专题升级训练18 随机变量及其分布列(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．已知P(ξ＝1)＝，P(ξ＝－1)＝，则D(ξ)等于( )．A．2 B．4 C．1 D．62．同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚正面向上的概率为( )．A．0.5B．0.25C．0.125D．0.3753．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )．A．B．C．D．4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )．A．B．C．D．5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )．A．B．C．D．6．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )．A．B．C．D．二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)的值为__________．8．连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1,2,3,4,5,6)，现定义数列an＝Sn是其前n项和，则S5＝3的概率是__________．9．毕业生小王参加人才招聘会，分别向A，B两个公司投递个人简历．假定小王得到A公司面试的概率为，得到B公司面试的概率为p，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝0时的概率P(ξ＝0)＝，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝__________.三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分15分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．11．(本小题满分15分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至5至9至13至17件及-5-\n4件8件12件16件以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)12．(本小题满分16分)“天宫一号”的顺利升空标志着我国火箭运载的技术日趋完善．据悉，担任“天宫一号”发射任务的是长征二号FT1火箭．为了确保发射万无一失，科学家对长征二号FT1运载火箭进行了170余项技术状态更改，增加了某项新技术．该项新技术要进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，，，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；(2)记该项技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．-5-\n参考答案一、选择题1．C 解析：E(ξ)＝1×＋(－1)×＝0，D(ξ)＝12×＋(－1)2×＝1.2．D 解析：掷3枚均匀硬币，设正面向上的个数为X，则X服从二项分布，即X～B，∴P(X＝2)＝··＝＝0.375.3．C 解析：事件A，B中至少有一件发生的概率是1－P(·)＝1－×＝.4．D 解析：由甲、乙两队每局获胜的概率相同，知甲每局获胜的概率为，甲要获得冠军有两种情况：第一种情况是再打一局甲赢，甲获胜概率为；第二种情况是再打两局，第一局甲输，第二局甲赢．则其概率为×＝.故甲获得冠军的概率为＋＝.5．B 解析：∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝.6．B 解析：记两个零件中恰有一个一等品的事件为A，则P(A)＝×＋×＝.二、填空题7． 解析：由题意知：解得∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.8． 解析：该试验可看作一个独立重复试验，结果为－1发生的概率为，结果为1发生的概率为，S5＝3即5次试验中－1发生一次，1发生四次，故其概率为4＝.9． 解析：由题意，得P(ξ＝2)＝p，P(ξ＝1)＝(1－p)＋p＝，ξ的分布列为ξ012Pp由＋＋p＝1，得p＝.所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×p＝.-5-\n三、解答题10．解：(1)由题意得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.所以X的分布列为X3456P(2)由(1)知E(X)＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝.11．解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋y＝35，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率，得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.12．解：(1)记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A，B，C，则事件“得分不低于8分”表示为ABC＋AC.∵ABC与AC为互斥事件，且A，B，C彼此独立，∴P(ABC＋AC)＝P(ABC)＋P(AC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＝××＋××＝.(2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数ξ的取值为0,1,2,3.∵P(ξ＝0)＝P()＝××＝，P(ξ＝1)＝P(A＋B＋C)-5-\n＝××＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝P(AB＋AC＋BC)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝，∴随机变量ξ的分布列为ξ0123P∴E(ξ)＝＋＋＝＝.-5-
