一元二次方程的代数应用一、选择题1.（2022四川绵阳，8，3分）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为A.9人B.10人C.11人D.12人【答案】C.【解析】解：设这次参加酒会的人数为x人，根据题意可得，解得x1=11，x2=-10（舍去）.故选C.【知识点】一元二次方程的应用1.（2022江苏省宿迁市，8，3）在平面直角坐标系中，过点（1，2）作直线l．若直线l与两坐标轴围成的面积为4，则满足条件的直线l的条数是（）A．5B．4C．3D．2【答案】C【思路分析】设直线l的解析式为y＝kx＋b，∵l过点（1，2），∴2＝k＋b，b＝2－k．∴y＝kx＋2－k．与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，2－k）．∴与坐标轴围成的面积S＝·丨2－k丨＝8．解得k1＝－2，k2＝6＋4，k3＝6－4，故选C．【知识点】一次函数，一元二次方程2.（2022山东省泰安市，10，3）一元二次方程根的情况是（）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3【答案】D【解析】一是可以利用一元二次方程的求根公式进行计算，再根据结果进行各项判断；二是可以利用一元二次方程与二次函数的图象关系进行判断。11\n解法一：整理得：，解得：，故选D.解法二：设，画出草图（如右图）：二次函数与一次函数的交点所对应的横坐标即为方程的根，故选D【知识点】一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程的关系.二、填空题1.（2022山东省日照市，14，4分）为创建“国家生态园林城市”某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米.设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为.【答案】x(x+40)=1200【解析】设绿地宽为x米，则绿地长为（x+40）米.根据矩形的面积公式，可列方程为x(x+40)=1200.【知识点】一元二次方程的应用2.（2022贵州安顺，T14，F4）若是关于x的完全平方式，则m=_______.【答案】7或-1【解析】∵是关于x的完全平方式，∴（m-3）²=16.解得m=7或-1.【知识点】完全平方式的特点，解一元二次方程.11\n3.（2022四川自贡，15，4分）若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为.【答案】－1【解析】∵函数的图象与轴有且只有一个交点，∴一元二次方程有两个相等的实根，即，∴.【知识点】函数与方程，一元二次方程根与系数的关系三、解答题1.（2022四川省南充市，第20题，8分）已知关于的一元二次方程.（1）求证：方程有两个不相等的实数根.（2）如果方程的两实数根为，，且，求的值.【思路分析】(1)根据题意，利用根的判别式公式可得代数式，整理化简即可.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，用含m的式子表示出x1+x2和x1x2的值，再代入，化简整理即可.【解题过程】解：(1)根据题意，得：=[－(2m－2)]2－4(m2－2m)＝4＞0，3分∴方程有两个不相等第实数根.4分(2)由一元二次方程根与系数的关系，得：x1+x2=2m－2，x1x2=m2－2m，5分∵，∴.6分∴(2m－2)2－2(m2－2m)=10.化简，得m2－2m－3=0，解得：m1=3，m2=－1.∴m的值为3或－1.8分【知识点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数第关系；完全平方公式2.（2022·重庆B卷，23，10）11\n在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2022年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．（1）按计划，2022年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2022年5月底前，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1﹕2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2022年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2022年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%．求a的值．【思路分析】（1）根据“沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍”列不等式，并求不等式的最小整数解即可；（2）先求出到2022年5月底前，该县修建的沼气池40个，修建垃圾集中处理点10个；再求出前5个月修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用；最后根据题意，列出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值．【解题过程】23．解：（1）设2022年前5个月要修建x个沼气池，则修建垃圾集中处理点(50－x)个，根据题意，得x≥4(50－x)，解得x≥40．答：按计划，2022年前5个月至少要修建40个沼气池．（2）由题意可知，到2022年5月底前，该县修建的沼气池40个，修建垃圾集中处理点10个，若令修建的沼气池每个y元，则修建的垃圾集中处理点的每个2y元，从而由题意得40y＋10×2y＝78，解得y＝1.3，即到2022年5月底前，修建的每个沼气池与垃圾集中处理点的费用分别为1.3万元和2.6万元．根据题意，得40•(1＋5a%)•1.3(1＋a%)＋10•(1＋8a%)•2.6(1＋5a%)＝78•(1＋10a%)．令a%＝t，则52(1＋5t)(1＋t)＋26(1＋8t)(1＋5t)＝78(1＋10t)，整理，得10t2－t＝0，解得t1＝0.1，t2＝0（不合题意，舍去），从而a%＝0.1，a＝10．答：a的值为10．【知识点】一元一次不等式的应用一元二次方程的应用3.（2022江苏省盐城市，23，10分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为___________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？11\n【思路分析】（1）由题意得，20+2×3＝26，所以若降价3元，则平均每天销售数量为26件；（2）本题中的相等关系：每天每件的盈利×每天的销量＝每天销售利润【解题过程】解：（1）26；（2）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．由题意，得（40－x）（20＋2x）＝1200．整理，得x2－30x＋200＝0．（x－10）（x－20）＝0．x1＝10，x2＝20．又每件盈利不少于25元，∴x＝20．不合题意舍去答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【知识点】一元二次方程的应用4.（2022四川省宜宾市，6，3分）某市从2022年开始大力发展“竹文化”旅游产业。据统计，该市2022年“竹文化”旅游收入约为2亿元。预计2022“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2022年、2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A.2%B.4.4%C.20%D.44%【答案】C【解析】设该市2022年、2022年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2=2.88，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去），故选择C.【知识点】一元二次方程的实际应用1.（2022·重庆A卷，23，10）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．