知识点19二次函数代数方面的应用一、选择题1.（2022内蒙古呼和浩特，6，3分）若以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标系的点（x,y）都在直线上，则常数b=（）A.B.2C.-1D.1【答案】B【解析】根据二元一次方程和一次函数的关系，以二元一次方程x+2y-b=0的解为坐标的点（x,y）都在一次函数的图象上，∴，∴b=2.【知识点】二元一次方程和一次函数的关系2.（2022湖北省襄阳市，9，3分）已知二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是(▲)A.m≤5B.m≥2C.m<514\nD.m>2【答案】A【解析】解：∵二次函数的图象与x轴有交点，∴△=b²-4ac=≥0，解得，m≤5.故选A.【知识点】二次函数与一元二次方程的关系3.（2022山东省泰安市，10，3）一元二次方程根的情况是（）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3【答案】D【解析】一是可以利用一元二次方程的求根公式进行计算，再根据结果进行各项判断；二是可以利用一元二次方程与二次函数的图象关系进行判断。解法一：整理得：，解得：，故选D.解法二：设，画出草图（如右图）：二次函数与一次函数的交点所对应的横坐标即为方程的根，故选D【知识点】一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程的关系.14\n二、填空题1.（2022四川遂宁，15，5分）如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反函数y=的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0，6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为．【答案】(,0)【解析】解：∵B点的横坐标为3，且点B在反函数y=的图象上，∴B(3,3).∵抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)经过B，C两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2-4x=6=(x-2)2+2，∴抛物线的顶点A坐标为（2，2），∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（2，-2）.设A′B所在的直线方程为y=kx+b，则，解得，∴直线A′B的方程为y=5x-12，令y=0，解得x=，14\n∴直线A′B与x轴的交点坐标为(,0).根据两点之间线段最短，可得当P的坐标为(,0)时，PA+PB最小.故答案为(,0).【知识点】待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，一次函数与x轴的交点，两点之间线段最短，在坐标平面内点关于坐标轴对称的问题2.（2022山东省日照市，16，4分）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数y=(m<0)与y=x2－4在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，则实数m的取值范围为.【答案】－2≤m<-1【解析】当x=1时，y=x2－4=1－4=－3.所以在第四象限内在二次函y=x2－4的图象上和图象上方的整点有3个，坐标为（1，－1）、（1，－2）、（1，－3）．当反比例函数y=(m<0)的图象经过点（1，－2），即m=xy=－2时，在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2个，当反比例函数y=(m<0)的图象经过点（1，－1），即m=xy=－1时，在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为3个，∵在第四项象限内围成的封闭图形（包括边界）内的整点的个数为2，∴m的取值范围为－2≤m<-1.【知识点】反比例函数二次函数整点3.（2022·新疆维吾尔、生产建设兵团，15，5）如图，已知抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1＝y2，记M＝y114\n＝y2．①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M＝2，则x＝1．上述结论正确的是（填写所有正确的结论序号）．【答案】②③．【解析】（1）根据规定并结合图形易知，x＞2时，M＝y1，故①错误；（2）易知当x＜2时，y1和y2都随x的增大而增大，从而当x＜0时，y1和y2都随x的增大而增大，故x＜0时，M随x的增大而增大，从而②正确；（3）∵y1＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即当x＝2，∴y1的最大值为4．∴使得M大于4的x的值不存在．于是，③正确；（4）由图可知，M＝2，对应的x的值有两个，故④错误．综上，答案为②③．【知识点】一次函数的图像与性质；二次函数的图像与性质；不等式；数形结合思想；新定义运算4.（2022湖北省孝感市，13，3分）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是．