第30讲概率初步考纲要求命题趋势1．能正确指出自然和社会现象中的一些必然事件、不可能事件、不确定事件．2．能从实际问题中了解概率的意义，能用列举法计算随机事件发生的概率．3．能用大量重复试验时的频率估计事件发生的概率. 概率是中考命题的必考点，选材多来自游戏、抽奖等生活题材，主要考查必然事件、不可能事件及随机事件的区别，用列表、画树状图法求简单事件发生的概率以及用频率估计概率，题型以填空题、选择题及解答题的形式出现.知识梳理一、事件的有关概念1．必然事件在现实生活中__________发生的事件称为必然事件．2．不可能事件在现实生活中__________发生的事件称为不可能事件．3．随机事件在现实生活中，有可能__________，也有可能__________的事件称为随机事件．4．分类事件二、用列举法求概率1．定义在随机事件中，一件事发生的可能性__________叫做这个事件的概率．2．适用条件(1)可能出现的结果为__________多个；(2)各种结果发生的可能性__________．3．求法(1)利用__________或__________的方法列举出所有机会均等的结果；(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率．列表法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目，当事件涉及三个或三个以上元素时，用树形图列举．三、利用频率估计概率1．适用条件当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等．2．方法进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个__________时，该__________就可认为是这个事件发生的概率．四、概率的应用9\n概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策．自主测试1．下列说法正确的是( )A．打开电视机，正在播放新闻B．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个C．调查某品牌饮料的质量情况适合普查D．盒子里装有2个红球和2个黑球，搅匀后从中摸出两个球，一定一红一黑2．两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为( )A．B．C．D．3．有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个．为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为__________．4．扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球(二选一)和坐位体前屈、1分钟跳绳(二选一)中选择两项．(1)每位考生有__________种选择方案；(2)用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．(友情提醒：各种方案用A，B，C，…或①，②，③，…等符号来代表可简化解答过程)考点一、事件的分类【例1】下列事件属于必然事件的是( )A．在1个标准大气压下，水加热到100℃沸腾B．明天我市最高气温为56℃C．中秋节晚上能看到月亮D．下雨后有彩虹解析：区分事件发生的可能性，应注意积累生活经验和一些基本常识，然后再予以判断．答案：A方法总结如何判断事件发生的可能性，我们可以凭直觉判断出有些事件发生的可能性大小，有时要结合日积月累的生活经验，或者经过严谨的推理得到事实等．触类旁通1下列事件中，为必然事件的是( )A．购买一张彩票，中奖B．打开电视，正在播放广告C．抛掷一枚硬币，正面向上D．一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球考点二、用列举法求概率【例2】在一个不透明的口袋中装有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1,2,3,4.随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回，洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字．(1)计算两次摸出的纸牌上的数字之和为6的概率；9\n(2)甲、乙两个人玩游戏，如果两次摸出纸牌上的数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上的数字之和为偶数，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由．分析：游戏是否公平，应该根据事件发生的概率大小确定，用列表法或画树状图求出各事件发生的概率，然后再判断游戏是否公平．解：用树状图法：或列表法：由上表可以看出，摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可能性相等．(1)两次摸出纸牌上的数字之和为6(记为事件A)有3种可能结果，P(A)＝.(2)这个游戏公平，理由如下：两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B)有8种可能结果，P(B)＝＝.两次摸出纸牌上数字之和为偶数(记为事件C)有8种可能结果，P(C)＝＝.两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平．方法总结1．用列举法求概率，无论是简单事件还是复杂事件，都先列举所有可能出现的结果，再代入P(A)＝计算．2．在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．3．判断游戏的公平性，在相同的条件下，应考虑随机事件发生的可能性是否相同，可能性大的获胜机会就大．触类旁通2甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，(1)请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．考点三、频率与概率9\n【例3】小明在学习了统计与概率的知识后，做了投掷骰子的试验，小明共做了100次试验，试验的结果如下：朝上的点数123456出现的次数171315232012(1)试求“4点朝上”和“5点朝上”的频率；(2)由于“4点朝上”的频率最大，能不能说一次试验中“4点朝上”的概率最大？为什么？解：(1)“4点朝上”出现的频率是＝0.23.“5点朝上”出现的频率是＝0.20.(2)不能这样说，因为“4点朝上”的频率最大并不能说明“4点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近．方法总结在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同．触类旁通3某质检员从一大批种子中抽取若干批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数50100200500100030005000发芽种子粒数459218445891427324556发芽频率(1)计算各批种子发芽频率，填入上表．(2)根据频率的稳定性估计种子的发芽概率．考点四、概率的应用【例4】在一副扑克牌中取牌面花色分别为黑桃、红心、方块各一张，洗匀后正面朝下放在桌面上．(1)从这三张牌中随机抽取一张牌，抽到牌面花色为红心的概率是多少？(2)小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面花色后放回，洗匀后，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面花色．当两张牌面的花色相同时，小王赢；当两张牌面的花色不相同时，小李赢．请你利用树状图或列表法分析该游戏规则对双方是否公平？并说明理由．解：(1)P(抽到牌面花色为红心)＝.(2)游戏规则不公平．