专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形真题试做1．(2012·重庆高考，理5)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )．A．－3B．－1C．1D．32．(2012·山东高考，理7)若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝( )．A.B.C.D.3．(2012·天津高考，理6)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝( )．A.B．－C．±D.4．(2012·湖北高考，理11)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.5．(2012·广东高考，理16)已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视．热点例析热点一 三角恒等变换及求值【例1】已知函数f(x)＝2cos2－sinx.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．规律方法明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键．三角恒等变换的常用策略有：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的分拆与角的配凑：①二倍角只是个相对概念，如是的二倍角，α＋β是的二倍角等；-10-\n②＝－，α＝(α－β)＋β等；③熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，cosα＝等．(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．(4)角的合成及三角函数名的统一：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ).变式训练1已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(x∈R，ω＞0)的最小正周期为6π.(1)求f的值；(2)设α，β∈，f＝－，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．热点二 三角函数、三角形与向量等知识的交会【例2】在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，m＝(2b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，且m∥n.(1)求角A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos的值域．规律方法以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)．(1)利用正弦定理将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值．(2)求角的大小一定要有两个条件：①是角的范围；②是角的某一三角函数值．用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性的应用．(3)三角形的内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性．在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值均为正值任意两角的和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方．变式训练2(2012·广东肇庆一模，理18)已知△ABC的面积为2，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝4,0°＜C＜90°.(1)求sin(A＋B)的值；(2)求cos的值；(3)求向量，的数量积·.热点三 正、余弦定理的实际应用【例3】某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB.现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段．现要求市中心O与AB的距离为10km，问把A，B分别设在公路上离市中心O多远处才能使A，B之间的距离最短？并求最短距离．(结果保留根号)规律方法(1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度．(2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用．(3-10-\n)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决．要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法．在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求．(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错．(5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．变式训练3如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α，前进mkm后在B处测得该岛的方位角为北偏东β，已知该岛周围nkm范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．思想渗透化归转化思想——解答三角恒等变换问题求解恒等变换问题的思路：一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心；(2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用；(3)结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等．【典型例题】(2012·福建高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解法一：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)-10-\n＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)＝1－cos2α－＋cos2α＝.1．已知cosx－sinx＝－，则sin＝( )．A.B．－C.D．－2．在△ABC中，如果0＜tanAtanB＜1，那么△ABC是( )．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．(2012·山东烟台适用性测试一，5)已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan2α的值为( )．A.B.C.D.4．(2012·江西南昌二模，5)已知cos＝－，则cosx＋cos的值是( )．A．－B．±C．－1D．±15．(2012·山东淄博一模，10)在△ABC中，已知bcosC＋ccosB＝3acosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，则cosB的值为( )．