专题升级训练2 平面向量、复数、框图及合情推理(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知i是虚数单位，则＝( )．A．1－2iB．2－iC．2＋iD．1＋2i2．在复平面内，复数所对应的点位于( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．阅读下面的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写( )．A．i＜3?B．i＜4?C．i＜5?D．i＜6?4．(2012·浙大附中3月月考，6)如果执行下面的程序框图，那么输出的S为( )．A．S＝3B．S＝C．S＝D．S＝－25．已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝2，则|b|＝( )．A．B．2C．5D．256．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )．-7-\nA．B．C．D．7．已知两点A(1,0)，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝，＝－2＋λ(λ∈R)，则λ＝( )．A．－B．C．－1D．18．(2012·杭师大附中高三月考，9)如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则·的值为( )．A．2B．12C．6D．5二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)9．(2012·浙江重点中学协作体高三调研，11)已知复数z满足＝3(i为虚数单位)，则复数z的实部与虚部之和为______．10．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα＋sin＋sin＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．11．已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5在实数集R上单调递增，则向量a，b的夹角的取值范围是__________．12．在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，·＋·＝·，则四边形ABCD的面积为__________．三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(本小题满分10分)A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若＝m＋(2m－3)(m∈R)，求的值．-7-\n14．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝，g(x)＝.(1)证明f(x)是奇函数；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明．15．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|＜m恒成立，求实数m的取值范围．16．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosθ，sinθ)和b＝(－sinθ，cosθ)，θ∈.(1)求|a＋b|的最大值；(2)若|a＋b|＝，求sin2θ的值．-7-\n参考答案一、选择题1．D 解析：∵＝＝＝1＋2i，∴选D.2．D 解析：z＝＝＝＝1＋2i，则＝1－2i，故选D.3．D 解析：i＝1，s＝2；s＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；s＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；s＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7.因输出s的值为－7，循环终止，故判断框内应填“i＜6？”，故选D.4．B 解析：由题图可知S1＝3，S2＝2－＝，S3＝2－＝，S4＝2－4＝－2，S5＝2＋1＝3，则有Sn＋4＝Sn，故S2010＝S2＝.5．C 解析：∵|a－b|2＝(a－b)2＝20，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝20.(*)又a＝(1,2)，a·b＝5，∴(*)式可化为5＋|b|2－10＝20，∴|b|2＝25，∴|b|＝5.6．A 解析：由“第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)”可知，第7行第1个数为，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为－＝，同理，第7行第3个数为－＝，第7行第4个数为－＝.7．B 解析：如图所示：∠AOC＝，根据三角函数的定义，可设C.∵＝－2＋λ，∴＝(－2,0)＋(λ，λ)，∴解得λ＝.8．D 解析：设∠OAB＝α，∠OAC＝β，OA＝R，则cosα＝，cosβ＝，从而·＝4Rcosα＝8，·＝2Rcosβ＝2，-7-\n则·＝(＋)·＝(·＋·)＝5，故选D.二、填空题9． 解析：由＝3，得z＝1＋i，则复数z的实部与虚部之和为.10．sinα＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝0 解析：由类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋与α＋的终边互为反向延长线，如图．11． 解析：依题意有f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b≥0对于任意的实数x恒成立，从而有Δ＝|a|2－4a·b≤0，即有a·b≥，则cos〈a，b〉＝＝≥＝，得0≤〈a，b〉≤.12． 解析：由＝＝(1,1)，可得||＝||＝且四边形ABCD是平行四边形，再由·＋·＝·可知D在∠ABC的角平分线上，且以及上单位边长为边的平行四边形的一条对角线长PB＝，因此∠ABC＝，所以AB＝BC，S▱ABCD＝AB·BC·sin∠ABC＝×sin＝.三、解答题13．解：由＝m＋(2m－3)(m∈R)，得＝m(－)＋(2m－3)，即(1－m)＝－m＋(2m－3)，因A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，则有－＋＝1，得m＝2.从而有＝2＋，即＝2，-7-\n则＝2.14．(1)证明：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝＝＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)解：计算知f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，于是猜测f(x2)－5f(x)g(x)＝0(x∈R且x≠0)．证明：f(x2)－5f(x)g(x)＝－5×·＝0.15．解：(1)∵a⊥b，∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝.(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8＝8＋8sin.又θ∈[0，π]，∴θ－∈.∴sin∈.∴|2a－b|2的最大值为16.∴|2a－b|的最大值为4.又|2a－b|＜m恒成立，∴m＞4.16．解：(1)a＋b＝(cosθ－sinθ＋，cosθ＋sinθ)，|a＋b|＝＝＝＝2.∵θ∈，∴≤θ＋≤，∴－≤cos≤.∴|a＋b|max＝.(2)由已知|a＋b|＝，得cos＝，sin2θ＝－cos2＝1－2cos2-7-\n＝1－2×＝.-7-
