第2讲 三角恒等变换与解三角形一、选择题1.已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α等于( )A.B.C.－D.－解析 ∵sinα＋2cosα＝，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝.用降幂公式化简得：4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝＝－.故选C.答案 C2.(2022·晋中模拟)已知α∈，sin＝，则cosα等于( )A.－B.C.－或D.－解析 ∵α∈.∴α＋∈.∵sin＝，∴cos＝－，∴cosα＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝－.答案 A3.钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )A.5B.C.2D.1解析 S△ABC＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2×1××＝5，∴AC＝.故选B.答案 B4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC5\n的面积是( )A.3B.C.D.3解析 c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝，故选C.答案 C5.已知tanβ＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sinα的值为( )A.B.C.D.或解析 依题意得sinβ＝，cosβ＝.注意到sin(α＋β)＝＜sinβ，因此有α＋β＞(否则，若α＋β≤，则有0＜β＜α＋β≤，0＜sinβ＜sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)＜sinβ”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝.答案 A二、填空题6.(2022·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________.解析 ∵cosA＝－，0＜A＜π，∴sinA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×＝64，∴a＝8.答案 87.(2022·南昌模拟)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________.解析 ∵sinA＋sinB＝2sinC.由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，5\ncosC＝＝＝≥＝，当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立.∴cosC的最小值为.答案 8.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米.解析 如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得＝.所以＝，得AD＝400(米).在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2·AC·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos150°＝4002×13，解得AC＝400(米).故索道AC的长为400米.答案 400三、解答题9.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sin的值.解 (1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.由正、余弦定理得a＝2b·.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2.5\n(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－.由于0＜A＜π，所以sinA＝＝＝.故sin＝sinAcos＋cosAsin＝×＋×＝.10.(2022·唐山模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csinB＝bcosC＝3.(1)求b；(2)若△ABC的面积为，求c.解 (1)由正弦定理得：sinCsinB＝sinBcosC.又sinB≠0，所以sinC＝cosC，∴C＝45°.又bcosC＝3，所以b＝3.(2)因为S△ABC＝acsinB＝，csinB＝3，所以a＝7，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝25.所以c＝5.11.(2022·山东卷)设f(x)＝sinxcosx－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值.解 (1)由题意知f(x)＝－＝－＝sin2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；5\n单调递减区间是(k∈Z).(2)由f＝sinA－＝0，得sinA＝，由题意知A为锐角，所以cosA＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立.因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为.5