【答案】【解析】∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，∴的解为即方程的解是.14\n【知识点】抛物线与一次函数的交点问题；解一元二次方程.三、解答题1.（2022湖北鄂州，23，10分）新欣商场经营某种新型电子产品，购进时的价格为20元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售价格为40元/件时，销售量为200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）写出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）写出销售该产品所获利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并写出商场获得的最大利润；（3）若商场想获得不低于4000元的利润，同时要完成不少于320件的该产品销售任务，该商场应该如何确定销售价格．【思路分析】（1）销售件数＝原来的销售量＋；（2）由公式“利润＝销售量×单件利润”得出w与x之间的二次函数关系式，再将其化为顶点式即可求出商场获得的最大利润；（3）由题意得销售利润≥4000，销售量≥320，列不等式组计算即可．【解析】解：（1）；（2），∴当x＝35时，w有最大值，且w的最大值为4500元；（3）由题意得w≥4000，y≥320，即，由①得，，，30≤x≤40，解得由②得-20x≥-680，解得x≤34，∴30≤x≤34，故若商场想获得不低于4000元的利润，同时要完成不少于320件的该产品销售任务，该商场销售价格应该确定在30～34元之间．【知识点】一次函数关系式；二次函数关系式；顶点式；最值；不等式组2.（2022湖北黄冈，22题，8分）已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；（2）设直线l与该抛物线两交点为A,B，O为原点，当k=-2时，求△OAB的面积.14\n【思路分析】（1）根据一元二次方程和二次函数的关系可知，联立方程后，如果△＞0，则直线与抛物线总有两个交点；（2）先求出交点坐标，然后将△ABO分割成两个三角形，通过坐标求出两个三角形的底和高，利用三角形面积公式进行计算【解析】（1）联立两个函数，得x2-4x=kx+1，即x2-(4+k)x-1=0，其中△=(4+k)2+4>0，所以该一元二次方程由两个不相等的实数根，即直线l与抛物线总有两个交点；（2）连接AO、BO，联立两个函数，得x2-4x=-2x+1，解得，在一次函数y=-2x+1中，令x=0，得y=1，所以C(0,1)，OC=1，【知识点】一元二次方程和二次函数的关系，一元二次方程，三角形面积3.（2022江西，23，12分）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验(1)已知抛物线y＝－x2＋bx－3经过点(－1，0)，则b＝________，顶点坐标为________，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线表达式是________．14\n抽象感悟我们定义：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(2)已知抛物线y＝－x2－2x＋5关于点(0，m)的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决(3)已知抛物线y＝ax2＋2ax－b(a≠0)．①若抛物线y的衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2(b≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点(0，k＋12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k＋22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点(0，k＋n2)的衍生抛物线为yn，其顶点为An；…(n为正整数)．求AnAn＋1的长(用含n的式子表示)．(备用图)【思路分析】（1）把(－1，0)代入y＝－x2＋bx＝3即可求得b的值，再配方或利用顶点坐标公式求出求出顶点坐标，找出顶点关于(0，1)成中心对称的点的坐标，即可求得新抛物线解析式；（2）用配方法求出抛物线y＝－x2－2x＋5的顶点坐标，找出该顶点坐标关于(0，m)对称点的坐标，从而得到衍生抛物线的解析式，将“两条抛物线有交点”转化为求原抛物线的解析式与衍生抛物线的解析式组成的方程组有解，从而求得m取值范围.（3）分别求出抛物线y＝ax2＋2ax－b(a≠0)和衍生抛物线为y′＝bx2－2bx＋a2(b≠0)的顶点坐标（用含a、b的式子表示），再把原抛物线的顶点坐标代入衍生抛物线解析式，再把衍生抛物线的顶点坐标代入原抛物线解析式，从而组成方程组求得a、b的值，即求出两顶点坐标及衍生中心的坐标；根据规律求出顶点(－1，－a－b)关于(0，k＋n2)及[0，k＋(n＋1)2]的对称点An及An＋1，再根据两点之间的距离即可求得AnAn＋1。