函数初步一、选择题1.（2022四川内江，5，3）已知函数y＝，则自变量x的取值范围是（）A．－1＜x＜1B．x≥－1且x≠1C．x≥－1D．x≠1【答案】B【解析】解：根据题意得：，解得，所以自变量x的取值范围是x≥－1且x≠1．故选择B．【知识点】分式性质；解不等式组2.（2022四川内江，10，3）在物理实验课上，老师用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直到铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）【答案】C【解题过程】解：物体完全在水中时，排开水的体积不变故此物体完全在水中时，浮力不变，读数y不变，当物体逐渐浮出水面的过程中排开水的体积逐渐变小，浮力逐渐减小，重力变大，读数y变大，当物体保持一定高度不变，排开水的体积不变，故此浮力、重力不变，此时读数y不变．故此选择C．【知识点】一次函数图象3.（2022四川绵阳，7，3分）在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为A.（4，-3）B.（-4，3）C.（-3，4）D.（-3，-4）【答案】B.【解析】解：如图：∴点B的坐标为（-4，3）．故选B．【知识点】图形的旋转4.（2022浙江金华丽水，10，3分）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y(元)与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（）．16\nA．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱O120y(元)655030x(h)255055A方式B方式C方式第10题图【答案】D．【解析】图中x轴表示上网时间x（h），y轴表示所需的费用y(元)．由图象得，A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱，该选项正确；B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多，该选项正确；C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱，该选项正确；D．每月上网时间超过55h时，选择C方式最省钱,该选项有误；故选D．【知识点】函数图象5.（2022浙江金华丽水，7，3分）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（）．A．（5，30）B．（8，10）C．（9，10）D．（10，10）yPx单位：mm4030101650O第7题图【答案】C．【解析】由图示得，点P的横坐标是9，纵坐标是10，故选C．【知识点】平面直角坐标系中点的坐标；6.（2022湖南岳阳，3，3分）函数中自变量的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】解：根据题意可得x-3≥0，解答x≥3，故选C.16\n【知识点】函数的自变量的取值范围7.（2022江苏无锡，2，3分）函数中自变量x的取值范围是（）A.x≠-4B.x≠4C.x≤-4D.x≤4【答案】B【解析】∵4-x≠0，∴x≠4.【知识点】函数解析式中自变量取值范围的确定8.（2022山东潍坊，10，3分）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系.如图，在平面上取定一点O为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径.点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，－300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（）A．Q（3，240°）B．Q（3，－120°）C．Q（3，600°）D．Q（3，－500°）【答案】D【思路分析】作出点P关于点O成中心对称的点Q，分别求出顺时针和逆时针旋转的角度即可表示Q点坐标.【解题过程】延长PO到点Q，使OQ＝OP，则Q点即为所求，此时OQ=OP=3，顺时针旋转角度为60°+180°=240°，从而逆时针方向旋转角度为360°－240°=120°，从而选项A、B正确，再顺时针旋转一周为240°+360°=600°，故选项C正确，逆时针旋转一周为120°+360°=480°，故Q（3，－480）而不可能为（3，－500°），故选择D.【知识点】图形与坐标，极坐标，初高中衔接9.（2022年山东省枣庄市，6，3分）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于轴对称点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点的坐标为，关于轴对称点应为横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以的坐标为，故选B.【知识点】利用图形变化确定点的坐标10.（2022四川省成都市，4，3）在平面直角坐标系中，点P（－3，－5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，－5）B．（－3，5）C．（3，5）D．（－3，－5）【答案】C【解析】解：因为关于原点对称的点的坐标特点是横纵坐标均为互为相反数，即P（x，y）关于原点对称的点P’（－x，－y），所以P（－3，－5）关于原点对称的点坐标为（3，5），故选择C．【知识点】中心对称；关于原点对称的点的坐标11.（2022四川省达州市，7，3分）16\n如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没在水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）．