（1）原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2022年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1﹕2，且里程数之比为2﹕1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府经费在2022年的基础上增加10a%（a11\n＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2022年的基础上分别增加增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．【思路分析】（1）根据“道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍”列不等式，并求不等式的最小整数解即可；（2）先求出2022年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米的经费，最后根据题意，列出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值．【解析】23．解：（1）设今年1至5月道路硬化的里程为x千米，则道路拓宽的里程为(50－x)千米，根据题意，得x≥4(50－x)，解得x≥40．答：今年1至5月道路硬化的里程为40千米．（2）∵2022年道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，且里程数之比为2﹕1，∴道路硬化为30千米，道路拓宽为15千米．设2022年道路硬化每千米的经费为y万元，则道路拓宽每千米的经费为2y万元，根据题意，得30y＋15×2y＝780，解得y＝13．从而2022年道路硬化每千米的经费为13万元，道路拓宽每千米的经费为26万元．根据题意，得13•(1＋a%)•40(1＋5a%)＋26•(1＋5a%)•10(1＋8a%)＝780•(1＋10a%)．令a%＝t，则520(1＋5t)(1＋t)＋260(1＋8t)(1＋5t)＝780(1＋10t)，整理，得10t2－t＝0，解得t1＝0.1，t2＝0（不合题意，舍去），从而a%＝0.1，a＝10．答：a的值为10．【知识点】一元一次不等式的应用一元二次方程的应用2.（2022湖北宜昌，22，10分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的值都以平均值计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使值降低了12.经过三年治理，境内长江水质明显改善.(1)求的值；(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；11\n(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的值比上一年都增加一个相同的数值.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的值与当年因甲方案治理降低的值相等.第三年，用甲方案使值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的值及的值.【思路分析】(1)平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数.解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数;(2)∵从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，∴可得方程，计算出增长率m；(3)设第一年用甲方案整理降低的值为，据题建立二元一次方程组，解出方程组，写出答案.【解析】解：(1)(2)解得：（舍去）∴第二年用乙方案治理的工厂数量为（家）(3)设第一年用甲方案整理降低的值为，第二年值因乙方案治理降低了，由题得：，∴Q值为20.5，的值为9.5.【知识点】平均数，增长率，用二元一次方程组解决问题.11\n3.（2022山东德州，23，12分）为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.(1)求年销售量与销售单价的函数关系式;(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?【思路分析】(1)将有序实数对（40，600）、（45，550）代入求解即可；(2)根据相等关系“年总利润=每台利润×年销售量”列方程计算即可.【解析】解：（1）∵此设备的年销售量（单位：台）和销售单价（单位：万元）成一次函数关系.∴可设，将数据代入可得：解得：，∴一次函数关系式是；（2）此设备的销售单价是万元，成本价是30方元，∴该设备的单件利润为万元，由题意得：，解得：，∵销售单价不得高于70万元，即，∴不合题意，故舍去，∴．答：该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元．【知识点】待定系数法，一元二次方程的应用4.（2022·新疆维吾尔、生产建设兵团，17，8）先化简，再求值：，其中x是方程x2＋3x＝0的根．【思路分析】（1）按分式的运算法则和运算顺序进行计算即可，注意结果的化简；（2）解一元二次方程x2＋3x11\n＝0；（3）将方程的根代入化简后的式子进行计算，注意要使分式有意义．【解析】解：原式＝＝＝x＋1，∵x是方程x2＋3x＝0的根，∴x1＝0，x2＝－3．∴当x＝0时，原式无意义；当x＝－3时，原式＝－3＋1＝－2．【知识点】分式的运算；一元二次方程的解法；分式有意义的条件5.（2022贵州安顺，T23，F12）某地2022年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2022年在2022年的基础上增加投入资金1600万元.（1）从2022年到2022年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2022年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2022年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.【思路分析】(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2022年投入的资金×（1+平均增长率）²=2022年投入的资金，列出方程求解即可;(2)设2022年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据前1000户活的的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥5000000，列出不等式求解即可.【解题过程】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意得1280（1+x）²=1280+1600，解得x=0.5或x=-2.5（舍）.答：从2022年到2022年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.（2）设2022年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，∵8×1000×400=3200000＜5000000，∴a＞1000.根据题意得1000×8×400+（a-1000）×5×400≥5000000，解得a≥1900.答：2022年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.【知识点】一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用.11\n6.（2022湖北省孝感市，21，9分）已知关于的一元二次方程.（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根，满足，求的值.【思路分析】（1）将原方程化成一般形式，利用判别式≥0即可证明无论取何值此方程总有两个实数根.（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，再结合即可求出p的值.【解题过程】（1）证明：∵，∴.∴=≥0.∴无论取何值此方程总有两个实数根.（2）解：由（1）知：原方程可化为，∴，.又∵，∴.∴，.∴，∴.【知识点】一元二次方程的应用；判别式法；一元二次方程根与系数的关系.11\n11
