11-3推理与证明基础巩固强化1.(2011·江西文，6)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为( )A．01 B．43 C．07 D．49[答案] B[解析] 75＝16807,76＝117649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，∵2011＝502×4＋3，∴72011与73末两位数字相同，故选B.2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.3．(文)将正整数排成下表：则在表中数字2014出现在( )A．第44行第78列B．第45行第78列C．第44行第77列D．第45行第77列[答案] B[解析] 第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2014,2025>2014，∴2014在第45行．2014－1936＝78，∴2014在第78列，选B.14\n(理)(2012·西安五校第一次模拟)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )A．(7,5)B．(5,7)C．(2,10)D．(10,1)[答案] B[解析] 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n＋1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到<60<，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B.4．(文)(2011·绍兴月考)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．289B．1024C．1225D．1378[答案] C[解析] 将三角形数记作an，正方形数记作bn，则an＝1＋2＋…＋n＝，bn＝n2，14\n由于1225＝352＝，故选C.(理)n个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2012到2014的箭头方向依次为( )A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓[答案] A[解析] 观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2012至2014，其位序应与相同，故选A.5．(2012·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是( )①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．A．①②B．③④C．①④D．②③[答案] B[解析] 经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B.6．(文)定义某种新运算“⊗”：S＝a⊗b的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝( )14\nA．2B．1C．3D．4[答案] B[解析] 由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25,3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1.(理)若定义在区间D上的函数f(x)，对于D上的任意n个值x1、x2、…、xn，总满足f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)≥nf，则称f(x)为D上的凹函数，现已知f(x)＝tanx在上是凹函数，则在锐角三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanC的最小值是( )A．3B.C．3D.[答案] C[解析] 根据f(x)＝tanx在上是凹函数，再结合凹函数定义得，tanA＋tanB＋tanC≥3tan＝3tan＝3.故所求的最小值为3.7．设f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，则x2014的值为________.x123456f(x)451263[答案] 1[解析] 由条件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知{xn}是周期为6的周期数列，∴x2014＝x4＝1.8．(文)(2012·陕西文，12)观察下列不等式14\n1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……照此规律，第五个不等式为__________________．[答案] 1＋＋＋＋＋<[解析] 本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1＋＋＋…＋<，所以第五个不等式为：1＋＋＋＋＋<.[点评] 在用归纳法归纳一般性结论的时候，要养成检验意识．(理)(2011·台州模拟)观察下列等式：(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，……由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝________.[答案] n(n＋1)[解析] 由给出等式观察可知，x2的系数依次为1,3,6,10,15，…，∴a2＝n(n＋1)．9．(文)如图数表满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)表中递推关系类似杨辉三角下一行除首尾两数外，每一个数都是肩上两数之和．记第n(n>1)行第2个数为f(n)，根据数表中上下两行数据关系，可以得到递推关系：f(n)＝__________，并可解得通项f(n14\n)＝________.[答案] f(n)＝f(n－1)＋n－1；f(n)＝[解析] 观察图表知f(n)等于f(n－1)与其相邻数n－1的和．∴递推关系为f(n)＝f(n－1)＋n－1，∴f(n)－f(n－1)＝n－1，即f(2)－f(1)＝1，f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，…f(n)－f(n－1)＝n－1，相加得f(n)＝.(理)观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推测，m－n＋p＝________.[答案] 962[解析] 由题易知：m＝29＝512，p＝5×10＝50m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴m＋n＋p＝162.∴n＝－400，∴m－n＋p＝962.10．已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求证：＋≤2.14\n[证明] 要证＋≤2，只需证a＋＋b＋＋2≤4，又a＋b＝1，故只需证≤1，只需证(a＋)(b＋)≤1，只需证ab≤.∵a>0，b>0,1＝a＋b≥2，∴ab≤，故原不等式成立.能力拓展提升11.(文)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)[答案] D[解析] 观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝f′(x)，∴g(－x)＝－g(x)，选D.(理)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2.对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3>a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是( )A．[－12,24]B．(－12,24)C．(－∞，－12)∪(24，＋∞)D．(－∞，－12]∪[24，＋∞)[答案] D[解析] 因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的．故由题意得14\n即4a1＋36，a1＋18，a1＋36，a1＋18出现的机会是均等的，由于当a3>a1时甲胜，且甲胜的概率为，故在上面四个表达式中，有3个大于a1，∵a1＋18>a1，a1＋36>a1，故在其余二数中有且仅有一个大于a1，由4a1＋36>a1得a1>－12，由a1＋18>a1得，a1<24，故当－12<a1<24时，四个数全大于a1，当a1≤－12或a1≥24时，有且仅有3个大于a1，故选D.12．(2012·深圳调研)在实数集R中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“⊳”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R，i为虚数单位)，当且仅当“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2时，z1⊳z2”．下列命题为假命题的是( )A．1⊳i⊳0B．若z1⊳z2，z2⊳z3，则z1⊳z3C．若z1⊳z2，则对于任意z∈C，z1＋z⊳z2＋zD．对于复数z⊳0，若z1⊳z2，则z·z1⊳z·z2[答案] D[解析] 对于A，注意到1＝1＋0×i，i＝0＋1×i,0＝0＋0×i,1>0，则1⊳i,0＝0且1>0，则i⊳0，因此有1⊳i⊳0，A正确．