专题一常以客观题形式考查的几个问题第2讲平面向量、复数、框图及合情推理真题试做3＋i1．(2012·浙江高考，文2)已知i是虚数单位，则＝()．1－iA．1－2iB．2－iC．2＋iD．1＋2i2．(2012·浙江高考，文7)设a，b是两个非零向量．()．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|3．(2012·辽宁高考，文10)执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是()．32A．4B．C．D．－123→4．(2012·天津高考，文8)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP＝→→→→→λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－2，则λ＝()．124A．B．C．D．23335．(2012·浙江高考，文13)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．-1-\n6．(2012·陕西高考，文12)观察下列不等式131＋＜，2221151＋＋＜，2223311171＋＋＋＜，2222344……照此规律，第五个不等式为________________．→→7．(2012·浙江高考，文15)在△ABC中，M是线段BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝__________.考向分析本部分内容在高考中通常以选择题、填空题的形式出现，属容易题或中档题，对平面向量的考查重点是应用或与其他知识的简单综合，出题频率较高；对复数的考查主要是复数概念、复数四则运算和复数的几何意义；对框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查学生对算法的理解；对合情推理的考查主要以归纳推理为主，考查学生的观察、归纳和类比能力．热点例析热点一平面向量的运算及应用【例1】(1)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(0,1)，|b|＝2，则|2a＋b|的值为__________．(2)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝__________.规律方法1．平面向量主要考查：(1)平行、垂直的充要条件；(2)数量积及向量夹角；(3)向量的模．2．解决此类问题的办法主要有：(1)利用平面向量基本定理及定义，选择恰当的基底；(2)建立坐标系通过坐标运算；(3)利用几何意义及平面几何知识．变式训练1已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC→→上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为__________．-2-\n热点二复数的概念与运算1＋ai【例2】(1)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为()．2－i11A．2B．－2C．－D．222－i(2)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()．2＋iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限规律方法1．处理有关复数的问题，首先要整理出实部、虚部，即写出复数的代数形式，然后根据定义解题；n*2．掌握复数的四则运算规律及i(n∈N)的结果．a＋2i变式训练2已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝()．iA．－1B．1C．2D．3热点三算法与程序框图【例3】执行下面的程序框图，若输入的N是6，则输出p的值是()．A．120B．720C．1440D．5040规律方法对本部分内容，首先搞清框图的运算功能，然后根据已知条件依次执行，找出变化规律，最终得出结果或将框图补充完整．1111变式训练3如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则空白框内应填入24620的条件是()．A．i＞10?B．i＜10?-3-\nC．i＞20?D．i＜20?热点四合情推理的应用【例4】在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类比以上结论有：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示__________．规律方法运用归纳推理得出一般结论时，要注意从等式、不等式的项数、次数、系数等多个方面进行综合分析，归纳发现其一般结论，若已给出的式子较少，规律不明显时，可多写出几个式子，发现其中的一般结论．思想渗透转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．本专题用到的转化与化归方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(3)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，→→→→14N，若AB＝mAM，AC＝nAN(m，n＞0)，则＋的最小值为()．mn9A．2B．4C．D．92→→11→→→AB＋AC1→－→1→解析：连接AO，则MO＝AO－AM＝－AB＝2mAB＋AC，2m211→－→1→同理NO＝2nAC＋AB.因为M，O，N三点共线，21111－→1→－→1→2nAC＋AB所以2mAB＋AC＝λ2，211λ1λλ－－→－＋→即2m2AB＋22nAC＝0.→→11λ1λλ由于AB，AC不共线，根据平面向量基本定理得－－＝0且－＋＝0，消掉λ即得2m222nm＋n＝2，14n4m141＋15＋＋19故＋＝(m＋n)mn＝mn≥×(5＋4)＝，当且仅当n＝2m时取等号．故选mn2222C．答案：C-4-\n3＋i1．(2012·浙江衢州二中一模，1)若复数z＝(i为虚数单位)，z为其共轭复数，则1－iz＝()．A．1－2iB．2－2iC．－1＋2iD．