A.B．－C.D．－6．已知sinx＝，则sin2＝______.7．(2012·湖南长沙模拟，18)已知函数f(x)＝3sin2x＋2sinxcosx＋5cos2x.(1)若f(α)＝5，求tanα的值；(2)设△ABC三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，求f(x)在(0，B]上的值域．8．(2012·广东广州二模，16)已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为，.(1)求A和ω的值；(2)已知α∈，且sinα＝，求f(α)的值．参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．A 解析：因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，-10-\n所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，而tan(α＋β)＝＝＝－3，故选A.2．D 解析：由θ∈，得2θ∈.又sin2θ＝，故cos2θ＝－.故sinθ＝＝.3．A 解析：在△ABC中，由正弦定理：＝，∴＝，∴＝，∴cosB＝.∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝.4. 解析：∵由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，整理可得，a2＋b2－c2＝－ab，∴cosC＝＝＝－，∴C＝.5．解：(1)因为函数f(x)的最小正周期为＝10π，解得ω＝.(2)由(1)，可知f(x)＝2cos，∵－＝f＝2cos＝2cos＝－2sinα，∴sinα＝，cosα＝.∵＝f＝2cos＝2cosβ，∴cosβ＝，sinβ＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】解：(1)∵f(x)＝1＋cosx－sinx-10-\n＝1＋2cos，∴函数f(x)的最小正周期为2π.又∵－1≤cos≤1，∴函数f(x)的值域为[－1,3]．(2)∵f＝，∴1＋2cosα＝，即cosα＝－.∵＝＝＝，又∵α为第二象限角，且cosα＝－，∴sinα＝.∴原式＝＝＝.【变式训练1】解：(1)f(x)＝sinωx－cosωx＝2＝2sin.∵函数f(x)的最小正周期为6π，∴T＝＝6π，即ω＝.∴f(x)＝2sin.∴f＝2sin＝2sin＝.(2)f＝2sin＝2sinα＝－，∴sinα＝－.f(3β＋2π)＝2sin＝2sin＝2cosβ＝，-10-\n∴cosβ＝.∵α，β∈，∴cosα＝＝，sinβ＝－＝－.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.【例2】解：(1)由m∥n，得(2b－c)cosA－acosC＝0，∴(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，2sinBcosA＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB，在锐角三角形ABC中，sinB＞0，∴cosA＝，故A＝.(2)在锐角三角形ABC中，A＝，故＜B＜.∴y＝2sin2B＋cos＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B＝1＋sin2B－cos2B＝1＋sin.∵＜B＜，∴＜2B－＜.∴＜sin≤1，＜y≤2.∴函数y＝2sin2B＋cos的值域为.【变式训练2】解：(1)由absinC＝2，即×3×4sinC＝2，得sinC＝.∵A＋B＝180°－C，∴sin(A＋B)＝sin(180°－C)＝sinC＝.(2)由(1)，得sinC＝.∵0°＜C＜90°，∴cosC＝＝＝.∴cos2C＝2cos2C－1＝2×2－1＝.-10-\n∴sin2C＝2sinCcosC＝2××＝.∴cos＝cos2Ccos－sin2Csin＝×－×＝－.(3)∵||＝a＝3，||＝b＝4，设向量与所成的角为θ，则θ＝180°－C.∴·＝||·||cosθ＝abcos(180°－C)＝－abcosC＝－3×4×＝－4.【例3】解：在△AOB中，设OA＝a，OB＝b.因为OA为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB＝135°.又O到AB的距离为10，所以S△ABO＝absin135°＝|AB|·10，得|AB|＝ab.设∠OAB＝α，则∠OBA＝45°－α.因为a＝，b＝，所以ab＝·＝＝＝＝≥.当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以|AB|≥×＝20(＋1)．当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．所以，当a＝b＝＝10时，A，B之间的距离最短，且最短距离为20(＋1)km.即当A，B分别在OA，OB上离市中心O10km处时，能使A，B之间的距离最短，最短距离为20(＋1)km.【变式训练3】mcosαcosβ＞nsin(α－β)解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，所以∠AMB＝α－β.-10-\n由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90°－β)＝＞n，所以α与β满足mcosαcosβ＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．创新模拟·预测演练1．B 解析：由cosx－sinx＝2＝2＝2sin，可得sin＝－.2．C 解析：由题意0＜A＜π，0＜B＜π，tanAtanB＞0，则A，B两角为锐角，又tan(A＋B)＝＞0，则A＋B为锐角，则角C为钝角，故选C.3．B 解析：已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tanα＝，tan2α＝＝＝.4．C 解析：cosx＋cos＝cosx＋cosxcos＋sinxsin＝cosx＋sinx＝cos＝×＝－1.5．A 解析：因为bcosC＋ccosB＝3acosB，所以sinBcosC＋cosBsinC＝3sinAcosB，即sin(B＋C)＝3sinAcosB，即cosB＝.6．2－ 解析：sin2＝sin＝－cos2x＝－(1－2sin2x)＝2sin2x－1＝2×2－1＝3－－1＝2－.7．解：(1)由f(α)＝5，得3sin2α＋2sinαcosα＋5cos2α＝5，∴3·＋sin2α＋5·＝5.∴sin2α＋cos2α＝1，即sin2α＝1－cos2α2sinαcosα＝2sin2α，∴sinα＝0或tanα＝.∴tanα＝0或tanα＝.(2)由＝，得＝，则cosB＝，即B＝.又f(x)＝3sin2x＋2sinxcosx＋5cos2x＝sin2x＋cos2x＋4＝2sin＋4，-10-\n由0＜x≤，可得≤sin≤1，故5≤f(x)≤6，即所求值域是[5,6]．8．解：(1)∵函数f(x)的图象的最高点坐标为，∴A＝2.依题意，得函数f(x)的周期T＝2＝π，∴ω＝＝2.(2)由(1)得f(x)＝2sin.∵α∈，且sinα＝，∴cosα＝＝.∴sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝1－2sin2α＝－.∴f(α)＝2sin＝2＝.-10-
