专题升级训练11 空间几何体的三视图、表面积及体积(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是( )．A．①②B．①③C．③④D．②④2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )．3．在一个几何体的三视图中，正(主)视图和俯视图如图所示，则相应的侧(左)视图可以为( )． 4．(2012·北京丰台区三月模拟，5)若正四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是( )．A．4B．4＋4C．8D．4＋45．(2012·浙江宁波十校联考，12)已知某几何体的三视图如图所示，其中侧(左)视图是等腰直角三角形，正视图是直角三角形，俯视图ABCD是直角梯形，则此几何体的体积为( )．-7-\nA．1B．2C．3D．46．(2012·山东济南三月模拟，8)若一个螺栓的底面是正六边形，它的正(主)视图和俯视图如图所示，则它的体积是( )．A．27＋12πB．9＋12πC．27＋3πD．54＋3π7．(2012·浙江宁波模拟，13)已知一个正三棱锥的正(主)视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则其侧(左)视图的周长为( )．A．5＋B．5＋6C．6＋6D．3＋128．长方体的三条棱长分别为1，，，则此长方体外接球的体积与面积之比为( )．A．B．1C．2D．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)9．(2012·浙江宁波十校联考，15)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在半径为3的同一个球面上．若两圆锥的高的比为1∶2，则两圆锥的体积之和为__________．10．(2012·江苏南京二模，11)一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x＝6cm时，该容器的容积为__________cm3.-7-\n11．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为__________．12．(2012·浙江湖州中学模拟，16)底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E是侧棱AA1的中点，F是正方形ABCD的中心，则直线EF被球O所截得的线段长为__________．三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(本小题满分10分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．14．(本小题满分10分)斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB，AC都成45°角．(1)求这个三棱柱的侧面积；(2)求这个三棱柱的体积．15．(本小题满分12分)(2012·安徽安庆二模，18)如图，几何体ABC－EFD是由直三棱柱截得的，EF∥AB，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2，CD＝2AE＝.-7-\n(1)求三棱锥D－BCE的体积；(2)求证：CE⊥DB．16．(本小题满分12分)(2012·河北邯郸一模，19)已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝，O为AB的中点．(1)求证：EO⊥平面ABCD；(2)求点D到平面AEC的距离．-7-\n参考答案一、选择题1．D 解析：图①的三种视图均相同；图②的正(主)视图与侧(左)视图相同；图③的三种视图均不相同；图④的正(主)视图与侧(左)视图相同．2．A 解析：由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2，故选A.3．D 解析：由题目所给的几何体的正(主)视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示：可知侧(左)视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D.4．B5．D 解析：由三视图可得该几何体是四棱锥，记为棱锥P－ABCD，且PD⊥底面ABCD.从而此几何体的体积为××2×2＝4.6．C 解析：该螺栓是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，V总＝V正六棱柱＋V圆柱＝×32×6×2＋π×12×3＝27＋3π.7．A 解析：由正(主)视图可知正三棱锥的底边长为6，高为3，从而可得侧棱长为.而侧(左)视图是一个三角形，三条边分别是底面正三角形的高、侧棱和侧面等腰三角形底边上的高，其长度依次为3，和2，故侧(左)视图的周长为5＋.8．D二、填空题9．16π 解析：设两圆锥的高分别为h,2h，圆锥的底面圆半径为r，则r2＝2h2.又球的半径R＝＝3，则h＝2.故两圆锥的体积之和为V＝πr2(2h＋h)＝πr2h＝2πh3＝16π.10．4811． 解析：将直三棱柱沿侧棱A1A剪开，得平面图形如图所示，A′C1为定长，当A，M，C1共线时AM＋MC1最短，此时AM＝，MC1＝2.又在原图形中AC1＝，易知∠AMC1＝120°，∴＝××2×sin120°＝.12． 解析：O，E，F三点在平面ACC1A1内，且矩形ACC1A1-7-\n的外接圆是球的一个大圆．又EF∥A1C，设A到直线A1C的距离为d，则＝，得d＝，故圆心O到直线EF的距离为.又球的半径为，故直线EF被球O所截得的线段长为2＝.三、解答题13．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)．所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．14．解：(1)由题可知AA1⊥BC，S侧＝SBCC1B1＋2SABB1A1＝(1＋)ab.(2)设O为A1在平面ABC内的射影，则由题可知O在∠BAC的平分线上，可得AO＝(b·cos45°)÷cos30°＝b，则斜三棱柱的高A1O＝b，所以三棱柱的体积V＝·＝.15．(1)解：BC2＝AC2－AB2＝3⇒BC＝.几何体ABC－EFD是由直三棱柱截得，由图可知DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB.又∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∴AB⊥平面BDC.又EF∥AB，∴EF⊥平面BCD.故VD－BCE＝VE－BCD＝S△BCD·EF＝××××1＝.(2)证明：连接CF.依题意⇒⇒⇒EF⊥BD.①又在Rt△BCF和Rt△CDB中，＝＝，＝＝⇒＝-7-\n⇒Rt△BCF∽Rt△CDB⇒∠BDC＝∠BCF⇒∠BDC＋∠DCF＝∠BCF＋∠DCF＝90°⇒CF⊥BD.②由①②⇒BD⊥平面CEF.又CE⊂平面CEF，∴BD⊥CE.16．(1)证明：连接CO.∵AE＝EB＝，AB＝2，∴△AEB为等腰直角三角形．∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO＝1.又∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACB是等边三角形，∴CO＝.又EC＝2，∴EC2＝EO2＋CO2，∴EO⊥CO.又CO⊂平面ABCD，EO平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.(2)解：设点D到平面AEC的距离为h.∵AE＝，AC＝EC＝2，∴S△AEC＝.∵S△ADC＝，E到平面ACB的距离EO＝1，VD－AEC＝VE－ADC，∴S△AEC·h＝S△ADC·EO，∴h＝，∴点D到平面AEC的距离为.-7-
