开放与探索开放探索型问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐．中考题型以填空题、解答题为主．考向一 条件开放问题条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件，所需补充的条件不能由结论直接推出，而满足结论的条件往往也是不唯一的．【例1】如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件：使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是__________．解析：要证明△ABP≌△CDP，已经给出了两个条件：AP＝CP，AC⊥BD(即∠APB＝∠CPD＝90°)，根据证明两个三角形全等的判断方法，可以添加一个条件角或者边．答案：∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，BP＝DP，AB＝CD.(任选其中一个)方法归纳解决此类题的方法是：从所给的结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，运用所学的定理，进行逻辑推理，从而找出满足结论的条件．考向二 结论开放问题结论开放探索问题是给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，符合条件的结论往往呈现多样性．【例2】(2022广东河源)如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点(P不与A，B重合)，分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD.(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝__________.(直接写结果)(2)连接AD，BC，相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由．(3)如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°)，此时α的大小是否发生变化？(只需直接写出你的猜想，不必证明)图1 图29\n分析：(1)设等边△APC边长为x，高为x，则面积为x2，则等边△BDP边长为2a－x，高为(2a－x)，则面积为(2a－x)2，面积之和为S＝x2＋(2a－x)2＝x2－ax＋a2，这是一个二次函数的最值问题．当x＝a时，S最小＝a2.(2)判别α的大小是否会随点P的移动而变化，只需计算∠AQC.(3)根据(2)证明过程或直观可得结论．解：(1)a(2)α的大小不会随点P的移动而变化．理由：∵△APC是等边三角形，∴PA＝PC，∠APC＝60°.∵△BDP是等边三角形，∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD＝∠PCB.∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，∴∠AQC＝180°－120°＝60°.(3)此时α的大小不会发生改变，始终等于60°.方法归纳解答本题将等边三角形的面积用二次函数表示是解答本题的难点．解答结论开放性问题常常需要借助直观或特殊化方法探求．考向三 条件与结论开放问题条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系．【例3】(1)如图1，在正方形ABCD中，M是BC边(不含端点B，C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证：AM＝MN.下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME.正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC.∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE.(下面请你完成余下的证明过程)图1图2(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2)，N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由．(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN9\n＝__________时，结论AM＝MN仍然成立．(直接写出答案，不需要证明)分析：证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全等．(1)中给出了线段EM，即想提示考生证明△AEM≌△MCN.由题目中的条件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB上构造出线段AE＝MC，连接ME.进一步证明△AEM≌△MCN.(3)是将(1)(2)中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：∠AMN与正多边形的内角度数相等．解：(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM，∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝135°.∵CN平分∠DCP，∴∠PCN＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135°.在△AEM和△MCN中，∵∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.(2)仍然成立．在边AB上截取AE＝MC，连接ME.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝120°.∵AE＝MC，∴BE＝BM，∴∠BEM＝∠EMB＝60°，∴∠AEM＝120°.∵CN平分∠ACP，∴∠PCN＝60°，∴∠AEM＝∠MCN＝120°.∵∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM，∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.(3).方法归纳解答本题的关键是结合已给出的材料借助类比思想进行．一般地，解答条件、结论开放探索问题，即条件和结论都不确定，首先要认定条件和结论，然后组成一个新的命题并加以证明或判断．一、选择题1．如图，在网格中有一个直角三角形(网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度)，若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有( )9\nA．4个B．6个C．7个D．9个2．根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象(如图2)，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ.则以下结论①x＜0时，y＝，②△OPQ的面积为定值，③x＞0时，y随x的增大而增大，④MQ＝2PM，⑤∠POQ可以等于90°.图1图2其中正确的结论是( )A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤二、填空题3．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是__________．(写出一种即可)4．若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为__________．(任意给出一个符合条件的值即可)三、解答题5．如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A(如图1)的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α(0°＜α＜120°)，旋转后AC，AB分别与⊙O交于点E，F，连接EF(如图2)．