第六章 数 列第三讲 等比数列及其前n项和1.[2021陕西百校联考]已知等比数列{an}的公比为q,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则q的值( )A.12或2B.1或12C.2D.32.[2021安徽省四校联考]已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18,S3-a1=34,则S4=( )A.116B.18C.3116D.1583.[2020合肥三检][数学文化题]公元前1650年左右的埃及《莱因德纸草书》上载有如下问题:“十人分十斗玉米,从第二人开始,各人所得依次比前人少八分之一,问每人各得玉米多少斗?”在上述问题中,第一人分得玉米( )A.70×89810-1斗B.10×810810-710斗C.10×89810-710斗D.10×88810-710斗4.[2020南昌市测试]公比不为1的等比数列{an}中,若a1a5=aman,则mn不可能为( )A.5B.6C.8D.95.[2020成都市高三摸底测试]已知等比数列{an}的各项均为正数,若log3a1+log3a2+…+log3a12=12,则a6a7=( )A.1B.3C.6D.96.[2021四省八校联考]已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn=m-qn,若a5=-8a2,则S5= . 7.[2020大同市高三调研]已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= . 8.[2020全国卷Ⅲ,17,12分]设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.9.[条件创新]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1+λ3=Sn,a3=12,则实数λ的值为( )A.-34B.-14C.14D.310.[设问创新]已知等比数列{an}的前5项积为32,1<a1<2,则a1+a32+a54的取值范围为( )A.[3,72)B.(3,+∞)C.(3,72)D.[3,+∞)11.[2020成都市三诊]在等比数列{an}中,已知anan+1=9n,则该数列的公比是( )A.-3B.3C.±3D.912.设Tn为等比数列{an}的前n项之积,且a1=-6,a4=-34,则当Tn最大时,n的值为( )\nA.4B.6C.8D.1013.[2021四省八校联考]设无穷数列{an}的前n项和为Sn,有三个条件:①am+n=am·an,②Sn=an+1+1,a1≠0,③Sn=2an+1p(p是与n无关的参数),则从中选出两个条件,能使数列{an}为唯一确定的等比数列的条件是 . 14.[2020安徽省示范高中名校联考]设Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和,a1=3,若-a4,a3,a5成等差数列,则Sn与an的关系式为 . 15.已知公比q>1的等比数列{an}满足a52=a10,2(an+an+2)=5an+1.若bn=(n-λ)an(n∈N*),且数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范围是 . 16.[2020海南,18,12分]已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.(1)求{an}的通项公式;(2)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1.答案第六章 数 列第三讲 等比数列及其前n项和1.A 由题意知a1+a2+a3+a4=a1+14,且a2+a4=2(a3+1),两式联立,可解得a3=4,所以a2+a4=10,a2a4=a32=16,解得a2=2,a4=8或a2=8,a4=2,所以q=2或q=12,故选A.2.D 解法一 设等比数列{an}的公比为q(q>0且q≠1),∵a4=18,S3-a1=34,∴a1(1-q3)1-q-a1=34,a1q3=18,得a1=1,q=12,∴S4=1×(1-124)1-12=158.解法二 设等比数列{an}的公比为q(q>0且q≠1),∵S3-a1=a2+a3=a4q2+a4q=34,a4=18,∴q=12,∴a1=a4q3=1,S4=a1+a2+a3+a4=1+34+18=158.3.C 设第i个人分到的玉米斗数为ai(i=1,2,…,9,10),则{an}是公比为78的等比数列.由题意知a1[1-(78)10]1-78=10,所以a1=1081-(78)10=10×89810-710.故选C.4.B 由等比数列的性质可知,m+n=6,m∈N*,n∈N*,当m=n=3时,mn=9;当m=4,n=2时,mn=8;当m=5,n=1时,mn=5.