1-2 命题、量词、逻辑联结词基础巩固强化1.(2011·河南质量调研)下列四个命题中的真命题为( )A．∃x0∈Z,1<4x0<3 B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2>0[答案] D[解析] ∵1<4x0<3，∴<x0<，这样的整数x0不存在，故A错误；∵5x0＋1＝0，∴x0＝－∉Z，故B错误；∵x2－1＝0，∴x＝±1，故C错误；对任意实数x，都有x2＋x＋2＝(x＋)2＋>0，故选D.2．(文)(2011·广东汕头一模)命题“∀x>0，都有x2－x≤0”的否定是( )A．∃x>0，使得x2－x≤0B．∃x>0，使得x2－x>0C．∀x>0，都有x2－x>0D．∀x≤0，都有x2－x>0[答案] B(理)(2011·湖南湘西州联考)命题“∃x∈R,2x＋x2≤1”的否定是( )A．∀x∈R,2x＋x2>1，假命题B．∀x∈R,2x＋x2>1，真命题C．∃x∈R,2x＋x2>1，假命题D．∃x∈R,2x＋x2>1，真命题[答案] A[解析] 因为x＝0时，20＋02＝1，所以“∀x∈R,2x＋x2>1”是假命题．3．(2012·东北三校联考)已知命题p：对于x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立；命题q：奇函数f(x)的图象必过原点，则下列结论正确的是( )A．p∧q为真B．(綈p)∨q为真C．p∧(綈q)为真D．(綈p)∧q为真[答案] C[分析] 先判断命题p、q的真假，再按照或、且、非的定义及真值表做出判断．[解析] ∵x∈R，∴2x>0,2－x>0，∴2x＋2－x≥2＝2，∴p为真命题；q为假命题(如y＝为奇函数，但其图象不过原点)，∴p∧q为假，(綈p)∨q为假，p∧(綈q)为真，(綈p)∧q为假，故选C.4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数9\nB．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数[答案] C[解析] “都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．5．(2012·安阳模拟)已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2[答案] A[解析] 由p∨q为假命题可知p和q都是假命题，即非p是真命题，所以m>－1；再由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立为假命题知m≥2或m≤－2，∴m≥2，故选A.6．(2011·广东省东莞市一模)已知命题p：∃x∈(－∞，0)，2x<3x；命题q：∀x∈(0，)，cosx<1，则下列命题为真命题的是( )A．p∧qB．p∨(綈q)C．(綈p)∧qD．p∧(綈q)[答案] C[解析] 在x∈(－∞，0)上，y＝2x的图象恒在y＝3x的上方，所以不存在这样的x使得2x<3x成立，命题p为假命题，命题q为真命题，所以(綈p)∧q为真命题，故选C.7．(2011·南京一调)设p：函数f(x)＝2|x－a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q：loga2<1.如果“非p”是真命题，“p或q”也是真命题，那么实数a的取值范围是________．[答案] (4，＋∞)[解析] ∵“非p”为真命题，∴p为假命题，又p或q为真命题，∴q为真命题．若a>1，由loga2<1知a>2，又f(x)＝2|x－a|在(a，＋∞)上单调递增，且p为假命题，∴a>4，因此得，a>4；若0<a<1，则p、q都是真命题，不合题意．综上，a的取值范围是(4，＋∞)．8．(2012·洛阳部分重点中学教学检测)给出下列命题：①y＝1是幂函数；②函数f(x)＝2x－log2x的零点有1个；③(x－2)≥0的解集为[2，＋∞)；9\n④“x<1”是“x<2”的充分不必要条件；⑤函数y＝x3是在O(0,0)处的切线是x轴．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．[答案] ④⑤[解析] y＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y＝2x与y＝log2x的图象，由两图象没有交点知函数f(x)＝2x－log2x没有零点，②错误；x＝1是不等式(x－2)≥0的解，③错误；x<1⇒x<2，而x<2⇒/x<1，④正确；y′＝(x3)′＝3x2，∴切线的斜率k＝0，过原点的切线方程为y＝0，⑤正确．9．(2011·长沙调研)下列结论：①若命题p：∃x∈R，tanx＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)[答案] ①③[解析] ①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧(綈q)为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.10．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．[解析] ∵“p且q”是真命题，∴p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，∵x∈[1,2]时，a≤x2恒成立，∴a≤1.若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≥1或a≤－2，综上知所求实数a的取值范围是a≤－2或a＝1.能力拓展提升11.(2012·合肥第一次质检)下列命题：①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；②若log2x＋logx2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题是真命题；9\n④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题q：∃x∈R，x2－x－1≤0，则命题p∧(綈q)是真命题．其中真命题为( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案] A[解析] 由x2＋2x>4x－3推得x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log2x＋logx2≥2成立需要log2x>0，∴x>1，故②正确；由a>b>0得0<<，又c<0，可得>，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p是真命题，命题q是真命题，所以p∧(綈q)为假命题，故④错误．所以选A.12．(2011·山东潍坊一模)下列命题中是真命题的是( )A．若向量a、b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若a<b，则>C．若b2＝ac，则a、b、c成等比数列D．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝成立[答案] D[解析] 对于A，当a⊥b时，a·b＝0也成立，此时不一定是a＝0或b＝0；对于B，当a＝0，b＝1时，该命题就不成立；对于C，b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件；对于D，因为sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[－，]，且∈[－，]，所以该命题正确．13．(2012·南昌市一模)已知a、b、c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a、b、c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有________个．