专题升级训练2 平面向量、复数、框图及合情推理(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．(2012·江西南昌二模，文1)已知a∈R，且为纯虚数，则a等于( )．A．B．－C．1D．－12．阅读下面的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写( )．A．i＜3?B．i＜4?C．i＜5?D．i＜6?3．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于( )．A．－3B．－10C．0D．84．已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝2，则|b|＝( )．A．B．2C．5D．255．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )．-5-\nA．B．C．D．6．已知两点A(1,0)，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝，＝－2＋λ(λ∈R)，则λ＝( )．A．－B．C．－1D．1二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα＋sin＋sin＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．8．已知向量a，b满足|b|＝2，a＝(6，－8)，a在b方向上的投影是－5，则a与b的夹角为__________．9．在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，·＋·＝·，则四边形ABCD的面积为__________．三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)已知函数，.(1)证明f(x)是奇函数；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明．11．(本小题满分15分)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．(1)若a⊥b，求θ的值；(2)若|2a－b|＜m恒成立，求实数m的取值范围．12．(本小题满分16分)已知向量a＝(cosθ，sinθ)和b＝(－sinθ，cosθ)，θ∈.(1)求|a＋b|的最大值；(2)若|a＋b|＝，求sin2θ的值．-5-\n参考答案一、选择题1．D 解析：∵＝＝为纯虚数，∴∴a＝－1．2．D 解析：i＝1，s＝2；s＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；s＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；s＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7．因输出s的值为－7，循环终止，故判断框内应填“i＜6？”，故选D．3．D4．C 解析：∵|a－b|2＝(a－b)2＝20，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝20．(*)又a＝(1,2)，a·b＝5，∴(*)式可化为5＋|b|2－10＝20，∴|b|2＝25，∴|b|＝5．5．A 解析：由“第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)”可知，第7行第1个数为，由“其余每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为－＝，同理，第7行第3个数为－＝，第7行第4个数为－＝．6．B 解析：如图所示：∠AOC＝，根据三角函数的定义，可设C．∵＝－2＋λ，∴＝(－2,0)＋(λ，λ)，∴解得λ＝．二、填空题7．sinα＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝0 解析：由类比推理可知，四点等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋与α＋的终边互为反向延长线，如图．-5-\n8．120° 解析：由题意得，|a|·cos〈a，b〉＝－5，即cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝120°．9． 解析：由＝＝(1,1)，可得||＝||＝且四边形ABCD是平行四边形，再由·＋·＝·可知D在∠ABC的角平分线上，且以及上单位边长为边的平行四边形的一条对角线长PB＝，因此∠ABC＝，所以AB＝BC，SABCD＝AB·BC·sin∠ABC＝×sin＝．三、解答题10．(1)证明：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又，故f(x)是奇函数．(2)解：计算知f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，于是猜测f(x2)－5f(x)g(x)＝0(x∈R且x≠0)．证明：f(x2)－5f(x)g(x)＝．11．解：(1)∵a⊥b，∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝．又θ∈[0，π]，∴θ＝．(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2＝8＋8＝8＋8sin．又θ∈[0，π]，∴θ－∈．∴sin∈．∴|2a－b|2的最大值为16．∴|2a－b|的最大值为4．又|2a－b|＜m恒成立，∴m＞4．12．解：(1)a＋b＝(cosθ－sinθ＋，cosθ＋sinθ)，|a＋b|＝-5-\n＝＝＝2．∵θ∈，∴≤θ＋≤，∴－≤cos≤．∴|a＋b|max＝．(2)由已知|a＋b|＝，得cos＝，sin2θ＝－cos2＝1－2cos2＝1－2×＝．-5-
