2022年中考数学模拟试题汇编 函数与圆的综合

2022年中考数学模拟试题汇编函数与圆的综合1.已知⊙过点(3，4）,点与点关于轴对称，过作⊙的切线交轴于点。（1）求直线HA的函数解析式；（2）求的值；（3）如图，设⊙与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点(与点不重合），连接并延长、交⊙于点、，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由。解:⑴H（3，-4）A直线AH：(2)解：（3）过点作于，并延长交⊙O于，连接，交于。∵为等腰三角形，，∴平分∴弧BN=弧CN，∴，∴∴=即当、两点在上运动时(与点不重合），的值不变。2.如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．OxyNCDEFBMAPOxyNCDEFBMA10\n解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，点的坐标分别为抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，．点在抛物线上，将的坐标代入，得：解之，得：抛物线的解析式为：．（2）抛物线的对称轴为，．连结，，，又，，．（3）点在抛物线上．设过点的直线为：，将点的坐标代入，得：，直线为：．过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，将代入，得：．点的坐标为，当时，，所以，点在抛物线上．3.如图，已知射线DE与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为秒．10\n（1）请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；OxyEPDABMC（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．①当与射线DE有公共点时，求的取值范围；②当为等腰三角形时，求的值．解：（1），．（2）①当的圆心由点向左运动，使点到点并随继续向左运动时，有，即．当点在点左侧时，过点作射线，垂足为，则由，得，则．解得．OxyEPCDBQAMF由，即，解得．当与射线有公共点时，的取值范围为．②当时，过作轴，垂足为，有．，即．解得．当时，有，．解得．当时，有．，即．解得（不合题意，舍去）．10\n当是等腰三角形时，，或，或，或．4.如图11，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60º．（1）求⊙O的直径；（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为，连结EF，当为何值时，△BEF为直角三角形．图10（3）ABCOEFABCOD图10（1）ABOEFC图10（2）解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知）∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角）∵∠ABC＝60º（已知）∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝30º（三角形的内角和等于180º）∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半）即⊙O的直径为4cm．（2）如图10（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径）∴∠OCD＝90º（垂直的定义）∵∠BAC＝30º（已求）∴∠COD＝2∠BAC＝60º∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝30º∴OD＝2OC＝4cm∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切．（3）根据题意得：BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；如图10（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC∴BE：BA＝BF：BC即：（4－2t）：4＝t：2解得：t＝1如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA∴BE：BC＝BF：BA即：（4－2t）：2＝t：4解得：t＝1.6∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．5.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？OAPDBQC(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切？ABOCDPQ10\n（1）解：∵直角梯形OAPDBQCHE当时，四边形为平行四边形．由题意可知：当时，四边形为平行四边形。（2）解：设与相切于点过点作垂足为直角梯形由题意可知：为的直径，为的切线在中，，即：，，，因为在边运动的时间为秒而，（舍去），当秒时，与相切．6.如图11，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．（1）求与轴的另一个交点D的坐标；（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值．10\n解（1）易求得点的坐标为由题设可知是方程即的两根，所以，所如图3，∵⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，∴△AOC∽△DOC，则由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D的坐标为（0，1）（2）因为AB⊥CD，AB又恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即又，所以解得7.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，8为半径的圆与轴交于两点，过作直线与轴负方向相交成60°的角，且交轴于点，以点为圆心的圆与轴相切于点．（1）求直线的解析式；（2）将以每秒1个单位的速度沿轴向左平移，当第一次与外切时，求平移的时间．10\nOyxCDBAD1O1O2O3P60°（第22题答图）lOyxCDBAO1O260°（第22题）l（1）解：由题意得，点坐标为．在中，，点的坐标为．设直线的解析式为，由过两点，得解得直线的解析式为：．（2）如图，设平移秒后到处与第一次外切于点，与轴相切于点，连接．则轴，，在中，．6分，，（秒）平移的时间为5秒．yxOCDBA128.在平面直角坐标系中，已知，，且以为直径的圆交轴的正半轴于点，过点作圆的切线交轴于点．（1）求过三点的抛物线的解析式（2）求点的坐标（3）设平行于轴的直线交抛物线于两点，问：是否存在以线段为直径的圆，恰好与轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由？10\n解：（1）令二次函数，则过三点的抛物线的解析式为（2）以为直径的圆圆心坐标为为圆切线坐标为（3）存在。抛物线对称轴为设满足条件的圆的半径为，则的坐标为或而点在抛物线上故在以为直径的圆，恰好与轴相切，该圆的半径为，9.抛物线与直线y=x+1交于A、C两点，与y轴交于B，AB∥x轴，且（1）求抛物线的解析式。10\n（2）P为x轴负半轴上一点，以AP、AC为边作平行四边形ACQP，是否存在P，使得Q点恰好在此抛物线上？若存在，请求出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。（3）AD⊥X轴于D，以OD为直径作⊙M，N为⊙M上一动点，（不与O、D重合），过N作AN的垂线交x轴于R点，DN交Y轴于点S，当N点运动时，线段OR、OS是否存在确定的数量关系？写出证明。（1）(2)联立得A（-2，-1）C（1，2）设P（a,0），则Q（a+3,3）∴∴,∴p或Q或（3）∵△AND～△RON，∴∵△ONS～△DNO，∴∴10.如图，⊙O的半径为，正三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），顶点A在⊙O上运动．（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与⊙O相切的位置关系，若存在，请求出点C的坐标；（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；10\n（1）解：（1）当点A的坐标为（，0）时，点C的坐标为（）；当点A的坐标为（-，0）时，点C的坐标为（）；（2），连接OA,当A点在x轴上方时，∵直线AB与⊙O相切,∴OA⊥AB，∴∠OMB=90°，OB=2，OA=∴sin∠OBA=,∴∠OBA=60°，∴∠CBx=60°，∴点C的坐标当A点在x轴下方时，∵∠OBA=60°，∴C点在x轴上，∴点C的坐标为（）（3）过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中，AE2=OA2-OE2=3-x2，在Rt△BAE中，AB2=AE2+BE2=（3-x2）+（2-x）2=7-4x∴S===其中≤x≤，当x=时，S的最大值为，当x=时，S的最小值为．10