【解析】(1)－4；(－2，1)；y＝(x－2)2＋1；【解法提示】把(－1，0)代入y＝－x2＋bx＝3，得0＝－1－b－3，∴b＝－4；14\n∴抛物线解析式为y＝－x2－4x－3，∴利用顶点坐标公式(－，)求出顶点坐标为(－2，1)；点(－2，1)关于(0，1)成中心对称的点的坐标为(2，1)，∵中心对称是旋转180°，所以a互为相反数，∴新抛物线解析式为y＝(x－2)2＋1；(2)y＝－x2－2x＋5即y＝－(x＋1)2＋6，∴顶点为(－1，6)，(－1，6)关于(0，m)对称点为(1，2m－6)，∴衍生抛物线为：y＝(x－1)2＋2m－6，则－(x＋1)2＋6＝(x－1)2＋2m－6，化简得x2＝－m＋5，∵这两条抛物线有交点，∴－m＋5≥0，∴m≤5；(3)①y＝ax2＋2ax－b＝a(x＋1)2－a－b，顶点为(－1，－a－b)，y＝bx2－2bx＋a2＝b(x－1)2－b＋a2，顶点为(1，－b＋a2)，∵两交点恰好是顶点∴，解得，∴顶点分别为(－1，0)和(1，12)，∵(－1，0)(1，12)关于衍生中心对称，∴衍生中心为它们中点，∴＝0，＝6即(0，6)；14\n第23题解图②如解图，顶点(－1，－a－b)关于(0，k＋1)的对称点A1(1，2k＋2＋a＋b)；顶点(－1，－a－b)关于(0，k＋4)的对称点A2(1，2k＋8＋a＋b)；顶点(－1，－a－b)关于(0，k＋n2)的对称点An(1，2k＋2n2＋a＋b)；顶点(－1，－a－b)关于[0，k＋(n＋1)2]的对称点An＋1(1，2k＋2(n＋1)2＋a＋b)；∴AnAn＋1＝2(n＋1)2－2n2＝4n＋2.【知识点】二次函数的图象关于某点的中心对称，二次函数表达式的确定，二次函数的图象的交点坐标，一元二方程根的判别式，线段的长度.4.（2022湖北荆门，24，12分）如图，抛物线与轴交于原点及点，且经过点，对称轴为直线.（1）求抛物线的解析式；（2）设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，当时，求的值；（3）连接，点为轴下方抛物线上一动点，过点作的平行线交直线于点，当时，求出点的坐标.（坐标平面内两点,之间的距离）14\n【思路分析】（1）根据待定系数法即可直接求出解析式；（2）首先联立直线和抛物线，得出关于x的一元二次方程，然后根据根与系数的关系得出和的值，代入计算即可；（3）首先求出直线AB和直线PQ的方程，进而得出Q的坐标，然后根据和OB的长得出PQ的长，再利用两点之间的距离公式列式求解即可.【解题过程】解：（1）由题意得：，解得，∴.（2）由，得，∴，.∵，14\n∴，∴，∴，解得k=1.（2）设直线OB的方程为y=mx，且经过点B(4,8)∴8=4m，解得m=2，y=2x.设P(t，t2+t)，∵PQ∥OB，设直线PQ的解析式为y=2x+n，∴，设直线AB的解析式为，A(-4，0)，B(4，8)∴，解得，∴y=x+4.联立，解得，∴Q（4-n，8-n）.∵PQ∥OB，S△POQ:S△BOQ=1:2，∴PQ:OB=1:2而OB=,∴PQ=2，，解得t2=8或24，14\n又∵-4＜t＜0，∴t=-2，P（-2，2-2）.【知识点】待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的根与系数的关系，勾股定理，三角形的面积计算公式，两点间的距离公式5.（2022·北京，26，6）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2＋bx－3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【思路分析】（1）先求出直线y＝4x＋4与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再利用点的平移规律，求出点C的坐标；（2）将A点坐标代入抛物线的解析式，得b＝－2a，再利用抛物线的对称轴公式或用配方法求出抛物线的对称轴；（3）根据（1）、（2）可知抛物线过点(－1，0)和(3，0)，再三种情况即开口向上或下及抛物线的顶点在线段BC上，将特殊点的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，最后利用数形结合思想得到符合条件的a的取值范围．【解题过程】解：（1）∵直线y＝4x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A(－1，0)，B(0，4)．∵将点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C(0＋5，4)，即C(5，4)．（2）∵抛物线y＝ax2＋bx－3a经过点A，∴a－b－3a＝0．∴b＝－2a．∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝－＝1，即x＝1．（3）①若a＞0，易知抛物线过点(－1，0)，(3，0)，故令其解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，将点(5，4)代入，得4＝a•(5＋1)(5－3)，解得a＝．故抛物线与线段BC恰有一个公共点，可知a的取值范围是a≥．如下图所示．14\n②若a＜0，如下图，当x＝0，y＝－3a，即抛物线与y轴交于(0，－3a)要使该抛物线与线段BC只有一个公共点，就必须－3a＞4，此时a＜－．③若抛物线的顶点在线段BC上时，此时顶点坐标为(1，4)，从而解析式为y＝a(x－1)2＋4，将A点坐标代入，解得a＝－1，如下图所示：综上，a的取值范围是a≥或a＜－或a＝－1．【知识点】一次函数；二次函数；点的坐标平移；二次函数的图象与线段的交点；分类思想14