[答案] 3[解析] a、b、c换成平面α、β、γ，则“α∥β且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题；a、b换成平面α、β，则“α∥β且c⊥α⇒c⊥β”是真命题；b、c换成平面β、γ，则“a∥β且a⊥γ⇒β⊥γ”是真命题；a、c换成平面α、γ，则“b∥α且α⊥γ⇒b⊥γ”是假命题．14．(文)(2012·南通市调研)已知命题p1：函数y＝ln(x＋)是奇函数，p2：函数y＝x为偶函数，则在下列四个命题：9\n①p1∨p2；②p1∧p2；③(綈p1)∨p2；④p1∧(綈p2)中，真命题的序号是________．[答案] ①④[解析] ∵ln(－x＋)＝ln＝－ln(x＋)，∴p1是真命题，又函数y＝x的定义域为{x|x≥0}，∴p2为假命题，∴綈p1假，綈p2真，∴p1∨p2真，p1∧p2假，(綈p1)∨p2假，p1∧(綈p2)真．(理)方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：①曲线C不可能为圆；②若1<t<4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1<t<.其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的序号)．[答案] ③④[解析] 显然当t＝时，曲线方程为x2＋y2＝，方程表示一个圆；而当1<t<4，且t≠时，方程表示椭圆；当t<1或t>4时，方程表示双曲线，而当1<t<时，4－t>t－1>0，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故选项为③④.15．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．(1)求证：“如果直线l过点T(3,0)，那么·＝3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解析] (1)证明：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2＝2x于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时，直线l与抛物线相交于点A(3，)、B(3，－)．∴·＝3.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)，其中k≠0.由得ky2－2y－6k＝0，则y1y2＝－6.又∵x1＝y，x2＝y，9\n∴·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝3.综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么·＝3”是真命题．(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2＝2x于A、B两点，如果·＝3，那么直线过点T(3,0)．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A(2,2)，B，此时·＝3，直线AB的方程为y＝(x＋1)，而T(3,0)不在直线AB上．16．已知命题p：在x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立；命题q：函数f(x)＝log(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．[解析] ∵x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立，∴a>＝－x在x∈[1,2]上恒成立，令g(x)＝－x，则g(x)在[1,2]上是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝1，∴a>1.即若命题p真，则a>1.又∵函数f(x)＝log(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数，∴u(x)＝x2－2ax＋3a是[1，＋∞)上的增函数，且u(x)＝x2－2ax＋3a>0在[1，＋∞)上恒成立，∴a≤1，u(1)>0，∴－1<a≤1，即若命题q真，则－1<a≤1.综上知，若命题“p∨q”是真命题，则a>－1.1．有四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2＋cos2＝9\np2：∃x、y∈R，sin(x－y)＝sinx－sinyp3：∀x∈[0，π]，＝sinxp4：sinx＝cosy⇒x＋y＝其中假命题的是( )A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p3，p4[答案] A[解析] ∀x∈R，sin2＋cos2＝1，故p1为假命题．∵∀x∈[0，π]，sinx≥0，∴＝|sinx|＝sinx，∴p3真，故选A.2．(2013·江西吉安一中上学期期中考试)下列命题中，不是真命题的为( )A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“x2＝9则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题[答案] D[解析] A中原命题为真命题，故逆否命题为真；B中逆命题为“正方形的四条边相等”，它是真命题；C中否命题为“若x2≠9，则x≠3”显然为真命题；D中逆命题为“若两个角相等，则这两个角互为对顶角”显然为假，故选D.3．命题甲：x,21－x,2x2成等比数列；命题乙：lgx，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由条件知甲：(21－x)2＝x·2x2，∴2(1－x)＝－x＋x2，解得x＝1或－2；命题乙：2lg(x＋1)＝lgx＋lg(x＋3)，9\n∴，∴x＝1，∴甲是乙的必要不充分条件．4．(2011·广州二测)已知p：k>3；q：方程＋＝1表示双曲线，则p是q的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] 由k>3得3－k<0，k－1>0，方程＋＝1表示双曲线，因此p是q的充分条件；反过来，由方程＋＝1表示双曲线不能得到k>3，如k＝0时方程＋＝1也表示双曲线，因此p不是q的必要条件．综上所述，p是q的充分不必要条件，选A.5．(2012·吉林延吉市一模)若非空集合A、B满足A⊆B，则( )A．∃x0∈A，使得x0∉BB．∀x∈A，有x∈BC．∃x0∈B，使得x0∉AD．∀x∈B，有x∈A[答案] B[解析] 由子集的定义知，若A⊆B，则对任意x∈A，有x∈B，故选B.6．(2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知命题p：∃x∈(0，)，sinx＝，则綈p为( )A．∀x∈(0，)，sinx＝B．∀x∈(0，)，sinx≠C．∃x∈(0，)，sinx≠D．∃x∈(0，)，sinx>[答案] B[解析] 特称命题的否定为全称命题，排除C、D；“＝”的否定为“≠”，排除A，故选B.7．(2011·泰安模拟)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－lnx－a≥0”与命题q：“∃x0∈9\nR，x＋2ax0－8－6a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是________．[答案] (－∞，－4]∪[－2，][解析] 若p真，则∀x∈[1,2]，(x2－lnx)min≥a，∵y＝x2－lnx的导数y′＝x－≥0在[1,2]上恒成立，∴当x＝1时，ymin＝，∴a≤；若q真，则(2a)2－4×(－8－6a)＝4(a＋2)(a＋4)≥0，∴a≤－4或a≥－2.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，]．9
