专题六 解析几何第2讲 椭圆、双曲线、抛物线真题试做1．(2012·江西高考，文8)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )．A．B．C．D．－22．(2012·湖南高考，文6)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )．A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝13．(2012·大纲全国高考，文10)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )．A．B．C．D．4．(2012·江西高考，文20)已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|＋|＝·(＋)＋2．(1)求曲线C的方程；(2)点Q(x0，y0)(－2＜x0＜2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是(0，－1)，l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．考向分析圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容．所占分数约在12～18分．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容．其中对圆锥曲线方程与性质的考查，多以选择题、填空题为主，如2012年湖南高考文6,2012年江西高考文8等题；对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常与其他知识结合，形成曲线中的存在性问题、曲线中的证明问题等，多以解答题的形式出现．预计在今后高考中，解析几何中的解答题仍将以直线与圆锥曲线为载体，继续与函数、方程、不等式、向量等知识结合，考查最值问题、范围问题、存在性问题以及有关的证明等，试题属于中、高档题，考查的思想方法主要有数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法．热点例析热点一 圆锥曲线的定义、性质与标准方程【例1】若椭圆＋＝1与双曲线－＝1(m，n，p，q均为正数)有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则|PF1|·|PF2|等于( )．A．p2－m2B．p－mC．m－pD．m2－p2规律方法1．求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法．而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2＋ny2＝1(mn≠0)，这样可以避免对参数的讨论．2．应特别重视圆锥曲线的定义在解题中的运用，若已知圆锥曲线上一点及焦点的相关信息，应首先要考虑使用圆锥曲线的定义来求解．3．在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a-12-\n的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．4．在双曲线中，由于e2＝1＋，故双曲线的渐近线与离心率密切相关．5．抛物线的几何性质的特点：有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴、无对称中心、没有渐近线，这里强调p的几何意义是焦点到准线的距离．变式训练1(1)(2012·江苏南京二模，6)已知双曲线－y2＝1的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率e＝__________．(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为__________．热点二 圆锥曲线的最值或定值问题【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1．如图所示，斜率为k(k＞0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝－3于点D(－3，m)．(1)求m2＋k2的最小值；(2)若|OG|2＝|OD|·|OE|，①求证：直线l过定点；②试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．规律方法1．求最值的常用方法(1)函数法，如通过二次函数求最值；(2)三角代换法，转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值；(3)不等式法，通过基本不等式求最值；(4)数形结合法等．2．定值问题的求解策略解这类问题常通过取参数和特殊值先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数．特别提醒：解决定值问题一定要分清哪些量为变量，哪些量为常量．变式训练2(2012·安徽安庆二模，20)已知，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，e＝，过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，且|AB|＝4．(1)求椭圆C的方程；(2)M，N是椭圆C上的两点，若线段MN被直线x＝1平分，证明：线段MN的中垂线过定点．热点三 圆锥曲线中的参数范围【例3】如图，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足＝2，·＝0，点N的轨迹为曲线E．-12-\n(1)求曲线E的方程；(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G，H(点G在点F，H之间)，且满足＝λ，求λ的取值范围．规律方法求参数范围的常用方法(1)函数法，用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．(2)不等式法，根据题意建立含参数的不等关系，通过解不等式求参数的范围．