第16讲直角三角形考纲要求命题趋势1．了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定．2．掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题. 直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.知识梳理一、直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角________．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．二、直角三角形的判定1．有一个角等于________的三角形是直角三角形．2．有两角________的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．自主测试1．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC:CA:AB＝5:12:13，则cosB＝( )A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，DE是中位线，∠ABC的平分线交DE于F，则△ABF一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形3．下列各组数据分别为三角形的三边长：①2,3,4；②5,12,13；③，，；④m2－n2，m2＋n2，2mn.其中是直角三角形的有( )A．①②B．③④C．①③D．②④考点一、直角三角形的判定9\n【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为边BC上的任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．分析：连接AM，可得AM＝BM，然后证明△BFM≌△AEM，得到FM＝ME，∠EMF＝90°.解：△MEF是等腰直角三角形．连接AM，∵∠BAC＝90°，AM是斜边BC的中线，∴MA＝MB＝MC，MA⊥BC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠BAM＝∠MAE＝45°.∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴∠AFD＝∠AED＝∠FAE＝90°，∴四边形DFAE是矩形，∴FD＝EA.又∵FB＝FD，∴FB＝EA，∴△BFM≌△AEM(SAS)，∴FM＝EM，∠BMF＝∠AME.∵∠AMF＋∠BMF＝90°，∴∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝90°，∴△MEF是等腰直角三角形．方法总结证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得．触类旁通1具备下列条件的△ABC中，不能成为直角三角形的是( )A．∠A＝∠B＝∠CB．∠A＝90°－∠CC．∠A＋∠B＝∠CD．∠A－∠C＝90°考点二、直角三角形的性质【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.9\n(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：DC⊥BE.(1)解：图2中△ABE≌△ACD.证明如下：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°.∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.又∵AB＝AC，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD.(2)证明：由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD＝∠ABE＝45°.又∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，∴DC⊥BE.方法总结直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质．考点三、勾股定理及其逆定理【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．解：设CD长为xcm，由折叠得△ACD≌△AED.∴AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝xcm.在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10(cm)．∴EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，BD＝BC－CD＝(8－x)cm，在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2.∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.∴CD的长为3cm.方法总结1．勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边．2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形．触类旁通2如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12，求四边形ABCD的面积．9\n考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例4】如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14km，C，D为两村庄(可视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？分析：因为DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解．解：设E站应建在距A站xkm处，根据勾股定理有82＋x2＝62＋(14－x)2，解得x＝6.所以E站应建在距A站6km处．方法总结勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型．通过解决数学问题，使实际问题得以解决．触类旁通3有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．1．(2022广东广州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是( )A．B．C．D．2．(2022浙江湖州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是( )A．20B．10C．5D．3．(2022浙江宁波)勾股定理是几9\n何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )A．90B．100C．110D．1214．(2022山东烟台)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF＝100°，那么∠BMD为________°.5．(2022四川巴中)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为__________．6．(2022重庆)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)1．如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为( )A．3cmB．6cmC．3cmD．6cm9\n2．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a＋c＝2b，c－a＝b，则△ABC是( )A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形3．一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是( )A．5B．25C．5或25D．无法确定4．如图，在Rt△ABC中，以三边AB，BC，CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则( )A．S1＝S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是( )A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝2，则BE的长为__________．7．如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__________．8．如图，已知点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD9\n延长线上的一点，且CE＝CA.(1)求证：DE平分∠BDC；(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.参考答案导学必备知识自主测试1．C ∵BC2＋CA2＝AB2，∴∠C＝90°，∴cosB＝＝.2．B 3．D探究考点方法触类旁通1．D触类旁通2．解：在Rt△ABD中，BD＝＝＝5，在△BCD中，CD＝13，CB＝12，BD＝5，∴CB2＋BD2＝CD2.∴∠DBC＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝AB·AD＋BC·BD＝×3×4＋×12×5＝6＋30＝36.触类旁通3．解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得，AB＝＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩成等腰三角形ABD，应分以下三种情况：(1)如图1，当AB＝AD＝10时，可求得CD＝CB＝6，故△ABD的周长为32m.(2)如图2，当AB＝BD＝10时，可求得CD＝4，由勾股定理得AD＝＝4，故△ABD的周长为(20＋4)m.(3)如图3，当AB为底时，设AD＝BD＝x，则CD＝x－6，由勾股定理得(x－6)2＋82＝x2，则x＝，故△ABD的周长为m.品鉴经典考题1．A 根据题意画出相应的图形，如图所示：9\n在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，根据勾股定理得：AB＝＝15.过点C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，∴CD＝＝＝，则点C到AB的距离是.2．C 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，则CD的长是5.3．C 如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO＝AB＋AC＝3＋4＝7，所以，KL＝3＋7＝10，LM＝4＋7＝11，因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110.故选C.4．85 ∵∠ADF＝100°，∠EDF＝30°，∴∠MDB＝180°－∠ADF－∠EDF＝180°－100°－30°＝50°，∴∠BMD＝180°－∠B－∠MDB＝180°－45°－50°＝85°.5．等腰直角三角形 由题意得：c2－a2－b2＝0，a－b＝0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，则△ABC的形状为等腰直角三角形．6．解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B＝60°.∵∠BAC＝90°，∴∠C＝180°－90°－60°＝30°，∴BC＝2AB＝4.在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝2，∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝2＋4＋2＝6＋2.研习预测试题1．D2．A 由a＋c＝2b，c－a＝b，9\n可得c＝b，a＝b，于是得a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．3．C 4．A5．C 由折叠性质可知，AE＝BE，设CE为x，则BE＝8－x.在Rt△BCE中，62＋x2＝(8－x)2，所以x＝.故＝＝.6．4 ∵点D是AB的中点，∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴CD＝AB，DE＝BC，∴AB＝4，BC＝4.在Rt△ACB中，AC＝＝8，∴CE＝AC＝4.∵CE＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴BE＝4.7． 根据题意易知CD＝AC＝，AD＝DE＝()2＝2，EF＝AE＝2，AF＝FG＝2×＝4，AG＝4，所以所求图形的面积S＝S△ABC＋S梯形ACDE＋S梯形AEFG＝×1×1＋×(＋2)×＋×(2＋4)×2＝＋3＋12＝.8．证明：(1)在等腰Rt△ABC中，∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°.∴BD＝AD.∴△BDC≌△ADC.∴∠DCA＝∠DCB＝45°.由∠BDM＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，∴∠BDM＝∠EDC.∴DE平分∠BDC.(2)如图，连接MC.∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形，即CM＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.∴△ADC≌△EMC.∴ME＝AD＝DB.9
