专题升级训练3 不等式、线性规划(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(∁UA)∩B＝( )．A．{x|x＞2或x＜0}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}2．若a，b∈R，且ab＞0.则下列不等式中，恒成立的是( )．A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2C．＋＞D．＋≥23．不等式x2－4＞3|x|的解集是( )．A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2012·江西九江模拟，理5)已知变量x，y满足x－4y≤－3，,3x＋5y≤25，,x≥1，设z＝ax＋y(a＞0)，若当z取得最大值时对应的点有无数个，则a的值为( )．A．B．C．D．5．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )．A．B．4C．D．56．设实数x，y满足不等式组若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是( )．A．14B．16C．17D．19二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．不等式≤3的解集为__________．8．设m＞1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为__________．9．若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是__________．三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．11．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的一个零点为x＝1，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率．(1)求a＋b＋c的值；(2)求的取值范围．12．(本小题满分16分)某化工厂为了进行污水处理，于2011年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元)；(2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？-4-\n参考答案一、选择题1．C2．D 解析：由ab＞0，可知a，b同号．当a＜0，b＜0时，B、C不成立；当a＝b时，由不等式的性质可知，A不成立，D成立．3．A 解析：由x2－4＞3|x|，得x2－3|x|－4＞0，即(|x|－4)(|x|＋1)＞0.∴|x|－4＞0，|x|＞4.∴x＞4或x＜－4.4．C 解析：因为当z取得最大值时对应的点有无数个，由可行域可知：目标函数所对应的直线与直线3x＋5y＝25平行，即－a＝－，所以a＝.故选C.5．C 解析：∵2y＝2＝(a＋b)＝5＋＋，又a＞0，b＞0，∴2y≥5＋2＝9，∴ymin＝，当且仅当b＝2a时取等号．6．B 解析：不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，设z＝3x＋4y，即y＝－x＋z，当该直线经过可行域时截距越小z就越小，由数形结合可知y＝－x＋z通过点(4,1)时截距最小，此时z的最小值为16.二、填空题7． 解析：由≤3得≤0，解得x＜0或x≥.8．3 解析：画出不等式组所对应的可行域(如图)．-4-\n由于z＝x＋5y，所以y＝－x＋z，故当直线y＝－x＋z平移至经过可行域中的N点时，z取最大值．由解得N.所以z＝x＋5y的最大值zmax＝＋＝.依题意有＝4.解得m＝3.9． 解析：因为不等式等价于(－a＋4)x2－4x＋1＜0，易知(－a＋4)x2－4x＋1＝0中的Δ＝4a＞0，且有4－a＞0，故0＜a＜4，解得＜x＜，＜＜，则{1,2,3}为所求的整数解集．所以3＜≤4，解得a的范围为.三、解答题10．解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组为或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为.由题设可得－＝－1，故a＝2.11．解：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝－1.(2)∵c＝－1－a－b，∴f(x)＝x3＋ax2＋bx－1－a－b＝(x－1)[x2＋(a＋1)x＋a＋b＋1]．从而另外两个零点为方程x2+(a+1)x+a+b+1=0的两根，且一根大于1，一根小于1而大于零，设g(x)＝x2＋(a＋1)x＋a＋b＋1，由根的分布知识画图可得-4-\n即作出可行域，如图所示，则＝表示可行域中的点(a，b)与原点连线的斜率k，直线OA的斜率k1＝－，直线2a＋b＋3＝0的斜率k2＝－2，∴k∈，即∈.12．解：(1)y＝，即y＝x＋＋1.5(x＞0)．(2)由均值不等式，得y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5(万元)，当且仅当x＝，即x＝10时取到等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．-4-