(3)判别式法，建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ≥0求参数的范围．(4)数形结合法，研究该参数所对应的几何意义，利用数形结合思想求解．特别提醒：直线与圆锥曲线相交(有两个交点)，联立方程消元后得方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则Δ＝b2－4ac＞0，求字母范围时易忽视此限制条件，从而产生增根．变式训练3已知点P(4,4)，圆C：(x－m)2＋y2＝5(m＜3)与椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)有一个公共点A(3,1)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．(1)求m的值与椭圆E的方程；(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围．热点四 开放性、探索性问题(存在性问题)【例4】在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q．(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．规律方法1．解决探索性问题应注意以下几点：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．2．存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在．(3)得出结论．-12-\n变式训练4如图，椭圆C：＋＝1的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，|A1B1|＝，＝．(1)求椭圆C的方程；(2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A，B两点的直线，||＝1．是否存在上述直线l使·＝1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．思想渗透分类讨论思想——解析几何中含参数的问题解析几何中含参数的问题类型：(1)当直线过定点设直线方程时，应对直线分斜率存在与不存在两种情况进行讨论；(2)求有关直线与圆锥曲线交点个数问题时，对参数的讨论；(3)求有关线段长度、图形面积的最值问题时，对解析式中含有的参数进行讨论；(4)对有关二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解时注意的问题：(1)求解有关含参数的问题时应结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类时应注意讨论的时机、标准、原因，做到不重不漏．(2)对参数的分类讨论，最后仍然分类写出答案；如果是对所求的字母进行分类求解，最后一般要整理得出并集．【典型例题】(2012·浙江高考，理21)如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．解：(1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得得所以椭圆方程为＋＝1．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M．当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，-12-\n由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，所以线段AB的中点M，因为M在直线OP上，所以＝，得m＝0(舍去)或k＝－．此时方程①为3x2－3mx＋m2－3＝0，则Δ＝3(12－m2)＞0，所以|AB|＝·|x1－x2|＝·．设点P到直线AB距离为d，则d＝＝．设△ABP的面积为S，则S＝|AB|·d＝·，其中m∈(－2，0)∪(0,2)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2，2]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－)(m－1＋)．所以当且仅当m＝1－时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－时，S取到最大值．综上，所求直线l方程为3x＋2y＋2－2＝0．1．(2012·江西八校联考，文10)设抛物线M：y2＝2px(p＞0)的焦点F是双曲线N：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若M与N的公共弦AB恰好过F，则双曲线N的离心率e的值为( )．A．B．＋1C．3＋D．22．(2012·河北邯郸一模，11)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，倾斜角为60°的直线l过点F且与抛物线的一个交点为A，|AF|＝3，则抛物线的方程为( )．A．y2＝3xB．y2＝xC．y2＝x或y2＝xD．y2＝3x或y2＝9x3．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )．A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝14．(2012·山东潍坊3月模拟，13)双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．-12-\n5．(2012·北京丰台3月模拟，10)已知抛物线y2＝8x上一点P到焦点的距离是6，则点P的坐标是__________．6．(2012·山东济南3月模拟，15)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为__________．7．(2012·山东济南3月模拟，22)已知中心在原点O，焦点F1，F2在x轴上的椭圆E经过点C(2,2)，且抛物线y2＝－4x的焦点为F1．