－2＋2i2．(2012·浙江名校交流卷2,7)设P为线段AB的垂直平分线上任意一点，若平面PAB内→→→→一点O满足|OA|＝4，|OB|＝2，则OP·AB＝()．A．1B．－1C．6D．－6→→→→→3．(2012·浙江第二次五校联考，8)设|AB|＝1，若|CA|＝2|CB|，则CA·CB的最大值为()．18＋52A．B．2C．D．33931131414．(2012·浙江高考冲刺卷Ⅱ，11)观察下列等式：×＝1－，×＋×＝221×2221×222×32131415111－，×＋×＋×＝1－，……由以上等式推测到一个一般的结论：22333×21×222×323×424×2*3141n＋21对于n∈N，×＋×＋…＋×＝__________.2n1×222×32nn＋125．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角θ＝120°，求|a＋b|.参考答案命题调研·明晰考向真题试做23＋i3＋i1＋i3＋3i＋i＋i2＋4i1．D解析：∵＝＝＝＝1＋2i，1－i1－i1＋i22∴选D.2222．C解析：由|a＋b|＝|a|－|b|两边平方可得，|a|＋2a·b＋|b|＝|a|－2|a||b|＋2|b|，即a·b＝－|a||b|，∴cos〈a，b〉＝－1，即a与b反向，根据向量共线定理，则存在实数λ，使得b＝λa.3．D解析：初始：S＝4，i＝1，2第一次循环：1＜6，S＝＝－1，i＝2；2－422第二次循环：2＜6，S＝＝，i＝3；2＋1323第三次循环：3＜6，S＝＝，i＝4；222－32第四次循环：4＜6，S＝＝4，i＝5；32－22第五次循环：5＜6，S＝＝－1，i＝6.2－46＜6不成立，此时跳出循环，输出S值，S值为－1.故选D.→→4．B解析：设AB＝a，AC＝b，∴|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝0.→→→→→→BQ·CP＝(AQ－AB)·(AP－AC)＝[(1－λ)b－a]·(λa－b)22＝－λa－(1－λ)b＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2，-5-\n2∴λ＝.3111115．解析：当i＝1时，T＝＝1，当i＝2时，T＝，当i＝3时，T＝2＝，当i＝4120126311111时，T＝6＝，当i＝5时，T＝24＝，当i＝6时，结束循环，输出T＝.2412012045111111111116．1＋＋＋＋＋＜解析：因为由前几个不等式可知1＋＋＋＋…＋＜222222222234566234n2n－1，n1111111所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.22222234566→→→→→→→2→→→→→→→27．－16解析：AB·AC＝(AM＋MB)·(AM＋MC)＝AM＋AM·MC＋AM·MB＋MB·MC＝|AM|→→→→→＋(MB＋MC)·AM＋|MB||MC|cosπ＝9－25＝－16.精要例析·聚焦热点热点例析222【例1】(1)23解析：|2a＋b|＝4a＋4a·b＋b＝4＋4×1×2cos60°＋4＝12.∴|2a＋b|＝23.(2)1解析：由于a＝(3，1)，b＝(0，－1)，所以a－2b＝(3，3)，而c＝(k，3)，且(a－2b)∥c，所以有3×3＝3×k，解得k＝1.【变式训练1】5解析：如图，设PC＝x，PD＝y.由于∠ADC＝∠BCD＝90°，22从而PA＝y＋4，PB＝x＋1.→→→→→→又PA＝PD＋DA，PB＝PC＋CB，→→→→→→∴PA·PB＝(PD＋DA)·(PC＋CB)→→→→→→→→＝PD·PC＋PD·CB＋DA·PC＋DA·CB＝－xy＋2，→→→→2因此|PA＋3PB|＝PA＋3PB→2→→→2＝PA＋6PA·PB＋9PB22＝y＋4＋6－xy＋2＋9x＋1222＝9x＋y－6xy＋25＝3x－y＋25≥5，当且仅当3x＝y时取最小值5.1＋ai1＋ai2＋i2－a＋2a＋1i【例2】(1)A解析：＝＝2－i2－i2＋i52－a2a＋12－a＝＋i为纯虚数，∴＝0，555∴a＝2.22－i2－i3－4i34(2)D解析：∵z＝＝＝＝－i，2＋i2＋i2－i555-6-\n∴复数z在复平面内对应的点在第四象限．a＋2i【变式训练2】B解析：∵＝b＋i，i∴a＋2i＝－1＋bi.∴a＝－1，b＝2.∴a＋b＝1.【例3】B解析：当k＝1，p＝1时，p＝p·k＝1,1＜6，满足；当k＝2，p＝1时，p＝p·k＝2,2＜6，满足；当k＝3，p＝2时，p＝p·k＝6,3＜6，满足；当k＝4，p＝6时，p＝p·k＝24,4＜6，满足；当k＝5，p＝24时，p＝p·k＝120,5＜6，满足；当k＝6，p＝120时，p＝p·k＝720,6＜6，不满足，输出p为720.1111【变式训练3】A解析：由表达式＋＋＋…＋的最后一项的分母为20可知，流程24620图中循环体退出循环时的n的值应当为22，i的值为11，其循环体共循环了10次，即判断框内可填的条件可以为n＞20？或i＞10？，故应选A.【例4】过原点的平面创新模拟·预测演练3＋i3＋i1＋i2＋4i1．A解析：z＝＝＝＝1＋2i，则z＝1－2i，故选A.1－i1－i1＋i2→→→→→→→2→→→2→22．D解析：由|AP|＝|BP|，得|OP－OA|＝|OP－OB|，平方得OP－2OP·OA＋OA＝OP－→→→2→→→→2OP·OB＋OB，即12＋2OP·AO＋2OP·OB＝0，→→→→→则OP·(AO＋OB)＝－6，即OP·AB＝－6.→→→3．B解析：设|CB|＝x，向量CA与CB的夹角为α，→→2则有CA·CB＝2xcosα.2→2→→222→→→→5x－1又1＝AB＝(CB－CA)＝4x＋x－2CA·CB，得CA·CB＝.2225x－125x－1从而有＝2xcosα，即cosα＝，224x25x－112则有－1≤≤1，解得≤x≤1，24x922－，2→→5x－1从而CA·CB＝∈9，故选B.2121,2,34．1－解析：等式右边减数的分母依次为2＝2×23×24×2，….(n＋1)·2n3141n＋211故得×＋×＋…＋×＝1－.2nn1×222×32nn＋12n＋1·2222225．解：|a＋b|＝a＋b＝a＋2a·b＋b＝a＋2|a||b|cos120°＋b＝1－224＋2×4×8×2＋8＝43.-7-
