课时提升练(二十八) 等比数列及其前n项和一、选择题1．(2022·重庆高考)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【解析】 设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，即a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.【答案】 D2．(2022·江西高考)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )A．－24B.0 C．12 D．24【解析】 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 A3．已知数列{an}，则“an，an＋1，an＋2(n∈N*)成等比数列”是“a＝anan＋2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 n∈N*时，an，an＋1，an＋2成等比数列，则a＝anan＋2，反之，则不一定成立，举反例．如数列为1,0,0,0，…，应选A.【答案】 A4．在等比数列中，已知a1aa15＝243，则的值为( )A．3B．9C．27D．81【解析】 设数列{an}的公比为q，∵a1·a15＝a，∴a1aa15＝a＝243，∴a8＝3.∴＝＝a＝9.4\n【答案】 B5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝( )A．3B．4C．5D．6【解析】 ∵得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，∴q＝＝4.【答案】 B6．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为( )A．12B．14C．15D．16【解析】 ∵a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4.∴q4＝2，又∵S4＝＝1，∴a1＝q－1，又∵Sn＝15，即＝15，∴qn＝16，而q4＝2，∴n＝16.【答案】 D二、填空题7．(2022·江苏高考)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．【解析】 因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.【答案】 48．在△ABC中，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，则B的取值范围是________．【解析】 因为sinA，sinB，sinC依次成等比数数列，所以sinAsinC＝sin2B，即ac＝b2，所以cosB＝＝＝－，所以cosB＝－≥－＝，所以0＜B≤，即B的取值范围是.【答案】 9．已知数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg(x1014\n＋x102＋…＋x200)＝________.【解析】 由lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)，得lgxn＋1－lgxn＝1，∴＝10，∴数列{xn}是公比为10的等比数列，∴xn＋100＝xn·10100，∴x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋x3＋…＋x100)＝10100，∴lg(x101＋x102＋…＋x200)＝lg10100＝100.【答案】 100三、解答题10．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.【解】 (1)∵S1＝a1＝1，且数列{sn}是以2为公比的等比数列．∴Sn＝2n－1当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.∴an＝(2)由(1)知，a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，4为公比的等比数列．∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝∴a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝1＋＝.11．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a＞0)，数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N*)．(1)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和；(2)当{bn}是公比为a－1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．【解】 (1)∵{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a＞0)，∴q＝a，从而an＝an－1，所以bn＝an·an＋1＝a2n－1，∴{bn}是首项为a，公比为a2的等比数列，当a＝1时，Sn＝n，当a≠1时，Sn＝＝.(2)数列{an}不能是等比数列．∵bn＝anan＋1，∴＝，4\n依题设＝a－1，则a3＝a1(a－1)＝a－1.假设{an}是等比数列，则a＝a1a3，∴a2＝1×(a－1)，但方程无实根．从而数列{an}不能为等比数列．12．(2022·南京模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．【解】 (1)证明：由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.由b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．(2)由(1)得，a2－a1＝1，a3－a2＝q，…，an－an－1＝qn－2(n≥2)，将以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋…＋qn－2(n≥2)，即an＝a1＋1＋q＋…＋qn－2(n≥2)．所以当n≥2时，an＝上式对n＝1显然成立．(3)由(2)得，当q＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1.由a3－a6＝a9－a3可得q5－q2＝q2－q8，由q≠0得q3－1＝1－q6，①整理得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2.于是q＝－.另一方面，an－an＋3＝＝(q3－1)，an＋6－an＝＝(1－q6)．由①可得an－an＋3＝an＋6－an，所以对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．4