(1)求椭圆E的方程；(2)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A，B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．B 解析：因为A，B为左，右顶点，F1，F2为左，右焦点，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c．又因为|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2．所以离心率e＝＝，故选B．2．A 解析：2c＝10，c＝5．∵点P(2,1)在直线y＝x上，∴1＝．又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5．故C的方程为：－＝1．3．C 解析：设|PF2|＝m，则|PF1|＝2m，由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，得2m－m＝2，∴m＝2．又2c＝2＝2×2＝4，∴由余弦定理可得：cos∠F1PF2＝＝．4．解：(1)由＝(－2－x,1－y)，＝(2－x,1－y)，得|＋|＝，·(＋)＝(x，y)·(0,2)＝2y，由已知得＝2y＋2，化简得曲线C的方程是x2＝4y．(2)直线PA，PB的方程分别是y＝－x－1，y＝x－1，曲线C在Q处的切线l的方程是y＝x－，且与y轴的交点为F，分别联立方程组解得D，E的横坐标分别是xD＝，xE＝，则xE－xD＝2，|FP|＝1－，故S△PDE＝|FP|·|xE－xD|＝··2＝，而S△QAB＝·4·＝，则＝2，即△QAB与△PDE的面积之比为2．精要例析·聚焦热点热点例析-12-\n【例1】C 解析：根据题意可知m＞n，由于点P是椭圆上的点，据椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝2．又点P在双曲线上，再据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2，将上述两式分别平方再相减得|PF1|·|PF2|＝m－p．【变式训练1】(1)(2)－＝1 解析：由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x得＝，∴b＝a．∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4．又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2．∴a2＝4，b2＝12．∴所求双曲线的方程为－＝1．【例2】解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋t(k＞0)，由题意知，t＞0．由方程组得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3t2－3＝0．由题意Δ＞0，所以3k2＋1＞t2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得x1＋x2＝－．所以y1＋y2＝．由于E为线段AB的中点，因此xE＝－，yE＝，此时kOE＝＝－．所以OE所在直线方程为y＝－x．又由题设知D(－3，m)，令x＝－3，得m＝，即mk＝1．所以m2＋k2≥2mk＝2．当且仅当m＝k＝1时上式等号成立．此时由Δ＞0得0＜t＜2．因此当m＝k＝1且0＜t＜2时，m2＋k2取最小值2．(2)①证明：由(1)知OD所在直线的方程为y＝－x，将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得G，又E，D，由距离公式及t＞0得|OG|2＝2＋2＝，-12-\n|OD|＝＝，|OE|＝＝，由|OG|2＝|OD|·|OE|得t＝k，因此直线l的方程为y＝k(x＋1)，所以直线l过定点(－1,0)．②由①得G，若B，G关于x轴对称，则B．代入y＝k(x＋1)，整理得3k2－1＝k，即6k4－7k2＋1＝0，解得k2＝(舍去)或k2＝1，所以k＝1．此时B，G关于x轴对称．又由(1)得x1＝0，y1＝1，所以A(0,1)．由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设△ABG的外接圆的圆心为(d,0)，因此d2＋1＝2＋，解得d＝－．故△ABG的外接圆的半径为r＝＝．所以△ABG的外接圆方程为2＋y2＝．【变式训练2】解：(1)∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴|AF2|＋|BF2|＝2|AB|．∴4a＝|AF2|＋|AF1|＋|BF2|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝3|AB|＝12．∴a＝3．又e＝＝，∴c＝1，b＝＝2．所求的椭圆方程为＋＝1．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(1，y0)，由题意，知，．两式相减，得＋＝0，∴kMN＝＝－＝－．∴线段MN的中垂线方程为y－y0＝(x－1)，易证，此直线过定点．【例3】解：(1)∵＝2，·＝0，∴NP为AM的垂直平分线，-12-\n∴|NA|＝|NM|．又∵|CN|＋|NM|＝2，∴|CN|＋|AN|＝2＞2，∴点N的轨迹是以点C(－1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为2a＝2，焦距2c＝2，∴a＝，c＝1，b2＝1，∴曲线E的方程为＋y2＝1．(2)当直线GH的斜率存在时，设直线GH的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程＋y2＝1，得x2＋4kx＋3＝0．由Δ＞0得k2＞．设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝．又∵＝λ，∴(x1，y1－2)＝λ(x2，y2－2)，∴x1＝λx2，∴x1＋x2＝(1＋λ)x2，x1x2＝λx2，∴2＝x2＝．∴2·2＝·，整理得＝．∵k2＞，∴4＜＜．∴4＜λ＋＋2＜，∴＜λ＜3．又∵0＜λ＜1，∴＜λ＜1．又当直线GH的斜率不存在，即其方程为x＝0时，＝，λ＝．∴≤λ＜1，即所求λ的取值范围是．