对于B，由z1⊳z2得“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2”；由z2⊳z3得“a2>a3”或“a2＝a3且b2>b3”，于是有“a1>a3”或“a1＝a3且b1>b3”，即有z1⊳z3，选项B正确．对于C，设z＝a＋bi，由z1⊳z2得“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2”，所以“a1＋a>a2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋b>b2＋b”，即有z1＋z⊳z2＋z，因此选项C正确．对于D，取z＝1－2i⊳0，z1＝3，z2＝3i，此时z·z1＝3－6i，z·z2＝6＋3i，z·z2⊳z·z1，因此选项D不正确．综上所述，选D.13．(2011·蚌埠市质检)已知＝2，＝3，＝4，…，若＝7，(a、t均为正实数)，则类比以上等式，可推测a、t的值，a＋t14\n＝________.[答案] 55[解析] 类比所给等式可知a＝7，且7t＋a＝72·a，即7t＋7＝73，∴t＝48.∴a＋t＝55.14．(2011·杭州市质检)设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[答案] f(2n)≥(n∈N*)[解析] f(2)＝f(21)＝，f(4)＝f(22)>2＝，f(8)＝f(23)>＝，f(16)＝f(24)>3＝，…，f(2n)≥(n∈N*)．15．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋n＝；现已知等比数列{bn}(n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，先类比上述结论，得出在等比数列{bn}中bn＋m的表达式，再证明你所得出的结论．[解析] 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的，数列中的可以类比等比数列中的，故bm＋n＝.证明如下：设bn＝b1qn－1，则bn＋m＝b1qn＋m－1，∵bm＝a，bn＝b，∴＝＝＝b·qn(n－1)－m(m－1)＝b·q(n－m)(n＋m－1)，∴＝b1qn＋m－1＝bm＋n.16．(2012·福建理，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；14\n⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解析] (1)选择(2)式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.(2)推广后的三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)＝1－cos2α－＋cos2α＝.1．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝( )14\nA.B.C.D.[答案] C[解析] 设三棱锥的内切球球心为O，那么由VS－ABC＝VO－ABC＋VO－SAB＋VO－SAC＋VO－SBC，即V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，可得r＝.2．(2011·陕西文，13)观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 ……照此规律，第五个等式应为______________________．[答案] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析] 第1个等式有1项，从1开始第2个等式有3项，从2开始第3个等式有5项，从3开始第4个等式有7项，从4开始每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始等式右边不92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.[点评] 观察各等式特点可得出一般结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.3．(1)由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比得到“若a、b、c为三个平面向量，则(a·b)·c＝a·(b·c)”(2)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，通过归纳得到猜想an＝2n－2(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边”，类比得到在空间中的结论：“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”(4)若f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx，则f＝＋1上述四个推理中，得出的结论正确的是________．14\n[答案] (2)(3)[解析] (1)不正确，(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，而a与c不一定共线；(2)正确，由an＋1＝2an＋2得an＋1＋2＝2(an＋2)，∴{an＋2}是首项为a1＋2＝2，公比为2的等比数列，∴an＋2＝2n，∴an＝2n－2；(3)正确，由四面体ABCD的任意一个顶点如A，向对面作垂线垂足为O，则△BOC，△COD，△BOD分别为△ABC，△ACD，△ABD在平面BCD内的射影，而S△ABC＋S△ACD＋S△ABD>S△BOC＋S△COD＋S△BOD≥S△BCD；(4)错误，f(x)＝cos2x＋sin2x＋1，∴f＝cos＋sin＋1＝2≠＋1.4．经过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为________．[答案] ＋＝1[解析] 过圆上一点M(x0，y0)的切线方程是把圆的方程中的x2、y2中的一个x和一个y分别用x0、y0代替，圆和椭圆都是封闭曲线，类比圆上一点的切线方程可以得到，过椭圆上一点P(x0，y0)的切线方程也是把椭圆方程中的x2、y2中的一个x和一个y分别用x0、y0代替，即得到切线方程为＋＝1.例如过椭圆＋y2＝1上一点(1，)的切线方程为＋y＝1，即x＋2y－4＝0.5．(2012·温州适应性测试)若数列{an}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，则a2012＝________.[答案] [解析] 依题意得，将该数列中分子相同的项分成一组，第n组中的数出现的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分子均是n＋1，相应的分母依次由1增大到n.由于1953＝<2012<＝2016，又2012＝1953＋59，因此题中的数列中的第2012项应位于第63组中的第59个数，则题中的数列中的第2012项的分子等于64，相应的分母等于59，即a2012＝.6．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)已知a、b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab＋1>a＋b.14\n(2)已知a、b、c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.[解析] (1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，∴ab＋1>a＋b.(2)∵|a|<1，|b|<1，|c|<1，据(1)得(ab)·c＋1>ab＋c，∴abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？即xi∈R，|xi|<1(i＝1,2，…，n)时，有________．7．观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝.证明：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝＋＋[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋[cos(60°＋2α)－cos2α]＋sin(30°＋2α)－＝1＋[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋＝－sin(30°＋2α)＋(sin30°＋2α)＝.8.14\n如图(1)，过四面体V－ABC的底面内任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1、B1、C1分别是所作直线与侧面交点．求证：＋＋为定值．分析：考虑平面上的类似命题：“过△ABC底边AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC，AC于A1，B1，求证＋为定值”．这一命题利用相似三角形的性质很容易推出其为定值1.另外，过A，O分别作BC垂线，过B，O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1.于是类比到空间图形，也可用两种方法证明其定值为1.[证明] 如图(2)，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB＝L，则有△MOA1△MAV，△NOB1△NBV，△LOC1△LCN.得＋＋＝＋＋.在底面△ABC中，由于AM，BN，CL交于一点O，∴＋＋＝＋＋＝＝1.∴＋＋为定值1.14
