第六章 数 列第二讲 等差数列及其前n项和1.[2021嘉兴市高三测试]数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-n+a,n∈N*,则“a=0”是“数列{a2n}为等差数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.[2021南昌市高三测试]已知Sn为等差数列{an}的前n项和,3a3=5a2,S10=100,则a1=( )A.1B.2C.3D.43.[2021洛阳市统考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=7a1,则a5a2=( )A.2B.3C.32D.534.[2021江西红色七校联考]在等差数列{an}中,若a1+a2+a3=36,a11+a12+a13=84,则a5+a9=( )A.30B.35C.40D.455.[2021湖北省四地七校联考]在等差数列{an}中,已知a7>0,a3+a9<0,则数列{an}的前n项和Sn的最小值为( )A.S4B.S5C.S6D.S76.[2021陕西省部分学校摸底检测]数列{2an+1}是等差数列,且a1=1,a3=-13,那么a5=( )A.35B.-35C.5D.-57.[2021惠州市一调]《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466~485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同,已知第一日织布5尺,30日共织布390尺,则该女子织布每日增加的尺数为( )A.47B.1629C.815D.16318.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是( )A.a6B.a7C.a8D.a99.[2020大同市高三调研]若等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,且a11a10<-1,则Sn取正值时项数n的最大值为( )A.15B.17C.19D.2110.[2020武汉市六月模拟]已知数列{an}是等差数列,公差为d,Sn为数列{an}的前n项和,a1+a7=-2,S3=15.(1)求数列{an}的通项公式an;第4页共4页\n(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.11.[2021四省八校联考]已知公差非零的等差数列{an}满足|a3|=|a8|,则下列结论正确的是( )A.S11=0B.Sn=S11-n(1≤n≤10,n∈N*)C.当S11>0时,Sn≥S5D.当S11<0时,Sn≥S512.[2021河南郑州一中等名校联考][等差数列与向量综合]已知Sn,Tn分别为等差数列{an},{bn}的前n项和,SnTn=3n+24n+5,设点A是直线BC外一点,点P是直线BC上一点,且AP=a2+a4b3AB+λAC,则实数λ的值为( )A.2825B.-925C.325D.182513.[2020成都市三诊]设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=5,S5=10,且{Snn}是等差数列,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|的值为 . 14.[2021江苏省部分学校学情调研]记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.答案第二讲 等差数列及其前n项和1.A 因为Sn=n2-n+a,n∈N*,所以an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2,即an=a,n=12n-2,n≥2,所以a2n=4n-2,n∈N*,所以无论a为何值,数列{a2n}都为等差数列.所以“a=0”是“数列{a2n}为等差数列”的充分不必要条件,故选A.2.A 设等差数列{an}的公差为d,依题意3a3=5a2,S10=100,即3(a1+2d)=5(a1+d),10a1+45d=100,解得a1=1,d=2.故选A.3.A 设等差数列{an}的公差为d,因为S4=7a1,所以4a1+4×32d=7a1,即a1=2d,所以a5a2=a1+4da1+d=6d3d=2,故选A.4.C 解法一 设等差数列{an}的公差为d,则由题意可得,a1+(a1+d)+(a1+2d)=36,(a1+10d)+(a1+11d)+(a1+12d)=84,解得a1=525,d=85,所以a5+a9=(a1+4d)+(a1+8d)=2a1+12d=2×525+12×85=40,故选C.第4页共4页\n解法二 由a1+a2+a3=3a2=36,得a2=12,由a11+a12+a13=3a12=84,得a12=28,所以a5+a9=a2+a12=12+28=40,故选C.5.C 在等差数列{an}中,a3+a9=2a6<0,∴a6<0,又a7>0,∴数列{an}的公差d>0,首项a1<0,∴数列{an}的前n项和Sn的最小值为S6.故选C.6.B 解法一 令bn=2an+1,由已知得数列{bn}是等差数列,设其公差为d.因为a1=1,a3=-13,所以b1=2a1+1=1,b3=2a3+1=3,所以d=b3-b12=1,所以b5=b1+4d=5,即2a5+1=5,所以a5=-35,故选B.解法二 因为数列{2an+1}是等差数列,所以2a1+1+2a5+1=2×2a3+1,又a1=1,a3=-13,所以21+1+2a5+1=2×2-13+1,解得a5=-35,故选B.7.B 由题意可知该女子每日织布的数量成等差数列,记为{an},则a1=5.记{an}的前n项和为Sn,则S30=390.