第7题图【答案】D.【解析】在铁块未露出水面前，弹簧读数不变（等于铁块的重力减去所受的浮力），当铁块开始露出水面后，随着排开水的体积减小，浮力减小，则弹簧读数将不断增大，直至铁块完全露出水面后，弹簧的读数将等于铁块的重力，之后将保持不变．故选D.【知识点】变量的表示方法--图象法12.（2022四川广安，题号6，分值：3）已知点P（1-a，2a+6）在第四象限，则a的取值范围是（）A.a＜-3B.-3＜a＜1C.a＞-3D.a＞1【答案】A.【解析】由第四象限的符号特征为（+，-），得1-a＞0，2a+6＜0，解得a＜-3.【知识点】象限内的符号特征，不等式13.（2022四川广安，题号10，分值3）已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M运动的时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图像大致如图所示，则该封闭图形可能是（）第10题图【答案】A.【思路分析】逐各分析各选项的运动过程，再与图像相比较得出答案.【解题过程】A.等边三角形，点M在开始与结束的两边上是直线变化，点M在对边时，MP先减小再增大.16\n在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，y=(32a)2+(32a-x)2，a＜x＜2a，符合题干图形.B.点M在开始与结束的两边上是直线变化，在中间两边，MP的长先减小再增加，又减小再增加，与图像反映的运动不一致；C.点M在开始和结束的两边上是直线运动，但是不对称，所以与图像运动不一致；D.点M在圆上运动，MP的长度，先增加至直径，后减小至0，与图像不一致.【知识点】函数图像14.（2022湖南长沙，10题，3分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，下图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x的对应关系，根据图像，下列说法正确的是（）A.小明吃早餐用了25minB.小明读报用了30minC.食堂到图书馆的距离为0.8kmD.小明从图书馆回家的速度为0.8km/min【答案】B【解析】图中横轴表示小明离家的时间，纵轴表示离家的距离，由图可知：A.吃早餐用的时间为（25-8）min，即17min，故A错误；B.读报用了(58-28)min,即30min，故B正确;C.食堂到图书馆的距离应为(0.8-0.6)km,即0.2km，故C错误;D.从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08km/min，故D错误。【知识点】一次函数的应用15.（2022山东省济宁市，6，3）如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点C的坐标为（-1，0），AC=2.将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标是()A.(2，2)B.(1，2)C.(-1，2)D.(2，-1)【答案】A【解析】将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则图形中的点A也先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，因此，点A也先绕点C顺时针旋转90°后对应点的坐标为(-1，2)，再向右平移3个单位长度后对应点的坐标为(2，2)，因此，本题应该选A.【知识点】旋转平移16.(2022山东青岛中考，7，3分)如图，将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，其中点16\n的对应点分别是点，则点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，连接AP，作A′P⊥AP于P，并使得A′P=AP，则A′为求作的点，由图形看出点A′的坐标为(5，－1)．故选D．【知识点】旋转作图；点的坐标；17.（2022浙江温州，7，4）如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（-1,0），（0，）.现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB’，则点B的对应点B’的坐标是（）A.（1,0）B.（，）C.（1，）D.（-1，）【答案】C16\n【解析】本题考查了平移的性质和在平面直角坐标系的点的坐标的表示法。因为平移的对应点的连线平行且相等对应边平行且相等，所以BO=B’C=,CO=AO=1所以点B’的坐标为（1，）故选C【知识点】平移的性质和平面直角坐标系的点的坐标的表示法1.（2022湖北黄冈，3题，3分）函数中自变量x的取值范围是A.x≥-1且x≠1B.x≥-1C.x≠1D.-1≤x＜1【答案】A【解析】分子是二次根式,可知x+1≥0,得x≥-1;由分式的分母不为零可得,x-1≠0,即x≠1,自变量x的取值范围是x≥-1且x≠1,故选A【知识点】二次根式的定义,分式的定义2.（2022内蒙古呼和浩特，2，3分）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼的长短时长密切相关，当春分、秋分时，昼夜时大大致相等；当夏至时，白昼时长最长，根据下图，在下列选项中指出白昼时长低于11小时的节气（）A.惊蛰B.小满C.立秋D.大寒【答案】D【解析】从图形可以看出，白昼时长低于11小时的节气有立春、小寒、大寒，故选D.【知识点】函数图象的意义3.（2022甘肃天水，T10，F4）某学校组织团员举行“伏羲文化旅游节”宣传活动，从学校骑自行车出发。先上坡到达甲地后，宣传了8个分钟，然后下坡到达乙地又宣传了8分钟返回，行程情况如图所示.若返回时，上，下坡速度不变，在甲地仍要宣传8分钟，那么他们从乙地返回学校所用的时间是（）A．