2022年中考数学模拟试题汇编反比例函数(三)7．已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－的图象上．（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限．通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝__________，若点P的坐标为（m，0），则b＝__________（用含m的代数式表示）；（3）继续探究：①若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个？xyO备用图②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况．xyPOQMNxyPOQMNQ1M1N1H解：（1）过M1作M1H⊥PQ1于H，设Q1（x，0），显然点Q1在x轴的负半轴上，点M1在第二象限∵P（1，0），∴M1Q1＝PQ1＝1－x∵∠PQM1＝60°，∴Q1H＝(1－x)，M1H＝(1－x)∴OH＝－x－(1－x)＝－(1＋x)∴M1（(1＋x)，(1－x)）xyPOQ3M3N3(Q1)M1N1Q6M6N6∵点M1在反比例函数y＝－的图象上∴(1＋x)·(1－x)＝－2，解得：x＝3（舍去）或x＝－3∴M1（－1，2）（2）k＝－，b＝m提示：连接PM1、PM，则∠M1PQ1＝∠OPN＝∠MPN＝60°∴∠M1PM＝180°，即M1、P、M三点共线且∠M1MN＝60°5\n可得直线MM1的解析式为y＝－x＋b，∴k＝－若点P的坐标为（m，0），则直线MM1的解析式为y＝－x＋m∴b＝m（3）①若符合条件的菱形有三个，则其中必有一个菱形的一条边PN或对角线PM所在直线与双曲线只有一个交点由∠QPM＝60°或∠PNM＝60°，P（m，0），得直线PM或直线PN的解析式为y＝x－mxyPOQ5M5N5(Q4)N2Q2M2M4N4令y＝x－m＝－，得x2－mx＋2＝0△＝m2－8＝0，得m＝±2∴当－2＜m＜2时，△＜0，满足条件的菱形有两个当m＝±2时，△＝0，满足条件的菱形有三个当m＞2或m＜－2时，△＞0，满足条件的菱形有四个②由①知，当符合条件的菱形刚好有三个时，m＝±2当m＝2时，点P的坐标为（2，0）把m＝2代入x2－mx＋2＝0，得x2－2x＋2＝0解得x＝，∴M1（，－）设Q（x，0），由（1）知，(2＋x)·(2－x)＝－2解得：x＝4或x＝－4∴M2（2－，－2－），M3（－2＋，2＋）当m＝－2时，由对称性可得：M4（－，），M5（－2－，2－），M6（2＋，－2＋）8．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y＝x对称，反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A，点P是直线y＝x上一动点．（1）填空：B点的坐标为（______，______）；（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE＋QF＋QB的值最小时，求出Q点坐标．BxOyABxOyA备用图BxOyAPC图1解：（1）（3，1）（2）∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A（1，3）∴k＝1×3＝35\n∴反比例函数的解析式为y＝∵点P在直线y＝x上，∴设P（m，m）①若PC为平行四边形的边∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2∴若点C在点P下方，则点C的坐标为（m＋2，m－2），如图1若点C在点P上方，则点C的坐标为（m－2，m＋2），如图2BxOyAPC图2把C（m＋2，m－2）代入反比例函数的解析式，得：m－2＝，解得m＝±∵m＞0，∴m＝∴C1（＋2，－2）同理可得另一点C2（－2，＋2）②若PC为平行四边形的对角线，如图3∵A、B关于直线y＝x对称，∴OP⊥AB此时点C在直线y＝x上，且为直线y＝x与双曲线y＝的交点BxOyAPC图3由解得（舍去）∴C3（，）综上所述，满足条件的点C有三个，坐标分别为：C1（＋2，－2），C2（－2，＋2），C3（，）（3）连接AQ，设AB与OP的交点为D，如图4∵四边形AOBP是菱形，∴AO＝AP∵S△AOP＝S△AOQ＋S△APQBxOyAP图4QDEF∴OP·AD＝AO·QE＋AP·QF∴QE＋QF＝为定值∴要使QE＋QF＋QB的值最小，只需QB的值当QB⊥OP时，QB最小，所以D点即为所求的点∵A（1，3），B（3，1），∴D（2，2）∴当QE＋QF＋QB的值最小时，Q点坐标为（2，2）9．已知点P（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A、B，点C是直线y＝2x上的一点．（1）请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；（2）在点P运动过程中，连接AB，△PAB的面积是否变化，若不变，请求出△PAB5\n的面积；若改变，请说明理由；BxOyAPCy＝y＝y＝2x（3）在点P运动过程中，以点P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．ABPOxQy图1解：（1）P（m，），A（，），B（m，）（2）∵PA＝m－＝，PB＝－＝∴S△PAB＝PA·PB＝××＝∴△PAB的面积不变（3）①若AP是平行四边形的边，如图1、图2则AP∥BQ且AP＝BQ得Q（，）或Q（，）∵点Q在直线y＝2x上ABPOxQy图3ABPOxQy图2∴＝2×或＝2×解得m＝或m＝1（舍去负值）∴P（，2）或P（1，6）②若AP是平行四边形的对角线，如图3则QA∥PB且QA＝PB得Q（，＋）∵点Q在直线y＝2x上∴＋＝2×，解得m＝3（舍去负值）∴P（3，2）∴D（2，－6）或D（－3，4）易知M为BD的中点由B（1，0），D（2，－6），得M（，－3）由B（1，0），D（－3，4），得M（－1，2）5\nCByxy＝2x－2ADEMOCByxy＝2x－2ADEMO∴点M的坐标为（，－3）或（－1，2）CByxy＝2x－2APPOH（3）假设存在点P，使以PB为直径的圆恰好过点C则∠PCB＝90°设P（x，－），过P作PH⊥y轴于H，易证△CHP∽△BOC得＝（或＝）解得x1＝－2＋2，x2＝－2－2∴P1（－2＋2，－1－），P2（－2－2，－1＋）5