设{an}的公差为d,所以S30=30a1+30×292×d=30×5+30×292×d=390,解得d=1629,故选B.8.A 解法一 设数列{an}的公差为d(d≠0),因为4a3=3a2,所以4(a1+2d)=3(a1+d),所以a1=-5d,故an=a1+(n-1)d=(n-6)d.令(n-6)d=0,得n=6,故选A.解法二 设数列{an}的公差为d(d≠0),因为4a3=3a2,所以a3=-3d.又a3=a1+2d,所以a1=-5d,故an=-5d+(n-1)d.令an=0,得n=6,所以数列{an}中,a6=0.故选A.9.C 由等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,且a11a10<-1,可知等差数列{an}的公差d<0,a10>0,a11<0,且a11<-a10,则a10+a11<0.由a10>0,得2a10=a1+a19>0,所以S19>0,由a10+a11<0,得a1+a20=a10+a11<0,所以S20<0,所以Sn取正值时项数n的最大值为19,故选C.10.(1)解法一 ∵{an}是等差数列,公差为d,且a1+a7=-2,S3=15,∴2a1+6d=-2,3a1+3×22d=15,解得a1=8,d=-3,∴an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11,∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).解法二 ∵{an}是等差数列,∴2a4=a1+a7=-2,∴a4=-1.∵S3=15,∴3a2=15,∴a2=5.∵a4=a2+2d,即-1=5+2d,∴d=-3,∴an=5+(n-2)(-3)=-3n+11.∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).(2)令an≥0,则-3n+11≥0,∴3n≤11,∴n≤113,又n∈N*,∴当n≤3时,an>0;当n≥4时,an<0.∵a1=8,an=-3n+11,∴当n≤3时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=(8-3n+11)n2=n(19-3n)2,第4页共4页\n当n≥4时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+a3+(-a4-…-an)=2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)=2S3-Sn=2×15-n(19-3n)2=3n2-19n+602,∴Tn=n(19-3n)2,n≤3,3n2-19n+602,n≥4.11.C 因为数列{an}是公差非零的等差数列,且|a3|=|a8|,所以a1>0,d<0或a1<0,d>0,且a3=-a8,S10=10(a1+a10)2=5(a3+a8)=5(a5+a6)=0.所以a5,a6异号且均不为0.对于A,S11=S10+a11=11a6≠0,故A不正确;对于B,当n=1时,S1=a1≠0,S10=0,此时Sn≠S11-n,故B不正确;对于C,当S11>0时,11a6>0,a6>0,则a5<0,于是a1<0,d>0,数列{an}是递增数列,所以(Sn)min=S5,所以Sn≥S5,故C正确;对于D,当S11<0时,11a6<0,a6<0,则a5>0,于是a1>0,d<0,数列{an}是递减数列,所以(Sn)max=S5,所以Sn≤S5,故D不正确.综上,选C.12.B 因为P,B,C三点共线,所以a2+a4b3+λ=1,所以2a3b3+λ=1,a3b3=a1+a52×5b1+b52×5=S5T5=3×5+24×5+5=1725,所以2a3b3+λ=3425+λ=1,λ=-925,故选B.13.792 因为S11=5,S55=2,所以等差数列{Snn}的公差d=2-55-1=-34,所以Snn=5-34(n-1)=-34n+234⇒Sn=-34n2+234n.当n=1时,a1=5;当n≥2时,an=-32n+132.所以an=-32n+132,n∈N*.令an=-32n+132>0,得n<133,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-a7-a8-a9-a10=2(a1+a2+a3+a4)-a1-a2-a3-a4-a5-a6-a7-a8-a9-a10=2S4-S10=2(-34×16+234×4)-(-34×100+234×10)=792.14.(1)设{an}的公比为q,则an=a1·qn-1,由已知得a1+a1q=2,a1q2=S3-S2=-8,解得a1=-2,q=-2,所以{an}的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)得Sn=-2[1-(-2)n]1-(-2)=-23+23·(-2)n,所以Sn+1=-23+23·(-2)n+1=-23-43·(-2)n,Sn+2=-23+23·(-2)n+2=-23+83·(-2)n,则Sn+1+Sn+2=-43+43·(-2)n=2Sn,所以Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.15.2380 由xn+2+xn=2xn+1+3,得(xn+2-xn+1)-(xn+1-xn)=3,又x2-x1=4,所以数列{xn+1-xn}是首项为4、公差为3的等差数列,得xn+1-xn=4+(n-1)×3=3n+1,则当n≥2时,xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+(xn-2-xn-3)+…+(x2-x1)+x1=(3n-1)n2,得x40=(3×40-1)×402=2380.第4页共4页