33分钟B.46分钟C.48分钟D.45.2分钟【答案】D.【思路分析】首先求出从学校到甲地的上坡速度，再根据总时间-上坡时间-宣传时间可求出下坡用时，进而求出下坡的速度.然后根据返回时上，下坡的速度相同，并根据上坡时间+下坡时间+宣传时间得出答案即可.【解析】从学校到甲地需要18分钟，行驶了3600米，可知上坡的速度为3600÷18=200（米/分）.在甲地宣传了8分钟，在乙地宣传了8分钟，共用时46分钟，可知从甲地到乙地需要46-16\n18-8-8=12（分钟）.从甲地到乙地行驶了96-36=6000（米），则下坡的速度为6000÷12=500（米/分）.返回时，上坡6000米，下坡3600米，所以返回用时6000÷200+3600÷500+8=45.2（分）.【知识点】函数图像4.（2022广东广州，10，3分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2……，第n次移动到An，则△OA2A2022的面积是（）A．504m2B．m2C．m2D．1009m2【答案】A【思路分析】观察图形变化规律，发现每4个点为一个循环，只要发现A2022所在的组及对应位置，表示出该点的坐标即可．【解析】因为2022÷4＝540…2，可以得到A2022(1009，1)，因此A2A2022＝504×2＝1008，所以△OA2A2022的面积＝×1×1008＝504．故答案为A．【知识点】点的坐标；规律探索5.（2022湖北宜昌，11，3分）如图，在平面直角坐标系中，把绕原点旋转180°得到.点的坐标分别为,，则点的坐标为()(第11题图)A．B．C.D．【答案】A【解析】在平面直角坐标系中，把绕原点旋转180°得到.点B与点D关于原点对称，故选择A.【知识点】中心对称图形，旋转，平面直角坐标系，点的坐标.6.（2022湖南省湘潭市，4，3分）如图，点A的坐标（-1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为（ ）A．（1，2）B．（-1，-2）C．（1，-2）D．（2，-1）16\n【答案】A【解析】关于y轴对称的点的坐标特点是：横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此点A（-1,2）关于y轴对称的点的坐标为（1,2），故选择A.【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特点7.（2022四川雅安，3题，3分）在平面直角坐标系中，点P(-2,3)关于y轴的对称点P’的坐标是A.（2,3）B.（-2，-3）C.(3,-2)D.(-3,-2)【答案】A【解析】在平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，因为P(-2,3)，所以P’(2,3)，故选A【知识点】平面直角坐标系8.（2022湖北荆门，3，3分）在函数中，自变量的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】解：根据题意可得-1≥0且1-≠0，解答＞1.故选B.【知识点】函数的自变量的取值范围9.（2022武汉市，6，3分）点A(2，－5)关于x轴对称的点的坐标是（）A．(2，5)B．(－2，5)C．(－2，－5)D．(－5，2)【答案】A【解析】∵点()关于轴的对称点是()，∴点A(2，－5)关于x轴对称的点的坐标是（2，5）.故选A.【知识点】两点关于轴对称的坐标的关系10.（2022湖南省永州市，3，4）函数中自变量x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．因此，由题意得，x-3≠0，解得x≠3．因此，本题选C．16\n【知识点】函数自变量的取值范围11.（2022四川攀枝花，7，3）若点A(a+1，b-2)在第二象限，则点B(-a,1-b)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】因为点在第二象限，所以，从而，点在第四象限，故选D.【知识点】平面直角坐标系点的符号特征，不等式的应用12.（2022浙江省台州市，9，3分）甲、乙两运动员在长为的直道（，为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从点起跑，到达点后，立即转身跑向点，到达点后，又立即转身跑向点……若甲跑步的速度为，乙跑步的速度为，则起跑后内，两人相遇的次数为（）A．5B．4C．3D．2【答案】B【思路分析】在同一平面直角坐标系中画出甲、乙两运动员分别以5m/s和4m/s的跑步速度在起跑后100s内的函数图象即可.【解题过程】如图所示，由图象可知甲、乙两运动员相遇的次数为4次，故选B.【知识点】函数图象13.（2022·北京，8，2）上图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论：①当表示北京天安门的点的坐标为(0，0)，表示广安门的点的坐标为(－6，－3)，表示左安门的点的坐标为(5，－6)；②当表示北京天安门的点的坐标为(0，0)，表示广安门的点的坐标为(－12，－5)，表示左安门的点的坐标为(10，－12)；③当表示北京天安门的点的坐标为(1，1)，表示广安门的点的坐标为(－11，－5)，表示左安门的点的坐标为(11，－11)；16\n④当表示北京天安门的点的坐标为(1.5，1.5)，表示广安门的点的坐标为(－16.5，－7.5)，表示左安门的点的坐标为(16.5，－16.5)．上述结论中，所有正确的结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②③④第7题图第8题图【答案】D．【解析】从图上可知①表示的点的位置正确，从而在①的基础上，将①中的坐标扩大到原来的2倍，进而得到②表示点的位置正确；在②的基础上，先由天安门位置来确定原点位置，再看广安门与左安门的位置的表示，发现③④均正确，故选D．