙古呼和浩特，25，12分）某市计划在十二年内通过公租房建设，解决低收入人群的住房问题。已知前7年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米）与时间x（第x年）的关系构成一次函数（134\n≤x≤7且x为整数），且第一和第三年竣工的公租房面积分别为和百万平方米；后5年每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米）与时间x（第x年）的关系是（7x≤12且x为整数）.（1）已知第6年竣工投入使用的公租房面积可解决20万的住房问题，如果人均住房面积，最后一年要比第6年提供，那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可以解决多少万人的租房问题？（2）受物价上涨等因素的影响，已知这12年中，每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同，且第一年，一年38元/，第二年，一年40元/，第三年，一年42元/，第四年，一年44元/，…以此类推，分别说明每平方米的年租金和时间是否构成函数，如果能，直接写出函数解析式；（3）在（2）的条件下，假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12年中每年竣工投入使用的公租房的年租金W关于时间x的函数解析式，并求出W的最大值（单位：亿）；如果在W取得最大值的这一年，老张租用了58的房子，计算老张这一年应交付的租金。【思路分析】运用二次函数解决实际问题，确定二次函数表达式方法有：一般根据实际问题的数量关系，建立函数之间的关系.求二次函数的最值一般采用配方法把二次函数表达式配成顶点形式，但求最值要结合抛物线的开口方向和自变量的取值范围，否则容易出现错误.(1)依题意，题目明确为一次函数模型，将“第一和第三年竣工的公租房面积分别为和百万平方米”转化数组（1，），（3，），待定出一次函数解析式，利用该解析式求解问题；（2）假设能够构成函数，利用已知看是否可以确定出函数解析式；（3）依题意，构建二次函数，利用二次函数最值求法确定问题的求解.【解析】解：（1）设前7年y与x的函数关系式为：y=kx+b，代入点（1，），（3，），得，解得：，∴y=+434\n当x=6时，y=3（百万平方米），把x=12代入（百万平方米）（平方米）12.5（万）（2）能.z=2x+36【答案提示】设租金z与时间x之间的函数关系式为：z=mx+n代入（1，38），（2，40），得，解得：m=2，n=36，∴z=2x+36.（3）当，w=(+4)(2x+36)==∴当x=3时，w有最大值为147（百万）=1.47（亿）当，w=()(2x+36)==∴当x=8时，W有最大值=143（百万）=1.43（亿）所以w的最大值为1.47亿.当x=3时，58m2的房子应交付租金为：58=2436（元）答：W关于x的函数解析式为，W的最大值为1.47亿，老张应交租金2436元.【知识点】一次函数解析式的求法，二次函数的解析式求解，一次函数与二次函数的综合实际应用34\n3.（2022甘肃天水，T24，F10）麦积山石窟是世界文化遗产，国家AAAAA级旅游景区，中国四大石窟之在2022年中国西北旅游营销大会暨旅游装备展上，商家按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获得利润相等.（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按此进价进货，标价销售，商家每天可售出该工艺品100件；若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件.问：每件工艺品降价多少元销售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？【思路分析】对于（1），根据标价-进价=45，(标价×85％-进价)×8=(标价-35-进价)×12，列出二元一次方程组，求出答案即可；对于（2），根据利润=单间利润×销售量，列出二次函数，再讨论极值即可.【解析】（1）解：设标价为x元，进价为y元，根据题意，得x-y=45,(85%x-y)×8=x-35-y×12.....................................................................................2分解得x=200,y=155.所以，该工艺品的进价为155元，标价为200元……………………………………………4分（2）设降价a元，每天获得的利润为W，根据题意，得W=(45-a)(100+4a)=-4a2+80a+4500……………………………………………………………6分=-4(a2-20a)+4500=-4(a2-20a+100-100)+4500=-4(a-10)2+4900，………………………………………………………………………………7分∵-4＜0，∴二次函数有最大值，当a=10时，W最大=4900…………………………………………………………………………9分所以每件工艺品降价10元时，每天获得的最大利润为4900元…………………………10分34\n【知识点】二次函数的应用，二元一次方程组的应用4.（2022江苏淮安，25，10）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元。经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减小10件。(1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件;(2)当每件的销售价x(元）为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y(元)最大？