课时提升作业(二十五)平面向量的数量积一、选择题(每小题5分,共25分)1.△ABC中A(2,1),B(0,4),C(5,6),则=( )A.7 B.8 C.9 D.10【解析】选C.由已知得=(-2,3),=(3,5),所以=-2×3+3×5=9.2.(2022·厦门模拟)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于 ( )A.-B.C.D.【解析】选C.因为2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为α,所以cosα===.又α∈[0,π],故α=.3.(2022·滨州模拟)已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b与c垂直,则k=( )A.-3B.-2C.-1D.1【解题提示】利用坐标表示a+2b,再利用垂直条件得方程求解.【解析】选A.由已知得a+2b=(,3),故(a+2b)·c=(,3)·(k,)=k+3=0.解得k=-3.【加固训练】已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则“m=1”是“(a-mb)⊥a”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当m=1时,(a-b)·a=a2-a·b=1-1×2×cos60°=0,故(a-b)⊥a;反之当(a-mb)⊥a时,有(a-mb)·a=a2-ma·b=1-m·(1×2×cos60°)=1-m=0,则m=1.综上“m=1”是“(a-mb)⊥a”的充要条件.-8-\n4.(2022·绵阳模拟)已知向量a=(1,1),b=(2,y),若|a+b|=a·b,则y=( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选D.因为a=(1,1),b=(2,y),所以a+b=(3,y+1),a·b=2+y,因为|a+b|=a·b.所以=2+y,所以y=3.5.(2022·厦门模拟)在△ABC中,∠A=120°,=-1,则||的最小值是( )A.B.2C.D.6【解析】选C.由当且仅当时等号成立.所以||≥,故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(2,2),则|2a-b|的最大值为 .【解析】由已知得|2a-b|2=4a2+b2-4a·b=4+16-4(2cosθ+2sinθ)=20-16=20-16sin所以当θ+=2kπ-(k∈Z),即θ=2kπ-π(k∈Z)时,|2a-b|=36.所以|2a-b|的最大值为6.答案:67.在平面直角坐标系xOy中,已知-8-\n则实数λ的值为 .【解析】由已知得=(-3,3),设C(x,y),则=-3x+3y=0,所以x=y.=(x-3,y+1).又,即(x-3,y+1)=λ(0,2),所以由x=y得,y=3,所以λ=2.答案:28.(2022·东营模拟)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为 .【解析】由|a+b|=|a-b|,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以(a+b)·a=a2+a·b=|a|2.故向量a+b与a的夹角θ的余弦值为cosθ==.又0≤θ≤π,所以θ=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(10分)已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a⊥b,求x的值.(2)若a∥b,求|a-b|.【解析】(1)由a⊥b得,2x+3-x2=0,即(x-3)(x+1)=0.解得x=3或x=-1.(2)由a∥b,则2x2+3x+x=0,即2x2+4x=0,得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0).此时|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),则a-b=(2,-4).故|a-b|=10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ.-8-\n(2)求|a+b|.(3)若=a,=b,求△ABC的面积.【解析】(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,所以a·b=-6,所以cosθ=又0≤θ≤π,所以θ=π.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=.(3)因为的夹角θ=π,所以∠ABC=又||=|a|=4,||=|b|=3,所以(20分钟 40分)1.(5分)(2022·石家庄模拟)在△ABC中,AB=4,AC=3,=1,则BC=( )【解题提示】利用已知条件,求得夹角的余弦,再用余弦定理求BC.【解析】选D.设∠A=θ,因为,AB=4,AC=3,所以-8-\n2.(5分)(2022·太原模拟)在△ABC中,设那么动点M的轨迹必通过△ABC的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【解析】选C.假设BC的中点是O,则即所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.【加固训练】(2022·兰州模拟)若△ABC的三个内角A,B,C度数成等差数列,且=0,则△ABC一定是( )A.等腰直角三角形B.非等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形【解析】选C.因为所以=0,即,又A,B,C度数成等差数列,故2B=A+C,又A+B+C=π,所以2B=π-B,所以3B=π,B=,故△ABC是等边三角形.3.(5分)设两个向量a,b,满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,若向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,则实数t的范围为 .【解析】由向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,得<0,即(2ta+7b)·(a+tb)<0,化简即得2t2+15t+7<0,解得-7<t<-,当夹角为π时,也有(2ta+7b)·(a+tb)<0,但此时夹角不是钝角,设2ta+7b=λ(a+tb),λ<0,-8-\n答案:【误区警示】解答本题易忽视向量2ta+7b与a+tb共线反向的情况,而得错误答案.4.(12分)已知点A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ).(1)若的值.(2)若=1,其中O为坐标原点,求sinθ·cosθ的值.【解析】因为A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ),所以=(2sinθ-1,cosθ),=(2sinθ,cosθ-1).(1)所以化简得2sinθ=cosθ,所以tanθ=,所以(2)=(2sinθ,cosθ),所以=(1,2),因为=1,所以2sinθ+2cosθ=1.所以(sinθ+cosθ)2=,所以sinθ·cosθ=-.-8-\n5.(13分)(能力挑战题)已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=1,(1)若|a-b|=2,试求a与b的夹角的余弦值.(2)若对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,求a与b的夹角.【解析】(1)因为|a|=,|b|=1,|a-b|=2.所以|a-b|2=4,即a2-2a·b+b2=4,2-2a·b+1=4,所以a·b=-.设a与b的夹角为θ,(2)令a与b的夹角为θ.由|a+xb|≥|a+b|,得(a+xb)2≥(a+b)2,化为(x2-1)|b|2+(2x-2)|a|·|b|cosθ≥0,因为|a|=,|b|=1,所以(x2-1)+(2x-2)cosθ≥0,当x=1时,式子显然成立;【一题多解】本题(2)还可有如下解法:令a与b的夹角为θ,由|a+xb|≥|a+b|,得(a+xb)2≥(a+b)2,因为|a|=,|b|=1,-8-\n所以x2+2xcosθ-2cosθ-1≥0,对一切实数x恒成立,所以Δ=8cos2θ+8cosθ+4≤0,即(cosθ+1)2≤0,故cosθ=-,因为θ∈[0,π],所以θ=π.-8-