故选B.5.D 因为等比数列{an}的各项均为正数,所以log3a1+log3a2+…+log3a12=log3(a1·a2·…·a12)=log3(a6a7)6=12,所以(a6a7)6=312=96,所以a6a7=9,故选D.\n6.33 由a5=-8a2得a1q4=-8a1q(a1≠0),解得q=-2,则Sn=a1(1-qn)1-q=a13-a13qn=m-qn,则a13=m=1,从而S5=1-(-2)5=33.7.52 各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=a23=5,a7a8a9=a83=10,则a4a5a6=a53=a23a83=52.8.(1)设{an}的公比为q,则an=a1qn-1.由已知得a1+a1q=4,a1q2-a1=8.解得a1=1,q=3.所以{an}的通项公式为an=3n-1.(2)由(1)知log3an=n-1.故Sn=n(n-1)2.由Sm+Sm+1=Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0.解得m=-1(舍去)或m=6.9.A 由条件得an+1+λ=3Sn,当n≥2时,an+λ=3Sn-1,两式相减,得an+1=4an,又a3=12,所以a2=3,a1=34,将n=1代入an+1+λ=3Sn,得a2+λ=3a1,得λ=-34.故选A.10.C 因为等比数列{an}的前5项积为32,所以a35=32,解得a3=2,则a5=a32a1=4a1,a1+a32+a54=a1+1+1a1,易知函数f(x)=x+1x在(1,2)上单调递增,所以a1+a32+a54∈(3,72),故选C.11.B 设{an}的公比为q,根据题意知a1a2=9,a2a3=92,所以9=a2a3a1a2=a3a1=q2⇒q=±3.又a1a2=a12q=9>0⇒q>0,所以q=3.12.A 设等比数列{an}的公比为q,∵a1=-6,a4=-34,∴-34=-6q3,解得q=12,∴an=-6×(12)n-1.∴Tn=(-6)n×(12)0+1+2+…+(n-1)=(-6)n×(12)n(n-1)2,当n为奇数时,Tn<0,当n为偶数时,Tn>0,故当n为偶数时,Tn才有可能取得最大值.∵T2k=36k×(12)k(2k-1),∴T2k+2T2k=36k+1×(12)(k+1)(2k+1)36k×(12)k(2k-1)=36×(12)4k+1,当k=1时,T4T2=98>1,当k≥2时,T2k+2T2k<1.∴T2<T4,T4>T6>T8>…,则当Tn最大时,n的值为4.故选A.13.①③ 在①中,令m=n=1,得a2=a12;在②中,Sn=an+1+1,当n≥2时,Sn-1=an+1,两式相减,得an=an+1-an,即an+1=2an;在③中,Sn=2an+1p,Sn+1=2an+1+1p,两式相减,得an+1=2an+1-2an,即an+1=2an.若选①②,则a2=a12,a1=a2+1,即a12=a1-1,a12-a1+1=0,Δ=(-1)2-4×1×1=-3<0,方程无解,故不能选①②作为条件;若选①③,则由an+1=2an知,数列{an}的公比为2,由a2=a12,a1=2a1+1p,a1+a2=2a2+1p,得a1=2,p=-12,所以数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列;若选②③作为条件,则无法确定首项,数列{an}不唯一,故不能选②③作为条件.综上所述,能使数列{an}为唯一确定的等比数列的条件是①③.14.Sn=2an-3 设等比数列{an}的公比为q,因为数列{an}的各项均为正数,所以q>0.由-a4,a3,a5成等差数列,得2a3=a5-a4,则q2-q-2=0,解得q=2,所以Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q=2an-a1,即Sn=2an-3.\n15.(-∞,3) 2(an+an+2)=5an+1⇒2q2-5q+2=0⇒q=2或q=12(舍去),a52=a10⇒(a1q4)2=a1q9⇒a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n,所以bn=(n-λ)2n(n∈N*),所以bn+1=(n+1-λ)·2n+1.因为数列{bn}是递增数列,所以bn+1>bn,所以(n+1-λ)2n+1>(n-λ)2n,化简得λ<n+2.因为n∈N*,所以λ<3.【核心素养】 试题设计步步紧扣,求等比数列通项公式的过程体现了数学运算核心素养,利用递增数列解题的过程则体现了逻辑推理核心素养.16.(1)设{an}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.由题设得a1=2.所以{an}的通项公式为an=2n.(2)由(1)可知an=2n,则(-1)n-1anan+1=(-1)n-1×2n×2n+1=8×(-4)n-1,记Tn=a1a2-a2a3+…+(-1)n-1anan+1,则Tn=8×(-4)0+8×(-4)1+…+8×(-4)n-1=8×1-(-4)n1-(-4)=85[1-(-4)n].