理由如下：9\n由树状图或表格知：所有可能出现的结果共有9种．P(抽到牌面花色相同)＝＝，P(抽到牌面花色不相同)＝＝.∵＜，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大．方法总结游戏公平与否，关键是根据规则算出各自的概率，概率均等则游戏公平，否则就不公平．设计游戏规则时，应先根据题意求出随机事件的各种可能出现的情况的概率，再根据其中概率相等时的情况设计公平的游戏规则，也可根据概率不相等时的情况设计公平的游戏规则．触类旁通4(1)四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )A．B．C．D．1(2)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗庙、烂柯河、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩．则王先生恰好上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是( )A．B．C．D．1．(2022浙江宁波)一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为( )A．B．C．D．12．(2022浙江义乌)义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是( )A．B．C．D．3．(2022浙江杭州)一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是( )9\nA．摸到红球是必然事件B．摸到白球是不可能事件C．摸到红球与摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大4．(2022四川攀枝花)抛掷一枚质地均匀、各面分别标有1,2,3,4,5,6的骰子，正面向上的点数是偶数的概率是__________．5．(2022湖南长沙)任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是__________事件．6．(2022四川达州)如下图，在某十字路口，汽车可直行、可左转、可右转．若这三种可能性相同，则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为__________．7．(2022湖南益阳)有长度分别为2cm,3cm,4cm,7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________．8．(2022福建泉州)在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．(1)随机地从盒中提出1子，则提出白子的概率是多少？(2)随机地从盒中提出1子，不放回再提第二子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．1．某中学举行数学竞赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是( )A．B．C．D．2．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为( )A．2B．4C．12D．163．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是( )A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的4．在x22xyy2的空格中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是( )A．1B．C．D．5．在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为__________．(注：π取3)9\n6．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是__________．7．如图所示，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1,2,3,4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则P(3)__________P(4)．(填“＞”、“＜”或“＝”)8．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明去听讲座．(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．参考答案导学必备知识自主测试1．B 2．A 3．6004．解：(1)4(2)把4种方案分别列为：A：立定跳远、坐位体前屈；B：实心球、1分钟跳绳；C：立定跳远、1分钟跳绳；D：实心球、坐位体前屈．画树状图如下：∴P(小明与小刚选择同种方案)＝＝.探究考点方法触类旁通1．D触类旁通2．解：(1)列表法如下：甲乙丙丁甲乙甲丙甲丁甲乙甲乙丙乙丁乙9\n丙甲丙乙丙丁丙丁甲丁乙丁丙丁所有可能出现的情况有12种，其中甲、乙两位同学组合的情况有两种，所以P＝＝.(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，共有3种情况，选中乙的情况有一种，所以P(恰好选中乙同学)＝.触类旁通3．解：(1)通过计算，发芽频率从左到右依次为：0.9,0.92,0.92,0.916,0.914,0.911,0.911.(2)由(1)知，发芽频率逐渐稳定在0.911，因此可以估计种子的发芽概率为0.911.触类旁通4．(1)B 在四个图案中，是中心对称图形的图案有2个，所以正面图案是中心对称图形的概率为.(2)A 列树形图可知共有9种等可能的结果，所以上午选中孔氏南宗庙，下午选中江郎山这两个地点的概率是.品鉴经典考题1．A 因为根据题意可得：一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，共3个，任意摸出1个，摸到白球的概率是2÷3＝.2．B ∵将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，画树状图得：∵共有20种等可能的结果，该组能够翻译上述两种语言的有14种情况，∴该组能够翻译上述两种语言的概率为＝.3．D 摸到红球是随机事件，故选项A错误；摸到白球是随机事件，故选项B错误；根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故选项C错误；根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故选项D正确．4． 因为所有的可能有1,2,3,4,5,6，是偶数的可能有2,4,6，所以概率为P＝＝.5．随机 因为抛掷1枚均匀硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛掷1枚均匀硬币正面朝上是随机事件．6． 因为所有可能有：直行、直行；直9\n行、左转；直行、右转；左转、直行；左转、左转；左转、右转；右转、直行；右转、左转；右转、右转．两辆汽车都向右转只有一次，所以概率为P＝.7． 因为长度为2cm,3cm,4cm,7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2,3,4；3,4,7；2,4,7；3,4,7四种情况，而能组成三角形的有2,3,4，共有1种情况，所以能组成三角形的概率是.8．解：(1)P(白子)＝.(2)方法一：所有等可能的结果，画树状图如下：∴P(一黑一白)＝＝.方法二：所有等可能的结果，列表如下.∴P(一黑一白)＝＝.研习预测试题1．D 2．B 3．A 4．C 5． 6． 7．＞8．解：(1)∵P(小明胜)＝，P(妹妹胜)＝，∴P(小明胜)≠P(妹妹胜)．∴这个办法不公平．(2)当x＞3时对小明有利，当x＜3时对妹妹有利，当x＝3时是公平的．9