【知识点】平面直角坐标系14.（2022·北京，16，2）2022年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第__________．16\n【答案】3．【解析】从第一张表上可知我国创新产出排名位于全球第11位，再从第二张表中找到我国的位置，可看出我国创新效率排名全球第3，故答案为3．【知识点】平面直角坐标系；点的坐标的应用．15.（2022江苏省宿迁市，4，3）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0B．x＜1C．x＞1D．x≠1【答案】D【解析】反比例函数的自变量取值范围是分母不为0，∴x－1≠0．∴x≠1．故选D．【知识点】反比例函数的概念16.（2022山东省泰安市，11，3）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到，若上一点平移后对应点为，点绕原点顺时针旋转，对应点为，则点的坐标为（）A．B．C．D．16\n【答案】A【解析】解法不唯一，首先根据经过平移后得到的找到坐标的平移规律，根据规律确定的坐标，再根据旋转的坐标变化规律确定的坐标。解：由图象可知：点C的为（3,5），点的坐标为（-1，0），∴经过平移后得到的规律是：横坐标减4，纵坐标减5，∴平移后点的坐标是（-2.8，-3.6），∴点绕原点顺时针旋转后点的坐标是，故选A.【知识点】图形平移的特征；图形旋转的特征.二、填空题1.（2022四川绵阳，14，3分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为【答案】（-2，-2）【解析】解：∵“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），∴原点的位置如图所示，∴“卒”的坐标为（-2，-2）.16\n故答案为（-2，-2）.【知识点】坐标确定位置2.（2022浙江衢州，第14题，4分）星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家，他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是________千米。[第14题图【答案】1.5【解析】本题考查了一次函数图像的应用，，解题的关键是正确理解函数图像中的数据含义.根据函数图像，可判断8：45从家中走了45分钟，即到图书馆后又往家返5分钟，故距离1.5千米。2-2×=1.5（千米）【知识点】一次函数图像的应用3.（2022浙江衢州，第16题，4分）定义；在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换。如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．第16题图16\n若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……△An-1Bn-1Cn-1经γ（n，180°）变换后得△AnBnC，则点A1的坐标是________，点A2022的坐标是________。【答案】（）（）【解析】题考查了新概念理解、阅读理解问题、等边三角形性质、规律型点的坐标．、坐标与图形变化﹣旋转等知识内容，解决该题型题目时，写出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．首先计算A1的坐标为（），则A2为（），以此计算则有A2022横坐标为-2×2022=，故答案为：（）（）（）【知识点】新概念理解、阅读理解问题、等边三角形性质、规律型点的坐标．、坐标与图形变化﹣旋转4.（2022四川省达州市，14，3分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（－6，0），C（0，2）.将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为___________．第14题图【答案】（－2，6）.【解析】如图，∵矩形OABC的顶点A（－6，0），C（0，2）.∴OA＝6，AB＝OC＝2.∵tan∠AOB＝,∴∠AOB＝30°，在Rt△DOC1中，∵∠DOC1＝30°，OC1＝2，16\n∴OD＝4，DC1＝2．∵B1C1＝6，∴B1D＝4，在Rt△DEB1中，∵∠DB1E＝30°，∴DE＝2，B1E＝2．∴B1（－2，6）.故答案为：（－2，6）.【知识点】平面直角坐标系；锐角三角函数；旋转的性质5.（2022湖南长沙，15题，3分）在平面直角坐标系中，将点A’(-2,3)向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A’的坐标是________。【答案】（1，1）【解析】由平移性质，向右平移，则横坐标增加，即-2+3=1，向下平移，则纵坐标减小，即3-2=1，故A’（1，1）【知识点】平移与坐标变化1.（2022·新疆维吾尔、生产建设兵团，10，5）点(－1，2)所在的象限是第象限．【答案】二．【解析】易知横坐标为负数且纵坐标为正数的点在第二象限内，故点(－1，2)在第二象限，因此答案为“二”．【知识点】平面直角坐标系；点的象限2.（2022贵州安顺，T11，F4）函数中自变量x的取值范围是_______.【答案】x＞-1【解析】由分式定义可知，≠0，由二次根式的定义可知，x+1≥0，解得x＞-1.【知识点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件.3.（2022江苏省宿迁市，14，3）在平面直角坐标系中，将点（3，－2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是．【答案】（5，1）【解析】向右平移2个单位长度，横坐标加2，向上平移3个单位长度，纵坐标加3．所以平移后的坐标为（3＋2，－2＋3）即（5，1）．故填（5，1）．【知识点】坐标的平移16