并求出最大利润。【答案】(1)180【思路分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握利润的计算是解题的关键，利润＝（销售价-进货价）×件数【解析】解：（1）由题意得，当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为180件;（2）由题意得，y=(x-40)(700-10x)即y=-10（x-55）2+2250所以当x=55时，y取得最大值，最大值为2250.答：当每件的销售价为55元时，销售该纪念品每天获得的利润y(元)最大，最大利润2250元.【知识点】二次函数的实际应用5.（2022福建A卷，23，10）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中ADMN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏.（1）若=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值.【思路分析】本题考查了一元二次方程以及二次函数的应用，解题的关键根据题意列出方程或函数关系式进行解答．（1）设矩形的边长AD为xm，根据长方形长与宽的关系，得到另一边长为34\n，从而列出一元二次方程即可求解；（2）由第（1）问矩形面积列出面积S与x的函数关系式，结合自变量的取值范围利用函数的增减性进行解答．【解题过程】解：（1）设AD=米，则AB=米，依题意，得：解得：，.因为且，所以不合题意，应舍去.故所利用旧墙AD的长为10米.（2）设AD=米，矩形ABCD的面积为S平米，则，S=，①若，则当时，；②若，则当时，S随的增大而增大，故当=时，.综上，当时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是1250平方米.当时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是平方米.【知识点】一元二次方程，二次函数的应用6.（2022福建B卷，23，10）空地上有一段长为米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米.（1）已知=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园的面积为450平方米，如图1,求所用旧墙AD的长；（2）已知,且空地足够大,如图2,请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大,并求面积的最大值.34\n【思路分析】本题考查了一元二次方程以及二次函数的应用，解题的关键根据题意列出方程或函数关系式进行解答．（1）设矩形的边长AD为xm，根据长方形长与宽的关系，得到另一边长为，从而列出一元二次方程即可求解；（2）由第（1）问矩形面积列出面积S与x的函数关系式，结合自变量的取值范围利用函数的增减性进行解答．【解题过程】解：（1）设AD=米，则AB=米，依题意，得：解得：，因为且，所以不合题意，应舍去。故所利用旧墙AD的长为10米.（2）设AD=米，矩形ABCD的面积为S平米，①如果按图1方案围成矩形菜园，依题意，得：S=，，因为，所以当时，S随的增大而增大，当=时，.②如果按图2方案围成矩形菜园，依题意，得：S=，，34\n因为，所以当时，S随的增大而减小，当=时，。综合①②，当时，即，此时按图书馆方案围成的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；当时，两种方案围成的矩形菜园面积的最大值相等。综上，当时，围成长和宽均为（）米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；当时，围成长为米，宽米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；【知识点】一元二次方程的应用34\n7.（2022湖北荆州，T24，F10）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召,某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园,其中一边靠墙,可利用的墙长不超过18,另外三边由36长的栅栏围成,设矩形空地中,垂直于墙的边,面积为(如图).(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围;(2)若矩形空地的面积为,求的值;(3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表).问丙种植物最多可以购买多少棵?此时,这批植物可以全部栽种到这块空地上吗?请说明理由.甲乙丙单价（元/棵）141628合理用地（棵）0.410.4【思路分析】（1）由题意知AB+BC+CD=36m,则可得BC=36-2x，则y=x(36-2x)，根据边长为正数且AD和BC小于等于18m，可得到x的取值范围；（2）由上问得出的解析式，将面积代入可求得x的值；【解题过程】解：（1）由题意知四边形ABCD为矩形.∴AB=DC∵AB+BC+CD=36m∴BC=36-2x∴y=x(36-2x)=－2x2+36x∵AB>0,BC≤1834\n∴9≤x<36(2)由上问可知y=-2x2+36x（9≤x<36）当y=160时-2x2+36x=160解得x1=10,x2=8∵9≤x<36∴x=10即AB=10m.