【变式训练3】解：(1)点A坐标代入圆C方程，得(3－m)2＋1＝5．∵m＜3，∴m＝1．圆C：(x－1)2＋y2＝5．设直线PF1的斜率为k，则PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0．∵直线PF1与圆C相切，∴＝．-12-\n解得k＝，或k＝．当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去；当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．∴F1(－4,0)，F2(4,0)．2a＝AF1＋AF2＝5＋＝6，a＝3，a2＝18，b2＝2．椭圆E的方程为＋＝1．(2)＝(1,3)，设Q(x，y)，＝(x－3，y－1)，·＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6．∵＋＝1，即x2＋(3y)2＝18，而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴－18≤6xy≤18．则(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36]．x＋3y的取值范围是[－6,6]．∴·＝x＋3y－6的取值范围是[－12,0]．【例4】解：(1)由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1．整理得x2＋2kx＋1＝0．①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞．即k的取值范围为∪．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－．②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2，③而A(，0)，B(0,1)，＝(－2,1)，所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)．将②③代入上式，解得k＝．由(1)知k＜－或k＞，故没有符合题意的常数k．【变式训练4】解：(1)由|A1B1|＝知a2＋b2＝7，①＝知a＝2c，②又b2＝a2－c2，③由①②③解得a2＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1．(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，-12-\n假设使·＝1成立的直线l存在，①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝kx＋m，由l与n垂直相交于P点且||＝1，得＝1，即m2＝k2＋1．∵·＝1，||＝1，∴·＝(＋)·(＋)＝＋·＋·＋·＝1＋0＋0－1＝0，即x1x2＋y1y2＝0．将y＝kx＋m代入椭圆方程，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋(4m2－12)＝0，由求根公式可得x1＋x2＝，④x1x2＝．⑤0＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝x1x2＋k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，将④⑤代入上式并化简得(1＋k2)(4m2－12)－8k2m2＋m2(3＋4k2)＝0，⑥将m2＝1＋k2代入⑥并化简得－5(k2＋1)＝0，矛盾．即此时直线l不存在．②当l垂直于x轴时，满足||＝1的直线l的方程为x＝1或x＝－1，当x＝1时，A，B，P的坐标分别为，，(1,0)，∴＝，＝．∴·＝≠1．当x＝－1时，同理可得·≠1，即此时直线l也不存在．综上可知，使·＝1成立的直线l不存在．创新模拟·预测演练1．B 解析：由条件可知双曲线的半焦距e＝，则|AB|＝＝2p＝4c，即c2－a2＝2ac．设双曲线的离心率为e，则e2－2e－1＝0，故e＝＋1．2．D 解析：直线l方程为y＝．设A(x1，y1)，则y1＝．又根据抛物线定义，有x1＋＝3，∴x1＝3－．故A．将A点坐标代入抛物线方程，并整理有：4p2－24p＋27＝0，∴p1＝，p2＝．-12-\n故抛物线方程为y2＝3x或y2＝9x．3．C 解析：∵c＝1，故若使椭圆的离心率最大，则a最小，即在直线x－y＋3＝0上求一点M使|MF1|＋|MF2|最小，易求点F1关于直线x－y＋3＝0的对称点N为(－3,2)，∴|NF2|＝2．∴2a＝2，故所求椭圆方程是＋＝1．故选C．4．y＝±x 解析：c2＝a2＋1，由＝＝4得a＝．故渐近线方程为y＝±x＝±x．5．(4，±4) 解析：利用抛物线定义先求出P点的横坐标．6． 解析：设垂足为M．则△OFM为等腰直角三角形，设OF中点为N，利用MN＝ON＝OF，列出关于a，c的关系式即可解决．7．解：(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则＋＝1，①∵抛物线y2＝－4x的焦点为F1，∴c＝．②又a2＝b2＋c2，③由①②③得a2＝12，b2＝6．∴椭圆E的方程为＋＝1．(2)依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y＝－x＋m，代入椭圆E的方程，得3x2－4mx＋2m2－12＝0．由Δ＝16m2－12(2m2－12)＝8(18－m2)＞0，得m2＜18．A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝．圆P的圆心为，半径r＝|x1－x2|＝．当圆P与y轴相切时，r＝，则2x1x2＝，即＝，m2＝9＜18，m＝±3．当m＝3时，直线l方程为y＝－x＋3，此时，x1＋x2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆P的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4；同理，当m＝－3时，直线l方程为y＝－x－3，圆P的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4．-12-
