专题能力训练11 空间几何体的三视图、表面积与体积(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,形成的三棱锥A-BCD的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( ) A.B.C.D.2.(2022浙江嘉兴教学测试(二),文2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.πB.C.D.3.如图,网格纸中的小正方形的边长均为1,图中粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积为( )A.+3+4)B.+3+8)C.+8)D.+2+8)4.(2022浙江温州二适,文4)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A.(18π-20)cm3B.(24π-20)cm3C.(18π-28)cm3D.(24π-28)cm35.正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为( )8\nA.64πB.32πC.16πD.8π6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6B.6C.4D.47.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.54B.60C.66D.72二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.(2022浙江温州三适应,文11)下面是某几何体的三视图(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm2,体积为 cm3. 9.(2022浙江绍兴教学质量检查,文11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱长为 ,体积为 . 8\n10.(2022浙江台州质检)已知正方形ABCD的边长为12,动点M(不在平面ABCD内)满足MA⊥MB,则三棱锥A-BCM的体积的取值范围为 . 11.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,侧面BCC1B1的面积为2,则直三棱柱ABC-A1B1C1外接球表面积的最小值为 . 三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)(2022陕西,文17)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.8\n13.(本小题满分15分)(2022课标全国Ⅰ,文18)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.14.(本小题满分16分)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=30°.(1)求证:EF⊥PB;(2)试问:当点E在何处时,四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB的体积.参考答案8\n专题能力训练11 空间几何体的三视图、表面积与体积1.D 解析:由正视图与俯视图可得三棱锥A-BCD的一个侧面与底面垂直,其侧视图是直角三角形,且直角边长均为,所以侧视图的面积为S=.故选D.2.D 解析:由题中所给的三视图可知,该几何体为一半圆锥,底面直径为2,半径为1,高为1,体积V=·π·12·1=.故选D.3.B 解析:根据三视图可知该几何体是底面为直角三角形的三棱锥,其表面积S=×3+×2×3++3+8).故选B.4.D 解析:由题中所给的三视图可知,该几何体为一个圆柱中间挖去了一个上、下底面为正方形且底面边长分别为4cm和2cm的棱台,由三视图可知,圆柱的底面半径为=2cm,则该几何体的体积为V=π·(2)2·3-(42++22)·3=(24π-28)cm3.故选D.5.A 解析:作PM⊥平面ABC于点M,则球心O在PM上,|PM|=6,连接AM,AO,则|OP|=|OA|=R.在Rt△OAM中,|OM|=6-R,|OA|=R,又|AB|=6,且△ABC为等边三角形,故|AM|==2,则R2-(6-R)2=(2)2,解得R=4,所以球的表面积S=4πR2=64π.6.B 解析:如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为D1G,D1G==6.8\n7.B 解析:根据几何体的三视图可得该几何体的直观图为如图所示的ABC-DEF,故其表面积为S=S△DEF+S△ABC+S梯形ABED+S梯形CBEF+S矩形ACFD=×3×5+×3×4+×(5+2)×4+×(5+2)×5+3×5=60.故选B.8.14+2 4 解析:由题中所给的三视图知,对应的几何体为如下图所示的三棱锥P-ABC,PC⊥平面ABC,PC=2,底面△ABC中,AC=5,AB=4,BC=3,所以AC2=AB2+BC2.所以AB⊥BC.所以PB⊥AB.在直角三角形PCB中,PB=,所以该几何体的表面积为×5×2+×3×2+×4×3+×4×=14+2,该几何体的体积为×4×3×2=4.9. 解析:由题中所给的三视图可知,该几何体是一个三棱锥,底面三角形是底边为2,高为1的等腰三角形,几何体的高为2,有一侧面与底面垂直,且该侧面是等腰三角形(如图).其最长的棱为PB=,体积为×2×1×2=.10.(0,144] 解析:因为动点M(不在平面ABCD内)满足MA⊥MB,所以动点M的轨迹是以AB的中点为球心,以6为半径的一个球面去除与平面ABCD相交的部分.因VA-BCM=VM-ABC=×S△ABC×h≤×6=144,故三棱锥A-BCM的体积的取值范围为(0,144].11.4π 解析:如图所示,设BC,B1C1的中点分别为E,F,则知三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心为线段EF的中点O,且BC·EF=2.设外接球的半径为R,则R2=BE2+OE2=×2BC·EF=1,当且仅当BC=EF=时取等号.故直三棱柱ABC-A1B1C1外接球表面积的最小值为4π×12=4π.8\n12.(1)解:由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC.∴四面体体积V=×2×2×1=.(2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH.∴FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形.13.(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)解:设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=x,GB=GD=.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=AC·GD·BE=x3=.故x=2.从而可得AE=EC=ED=.8\n所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.14.(1)证明:∵EF∥BC,且BC⊥AB,∴EF⊥AB,即EF⊥BE,EF⊥PE.又BE∩PE=E,∴EF⊥平面PBE.又PB⊂平面PBE,∴EF⊥PB.(2)解:设BE=x,PE=y,则x+y=4.∴S△PEB=BE·PE·sin∠PEB=xy≤=1,当且仅当x=y=2时,S△PEB的面积最大.此时,BE=PE=2.由(1)知EF⊥平面PBE,∴平面PBE⊥平面EFCB.在平面PBE中,作PO⊥BE于O,则PO⊥平面EFCB.即PO为四棱锥P-EFCB的高.又PO=PE·sin30°=2×=1,SEFCB=×(2+4)×2=6,∴VP-BCFE=×6×1=2.8