（3）解：设甲为a,乙为b,则丙为400-a-b(a、b为整数)由题意可得：14a+16b+28(400-a-b)=8600.即7a+6b=1300由（1）得，a的最大值为184此时丙最多214株用地面积（184+2.4）×0.4+2×1=161.2y=x(36-2x),当x=9时,y最大值为162∴这批植物可以全部栽种到这块空地上【知识点】方程、不等式、8.（2022湖北荆门，22，10分）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放养天的总成本为，放养天的总成本为元.设这批小龙虾放养天后的质量为，销售单价为元/，根据往年的行情预测，与的函数关系为，与的函数关系如图所示.（1）设每天的养殖成本为元，收购成本为元，求与的值；34\n（2）求与的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养天后一次性出售所得利润为元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额-总成本）【思路分析】（1）根据放养天的总成本为，放养天的总成本为元可得，解出m和n的值即可；（2）当0≤t≤20时，设，将（0，16）和（20，28）代入即可得出解析式，当20＜t≤50时，设，将（20，28）和（50，22）代入即可得出解析式；（3）根据题意可得当0≤t≤20时，W=5400t，当20＜t≤50时，W=-20(t-25)2+108500，进而得出W的最大值.【解题过程】解：（1）依题意，得，解得.（2）当0≤t≤20时，设，由图象得：，解得，∴.34\n当20＜t≤50时，设，由图象得：，解得，∴综上，.（2）W=ya-mt-n当0≤t≤20时，W=10000()-600t-160000=5400t∵5400＞0，∴当t=20时，W最大=5400×20=10800当20＜t≤50时，W=（）（100t+8000）-600t-160000=-20t2+1000t+96000=-20(t-25)2+108500∵-20＜0，抛物线开口向下，∴当t=25时，W最大=108500，∵108500＞108000，∴当t=25时，W取最大值，该最大值为108500元.【知识点】待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值9.（2022河南，21，10分）某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量（个）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如下表：销售单价x（元）8595105115日销售量（个）17512575m日销售利润（元）87518751875875（注：日销售利润=日销售量（销售单价-成本单价））34\n（1）求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值；（2）根据以上信息,填空：该产品的成本单价是元．当日销售单价=元时,日销售利润最大,最大值是元；（3）公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本.预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?【思路分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，建立二次函数模型解决最值问题，列不等式组解决实际问题等知识。（1）根据表格中的信息利用待定系数法，直接计算可得；（2）根据给出的公式“日销售利润=日销售量（销售单价-成本单价）”带入一组数据求出成本单价，进而列出二次函数的解析式；（3）根据日销售利润不低于3750元，列出不等式，经过计算，可求出当日销售利润不低于3750元的销售目标时,该产品的成本单价的范围。【解题过程】（1）设y关于x的函数解析式为,由题意得 解得∴y关于x的函数解析式为………………………………3分当时,……………………………………4分（2）………………………………………………………………7分（3）设该产品的成本单价为a元，由题意得解得．答：该产品的成本单价应不超过65元．…………………………………10分【知识点】待定系数法求一次函数解析式、二次函数的最值、不等式的应用34\n10.（2022湖北省襄阳市，23，10分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售.在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克.第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克.已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元(利润=销售收入一成本)(1)m=▲；n=▲；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大?最大利润是多少?(3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天?【思路分析】一次函数、二次函数的实际应用题，重点考查学生建模能力，把实际问题转化为函数问题。同时考查了利用函数求最值，利用函数图象解不等式等知识点，对于学生建模能力有较高要求，同时需要学生的计算非常准确.（1）将x=12，y=32和x=26，y=25分别代入y=mx-76m即可求出m，n的值；（2）由（1）可知，再根据“利润=销售收入一成本”列出利润W与x的函数关系式，分别利用二次函数和一次函数的性质计算最大值，比较两种情况下的最大值即为得出答案；（3）根据二次函数、一次函数图象的增减性确定利润不低于870元时x的取值范围，找出取值范围内的正整数解的个数即为答案.