已知∠BAC＝60°，∠C＝90°，AC＝8，⊙O的直径为8.9\n图1图2备用图(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长；②的长；③∠AFE的度数；④点O到EF的距离．其中不变的量是__________(填序号)．(2)当BC与⊙O相切时，请直接写出α的值，并求此时△AEF的面积．6．如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G，H点，如图2.(1)问：始终与△AGC相似的三角形有__________及__________；(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图2情形说明理由)；(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？图1图27．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE.(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；(3)在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．8．已知：二次函数y＝x2＋bx－3的图象经过点P(－2,5)．(1)求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围．(2)设点P1(m，y1)，P2(m＋1，y2)，P3(m＋2，y3)在这个二次函数的图象上．①当m＝4时，y1，y2，y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由．②当m取不小于5的任意实数时，y1，y2，y39\n一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．9．如图1，已知抛物线的顶点为A(0,1)，矩形CDEF的顶点C，F在抛物线上，D，E在x轴上，CF交y轴于点B(0,2)且其面积为8.(1)求此抛物线的解析式．(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S，R.①求证：PB＝PS；②判断△SBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P，S，M为顶点的三角形和以点Q，R，M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．图1图2参考答案专题提升演练1．C 以较短的直角边为公共边可以画三个符合要求的三角形，以较长的直角边为公共边也可以画三个符合要求的三角形，以斜边为公共边也可以画一个符合要求的三角形，这样可以画七个符合要求的三角形，故选C.2．B 根据图中所示程序，可得y与x的函数关系式为y＝易知①错误；∵PQ∥x轴，∴点P在y＝－上，∴S△POM＝×OM×PM＝|k|＝1，同理可得S△QOM＝2，∴S△POQ＝S△POM＋S△QOM＝1＋2＝3，∴②正确；当x＞0时，y＝，y随x的增大而减小，∴③错误；设OM＝a，当y＝a时，P点的横坐标为－，Q点的横坐标为，则PM＝，MQ＝，则MQ＝2PM，∴④正确；当点M在y轴的正半轴上由下向上运动时，∠POQ由180°逐渐变小至0°，∴∠POQ可以等于90°，∴⑤正确．3．∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD(答案不唯一，写出一种即可) 由已知条件AB＝DC，AD＝BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再要使ABCD是矩形，根据判定矩形的方法，只需有一个角为直角的平行四边形即为矩形，或者对角线相等的平行四边形是矩形，所以可添的条件为角是直角或对角线相等．4．答案不唯一，所填写的数值只要满足m2≥12即可，如4等 由于这个方程有实数根，因此Δ＝b2－4ac＝(－m)2－12＝m2－12≥0，即m2≥12.5．解：(1)①②④(2)α＝90°.依题意可知，△ACB旋转90°后AC为⊙O直径，且点C与点E重合，因此∠AFE＝90°.∵AC＝8，∠BAC＝60°，∴AF＝AC＝4，EF＝4，∴S△AEF＝×4×4＝8.6．解：(1)△HGA △HAB(2)由(1)可知△AGC∽△HAB，9\n∴＝，即＝，∴y＝.(3)由(1)知△AGC∽△HGA.∴要使△AGH是等腰三角形，只要△AGC是等腰三角形即可．有两种情况，(1)CG为底，AC＝AG时，得AG＝9，此时CG等于9，(2)CG为腰，CG＝AG时，此时CG＝.7．解：(1)证明：由折叠可知EF⊥AC，AO＝CO.∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.∴△AOE≌△COF.∴EO＝FO.∴四边形AFCE是菱形．(2)由(1)得AF＝AE＝10.设AB＝a，BF＝b，得a2＋b2＝100①，ab＝48②.①＋2×②得(a＋b)2＝196，得a＋b＝14(另一负值舍去)．∴△ABF的周长为24cm.(3)存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意．证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAP＝∠OAE，∴△AOE∽△AEP.∴＝，得AE2＝AO·AP，即2AE2＝2AO·AP.又AC＝2AO，∴2AE2＝AC·AP.8．解：(1)把点P代入二次函数解析式，得5＝(－2)2－2b－3，解得b＝－2.所以二次函数解析式为y＝x2－2x－3.当x＝1时，y＝－4，当x＝3时，y＝0，所以当1＜x≤3时，y的取值范围为－4＜y≤0.(2)①m＝4时，y1，y2，y3的值分别为5,12,21，由于5＋12＜21，不能成为三角形的三边长．9\n②当m取不小于5的任意实数时，由图象知y1＜y2＜y3，y1，y2，y3的值分别为m2－2m－3，m2－4，m2＋2m－3，y1＋y2－y3＝(m2－2m－3)＋(m2－4)－(m2＋2m－3)＝m2－4m－4＝(m－2)2－8，当m不小于5时成立，(m－2)2≥9，所以(m－2)2－8＞0，即y1＋y2＞y3成立．所以当m取不小于5的任意实数时，y1，y2，y3一定能作为同一个三角形三边的长．9．(1)解：方法一：∵B点坐标为(0,2)，∴OB＝2.∵矩形CDEF面积为8，∴CF＝4.∴C点坐标为(－2,2)，F点坐标为(2,2)．设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，其过三点A(0,1)，C(－2,2)，F(2,2)，得解这个方程组，得a＝，b＝0，c＝1.∴此抛物线的解析式为y＝x2＋1.方法二：∵B点坐标为(0,2)，∴OB＝2.∵矩形CDEF面积为8，∴CF＝4.∴C点坐标为(－2,2)．根据题意可设抛物线解析式为y＝ax2＋c.其过点A(0,1)和C(－2,2)．得解这个方程组，得a＝，c＝1.∴此抛物线解析式为y＝x2＋1.(2)①过点B作BN⊥PS，垂足为N.∵P点在抛物线y＝x2＋1上，可设P点坐标为，∴PS＝a2＋1，OB＝NS＝2，BN＝a.∴PN＝PS－NS＝a2－1.9\n在Rt△PNB中，PB2＝PN2＋BN2＝2＋a2＝2.∴PB＝PS＝a2＋1.②根据①同理可知BQ＝QR.∴∠1＝∠2，又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.同理∠SBP＝∠5.∴2∠5＋2∠3＝180°.∴∠5＋∠3＝90°，∴∠SBR＝90°.∴△SBR为直角三角形．③若以P，S，M为顶点的三角形与以Q，M，R为顶点的三角形相似，∵∠PSM＝∠MRQ＝90°，∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况．当△PSM∽△MRQ时，∠SPM＝∠RMQ，∠SMP＝∠RQM.由直角三角形两锐角互余性质，知∠PMS＋∠QMR＝90°，∴∠PMQ＝90°.取PQ中点为N，连接MN，则MN＝PQ＝(QR＋PS)．∴MN为直角梯形SRQP的中位线．∴点M为SR的中点．当△PSM∽△QRM时，＝＝.又＝，∴＝，即M点与点O重合．∴点M为原点O.综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；当点M为原点时，△PSM∽△QRM.9
