专题能力训练11 空间几何体的三视图、表面积与体积(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.若一棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥D.圆锥的顶点与其底面圆周上的任意一点的连线都是母线2.(2022浙江台州实验中学模拟)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为( )A.8-B.8-C.8-2πD3.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图可能为( )4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A.90πB.63πC.42π7\nD.36π5.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )ABCD6.一只小球放入一长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点P到这三个面的距离分别为4,5,5,则这只小球的半径是( )A.3或8B.8或11C.5或8D.3或117.一正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为( )A.64πB.32πC.16πD.8π8.某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )A.4B.2CD.8二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.(2022浙江舟山模拟)已知正三角形ABC的边长为a,则△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为 . 10.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是cm3,则正视图中x的值是 cm,该几何体的表面积是 cm2. 11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ,表面积为 . 7\n12.所谓正三棱锥,指的是底面为正三角形,顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥,在正三棱锥S-ABC中,M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=2,则正三棱锥S-ABC的体积为 ,其外接球的表面积为 . 13.下面是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是 . 14.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=,AA1=3,M为线段BB1上的一动点,则当AM+MC1最小时,△AMC1的面积为 . 三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=30°.(1)求证:EF⊥PB;(2)试问:当点E在何处时,四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB的体积.16.7\n(本小题满分15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.参考答案专题能力训练11 空间几何体的三视图、表面积与体积1.D 解析A.如图(1)所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥,故A错误;B.如图(2)(3)所示,若△ABC不是直角三角形,或是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥,故B错误;C.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由过中心和定点的截面知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长,故C错误;D.根据圆锥母线的定义知本选项正确.故选D.2.A 解析由题意可知,该几何体为正方体内挖去一个圆锥,正方体的棱长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,则正方体的体积为V1=23=8,圆锥的体积为V2=·π·12·2=.故该几何体的体积为V=8-.3.D 解析由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面ACD⊥平面BCD.7\n4.B 解析由题意,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为6的圆柱截去一半后的图形和高为4的圆柱,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为V=×π×32×6+π×32×4=63π.故选B.5.B 解析由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉一半圆锥的组合体,其体积V=×2×2×2-π×1=.6.D 解析设小球球心为O,半径为r,点P所在的与底面平行的截面圆心为O1,O1O=d,则d=r-4,O1,O到与底面垂直的棱的距离为r,故点P到棱的距离为r+,且有化简得r2-14r+33=0,解得r=3或r=11.故选D.7.A 解析作PM⊥平面ABC于点M,则球心O在PM上,PM=6,连接AM,AO,则OP=OA=R.在Rt△OAM中,OM=6-R,OA=R,又AB=6,且△ABC为等边三角形,故AM==2,则R2-(6-R)2=(2)2,解得R=4,所以球的表面积S=4πR2=64π.8.D 解析由题中所给的三视图可知,该几何体如图所示,其底面为正方形,正方形的边长为2,HD=3,BF=1,将两个这样的几何体放在一起,可以构成一个高为4的长方体,所以该几何体的体积为×2×2×4=8.9. 解析作出正三角形ABC的实际图形和直观图如图①②,由图②可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=O'C'=a,所以S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2.10.2 解析由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的四棱锥,其直观图如右图所示,由棱锥的体积公式得×(1+2)×x=,解得x=2,侧面ADS,CDS,ABS为直角三角形,侧面BCS7\n是以BC为底的等腰三角形,所以该几何体的表面积为S=[(1+2)×+2×2+×2+1×+2×]=.11.40 32+16 解析由题中三视图可知该几何体是放倒的三棱柱去掉两个三棱锥后的组合体,底面是边长为4,8的矩形,两个侧面都是等腰梯形,上、下底边长为8,4;两侧面是全等的等腰三角形,底边长为4,三角形的高为.等腰梯形的高为.几何体的体积为×4×3×4+2××2×4×3=40,几何体的表面积为4×8+2××4×+2××(4+8)×=32+16.12. 12π 解析如图,由正三棱锥性质可知,SB⊥AC,又SB⊥AM,故SB⊥平面SAC.∴∠BSA=∠BSC=∠CSA=90°.由AB=2,可知SA=SB=SC=2.∴VS-ABC=VB-SAC=·S△SAC·SB=·22·2=,可以把三棱锥补成一个棱长为2的正方体,故其外接球的直径为2r=2,表面积为S=4πr2=12π.13.3 解析由三视图作出几何体的直观图(如图所示),计算可知AF最长,且AF==3.14. 解析将直三棱柱沿侧棱A1A剪开,得平面图形如图所示,A'C1为定长,当A,M,C1共线时AM+MC1最短,此时AM=,MC1=2.又在原图形中AC1=,易知∠AMC1=120°,故×2×sin120°=.15.(1)证明∵EF∥BC,且BC⊥AB,∴EF⊥AB,即EF⊥BE,BF⊥PE.又BE∩PE=E,∴EF⊥平面PBE.又PB⊂平面PBE,∴EF⊥PB.(2)解设BE=x,PE=y,则x+y=4.∴S△PEB=BE·PE·sin∠PEB=xy≤=1,当且仅当x=y=2时,S△PEB的面积最大.此时,BE=PE=2.由(1)知EF⊥平面PBE,∴平面PBE⊥平面EFCB.在平面PBE中,作PO⊥BE于O,则PO⊥平面EFCB.即PO为四棱锥P-EFCB的高.又PO=PE·sin30°=2×=1,SEFCB=×(2+4)×2=6,∴VP-BCFE=×6×1=2.7\n16.(1)证明由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=x,PE=x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=AB·AD·PE=x3.由题设得x3=,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为PA·PD+PA·AB+PD·DC+BC2sin60°=6+2.7