【解题过程】解：（1）m=，n=25.理由如下：把x=12，y=32代入y=mx-76m得，12m-76m=32解得，m=.把x=26，y=25代入y=n得，n=25.故答案为25；（2）第x天的销售量为20+4(x-1)=4x+16.当1≤x＜20时，W=(4x+16)(x+38-18)=-2x2+72x+32034\n=-2(x-18)2+968.∴当x=18时，W最大值=968.当20≤x≤30时，W=(4x+16)(25-18)=28x+112.∵k=28＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x=30时，W最大值=952.∵968＞952，∴当x=18时，W最大值=968元.即第18天当天的利润最大，最大利润为968元.（3）当1≤x＜20时，令-2x2+72x+320=870，解得，x1=25，x2=11.∵抛物线W=-2x2+72x+320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870.∴11≤x＜20.∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元.当20≤x≤30时，令28x+112≥870，解得，x≥.∴≤x≤30.∵x为整数，∴有3天利润不低于870元.综上所述，当天利润不低于870元的共有12天.【知识点】一次函数的应用、二次函数的应用34\n11.（2022四川凉山州，27，14分）结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长80m，宽60m的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于36m，不大于44m，预计活动区造价60元／m2，绿化区造价50元／m2，设绿化区域较长直角边为xm.（1）用含x的代数式表示出口的宽度；（2）求工程总造价y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出x为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由.（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化11m2，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少m2.(第27题图)【思路分析】（1）出口的宽度用含x的代数式表示为（）m；（2）由出口的宽度得，又由题可得，小直角三角形的另一条直角边为(x-10)m∵；（2）能否完成全部工程，关键看是否有满足条件的整数x.34\n由题得，28.4万元，解出x.（4）该函数图像为抛物线∴当x取最大时，（3）设计的方案中最省钱.此时算出，设原计划每天绿化am2.由题得【解题过程】解：（1）出口的宽度用含x的代数式表示为（）m；（2）由题得，又由题可得，小直角三角形的另一条直角边为(x-10)m∵34\n；（3）能完成全部工程.理由：由题得，28.4万元，解得（4）该函数图像为抛物线∴（3）设计的方案中,当x取22时，该方案最省钱.此时，设原计划每天绿化am2.由题得∴原计划每天绿化33m2.34\n【知识点】代数式的表示法，函数关系式，不等式组的正整数解，函数的最值，用分式方程解决问题.12.（2022浙江省台州市，23，12分）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第个月该原料药的月销售量为（单位：吨），与之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数的图象与线段的组合；设第个月销售该原料药每吨的毛利润为（单位：万元），与之间满足如下关系：（1）当时，求关于的函数解析式；（2）设第个月销售该原料药的月毛利润为（单位：万元）.①求关于的函数解析式；②该药厂销售部门分析认为，是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量的最小值和最大值.【思路分析】（1）由函数图象可知A、B两点的坐标，通过待定系数法构造关于k和b的二元一次方程组，求出k和b的值即可.（2）将t分为三种情况：当0<t≤8时，，当8<t≤12，当12<t≤12时，针对这三种情况，利用销售该原料药的月毛利润=该原料药每吨的毛利润×第t个月该原料药的月销售量即可，需要进行分类讨论.（3）将w=336代入可以得到t的值，然后代入P=t+2即可得到月销售量的最小值；将w=336代入得到相应的t的值，然后代入P=t+2可以得到月销售量的最大值.【解题过程】（1）当8<t≤24时，设P关于t的函数解析式为P=kt+b，经过点A（8，10）、B（24，26），代入得34\n，解得，∴P关于t的函数解析式为。（2）当0<t≤8时，w=PQ=;当8<t≤12时，w=PQ=（t+2）（2t+8）=；当12<t≤12时，w=PQ=（t+2）（-t+44）=，∴w关于t的函数解析式为（3）当336≤w≤513时，将w=336代入得，整理得，解得，（不合题意，舍去）此时P=t+2=12；当时，∵时，，∴当将w=336代入，整理得，解得，（不合题意，舍去），此时P=t+2=17+2=19，∴对应的月销售量P的最小值是12月，最大值是17月.【知识点】待定系数法求一次函数的解析式；加减法解二元一次方程组；分段函数，分类讨论的数学思想；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程的解法；二次函数的最值；34
