专题五开放探索问题1.写出一个不可能事件________．解析 不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．一个月最多有31天，故明天是三十二号不可能存在，为不可能事件．答案 明天是三十二号2．已知一次函数的图象经过点(0，1)，且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为________．解析 设一次函数的解析式为：y＝kx＋b(k≠0)，∵一次函数的图象经过点(0，1)，∴b＝1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，故答案为y＝x＋1(答案不唯一，可以是形如y＝kx＋1，k＞0的一次函数)．答案 y＝x＋1(答案不唯一，可以是形如y＝kx＋1，k＞0的一次函数)．3．一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当x＞0时．y随x的增大而减小，这个函数解析式为________(写出一个即可)．解析 本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．答案 y＝，y＝－x＋3，y＝－x2＋5(本题答案不唯一)4．请写出一个解为x＝2的一元一次方程：_________________________________.答案 答案不唯一，如x－2＝0，2x＝4等5．(2022·毕节)请写出含有字母x、y的五次单项式________(只要求写一个)．答案 答案不唯一，例如x2y3，x3y2等．6．如图所示，E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点，试添加一个条件：________，使得△ADF≌△CBE.8\n答案 不唯一，如：AF＝CE，AE＝CF，∠ADF＝∠CBE等．7．如图，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是________．答案 答案不唯一，如AC＝BD，∠ADC＝90°等8．如图，反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A(1，2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为________．答案 答案不唯一，x、y满足xy＝2且x<0，y<0均可9．先化简，再把x取一个你最喜欢的数代入求值：÷.分析 将括号里通分，除法化为乘法，约分化简，再代值计算，代值时，x的取值不能使原式的分母、除式为0.解 原式＝·＝·＝·＝·＝当x＝6时，原式＝1.10．已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)．8\n分析 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．解析 根据三角形的三边关系，得第三边应大于8－4＝4，而小于8＋4＝12，又∵三角形的两边长分别为4和8，∴4＜x＜12，故答案为在4＜x＜12之间的数都可以．答案 在4＜x＜12之间的数都可以11.如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E.(1)由这些条件，你能推出“哪些正确结论”？(要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可．)(2)若∠ABC是直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些别的正确结论，并画出图形．(要求：写出6个结论即可，其他要求同(1)．)解 下列结论可供选择：(1)①DE是⊙O的切线；②AB＝BC；③∠A＝∠C；④DE2＝BE·CE；⑤CD2＝CE·CB；⑥∠C＋∠CDE＝90°；⑦CE2＋DE2＝CD2.(2)若∠ABC为直角时，①CE＝BE；②DE＝BE；③DE＝CE；④DE∥AB；⑤CB是⊙O的切线；⑥DE＝AB；8\n⑦∠A＝∠CDE＝45°；⑧∠C＝∠CDE＝45°；⑨CB2＝CD·CA；⑩＝＝；⑪AB2＋BC2＝AC2；⑫＝.12．已知点A(1，2)和B(－2，5)，试求出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点．解 法一 设抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，2)，B(－2，5)，∴则①－②得3b－3a＝－3，即a＝b＋1.设a＝2，则b＝1，将a＝2，b＝1代入①，得c＝－1，故所求的二次函数为y＝2x2＋x－1.又设a＝1，则b＝0，将a＝1，b＝0代入①，得c＝1，故所求的另一个二次函数为y＝x2＋1.法二 因为不在同一条直线上的三点确定一条抛物线，因此要确定一条抛物线，可以另外再取一点，不妨取C(0，0)，则∴解得8\n故所求的二次函数为y＝x2＋x，用同样的方法可以求出另一个二次函数．13．已知，如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t(s)，解答下列问题：(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？(2)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的？如果存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．解 (1)当∠BPQ＝90°时，在Rt△BPQ中，∠B＝60°，BP＝3－t，BQ＝t.∵cosB＝，∴BP＝BQ·cosB，即3－t＝t·.解之，得t＝2.当∠BQP＝90°时，在Rt△BPQ中，∠B＝60°，BP＝3－t，BQ＝t，∵cosB＝，∴BQ＝BP·cosB，即t＝(3－t)·.解之，得t＝1.8\n综上，t＝1或t＝2时，△PBQ是直角三角形．(2)∵S四边形APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝×3×3·sin60°－×(3－t)·t·sin60°＝t2－t＋.又∵S四边形APQC＝S△ABC，∴t2－＋＝×，整理得，t2－3t＋3＝0，Δ＝(－3)2－4×1×3＜0，∴方程无实根，∴无论t取何值时，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的.14．(2022·广州)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC＝α(60°≤α＜90°)．(1)当α＝60°时，求CE的长；(2)当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．分析 (1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解；(2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G，证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝GF，AG＝CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝GF，再根据AB、BC的长度可得AG＝AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF＝∠G＝∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC＝2∠G，然后推出∠EFD＝3∠AEF，从而得解；②设BE＝x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答．解 (1)∵α＝60°，BC＝10，8\n∴sinα＝，即sin60°＝＝，解得CE＝5；(2)①存在k＝3，使得∠EFD＝k∠AEF.理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，如图所示，∵F为AD的中点，∴AF＝FD，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G＝∠DCF，在△AFG和△DFC中，，∴△AFG≌△DFC(AAS)，∴CF＝GF，AG＝DC，∵CE⊥AB，∴EF＝GF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠AEF＝∠G，∵AB＝5，BC＝10，点F是AD的中点，∴AG＝5，AF＝AD＝BC＝5，∴AG＝AF，∴∠AFG＝∠G，在△EFG中，∠EFC＝∠AEF＋∠G＝2∠AEF，又∵∠CFD＝∠AFG(对顶角相等)，8\n∴∠CFD＝∠AEF，∴∠EFD＝∠EFC＋∠CFD＝2∠AEF＋∠AEF＝3∠AEF，因此，存在正整数k＝3，使得∠EFD＝3∠AEF；②设BE＝x，∵AG＝CD＝AB＝5，∴EG＝AE＋AG＝5－x＋5＝10－x，在Rt△BCE中，CE2＝BC2－BE2＝100－x2，在Rt△CEG中，CG2＝EG2＋CE2＝(10－x)2＋100－x2＝200－20x，∵CF＝GF(①中已证)，∴CF2＝＝CG2＝(200－20x)＝50－5x，∴CE2－CF2＝100－x2－50＋5x＝－x2＋5x＋50＝－＋50＋，∴当x＝，即点E是AB的中点时，CE2－CF2取最大值，此时，EG＝10－x＝10－＝，CE＝＝＝，所以，tan∠DCF＝tan∠G＝＝＝.8
