第四章 三角函数、解三角形第二讲 三角恒等变换1.[2021四省八校联考]若tan(θ-π4)=2,则sin2θ的值为( )A.-35B.-45C.35D.452.[2021江西红色七校第一次联考]若sin(α+π6)=13,则sin(2α+5π6)=( )A.79B.89C.13D.233.[2021河南省名校第一次联考]已知sin(α-π3)=-3cos(α-π6),则tan2α=( )A.-43B.-32C.43D.324.[2020石家庄二检]若cosα(1+3tan10°)=1,则α的一个可能值为( )A.70°B.50°C.40°D.10°5.[条件创新]已知角α为第一象限角,sinα=23,角β的终边与角α的终边关于x轴对称,则cos(β-2α)=( )A.73B.-73C.727D.596.[2021晋南高中联考]已知α∈(π2,3π2),sinα=45,则tan(α+π4)= . 7.[2021晋南高中联考]对任意两实数a,b,定义运算“*”:a*b=2a-2b,a≥b,2b-2a,a<b,则函数f(x)=sinx*cosx的值域为.8.[2020江苏,8,5分]已知sin2(π4+α)=23,则sin2α的值是 . 9.[2021浙江杭州二中、学军中学等五校联考]已知2+5cos2α=cosα,cos(2α+β)=45,α∈(0,π2),β∈(3π2,2π),则cosβ的值为( )A.-45B.44125C.-44125D.4510.若3sin2α-2sin2α=0,则cos(2α+π4)=( )A.-7210B.22或-7210C.-210或22D.2211.[角度创新]已知平面直角坐标系中,点A(1,3),B(a,b),其中点B在第一象限.若∠AOB=α,且cos2α=2sin(α-π4),则ba的值为( )\nA.2B.1C.12D.1312.[2020广东广州天河区一模]已知函数f(x)=sin(2x-π6),x∈(0,π),若方程f(x)=35的解为x1,x2(0<x1<x2<π),则sin(x1-x2)=( )A.-45B.-35C.-23D.-3313.[2020太原市模拟]已知α∈(0,π2),β∈(0,π2),且sin2α(1+sinβ)=cosβ(1-cos2α),则下列结论正确的是( )A.2α-β=π2B.2α+β=π2C.α+β=π2D.α-β=π214.[2021黑龙江省六校联考]已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,且α,β∈(0,π),则2α-β= . 15.[2020合肥模拟]已知函数f(x)=2cos(x+π4)cos(x-π4)+sinx,若对任意的实数x,恒有f(α1)≤f(x)≤f(α2),则cos(α1-α2)= . 16.[角度创新]若sin78°=m,则sin6°=( )A.m+12B.1-m2C.m+12D.1-m217.[向量与三角函数综合]已知向量a=(sin2α,1),b=(cosα,1),若a∥b,0<α<π2,则α= . 答案第四章 三角函数、解三角形第二讲 三角恒等变换1.A ∵tan(θ-π4)=tanθ-11+tanθ=2,∴tanθ=-3,∴sin2θ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=-6(-3)2+1=-35.故选A.2.A sin(2α+5π6)=sin[2(α+π6)+π2]=cos[2(α+π6)]=1-2sin2(α+π6)=1-2×(13)2=79,故选A.3.A 因为sin(α-π3)=-3cos(α-π6),所以12sinα-32cosα=-3×32cosα-3×12sinα,则2sinα=-3cosα,即tanα=-32,所以tan2α=2tanα1-tan2α=-31-34=-43,故选A.\n4.C cosα(1+3tan10°)=cosα(1+3sin10°cos10°)=cosα·cos10°+3sin10°cos10°=cosα·2sin(10°+30°)cos10°=1,即2sin40°cosα=cos10°=sin80°=2sin40°cos40°,所以cosα=cos40°,则α的一个可能值为40°,故选C.5.C 因为角α为第一象限角,sinα=23,所以cosα=1-sin2α=73,所以cos2α=2cos2α-1=59,sin2α=2sinαcosα=2149.又角β的终边与角α的终边关于x轴对称,所以角β为第四象限角,sinβ=-23,cosβ=73,由两角差的余弦公式可得cos(β-2α)=cosβ·cos2α+sinβsin2α=73×59+(-23)×2149=727.故选C.6.-17 由题知,cosα=-1-sin2α=-35,∴tanα=sinαcosα=-43,∴tan(α+π4)=1+tanα1-tanα=-17.7.[0,22] 由题知a*b=2|a-b|,则f(x)=sinx*cosx=2|sinx-cosx|=22|sin(x-π4)|∈[0,22].8.13 因为sin2(π4+α)=23,所以1-cos(π2+2α)2=23,1+sin2α2=23,得sin2α=13.9.B 由2+5cos2α=cosα结合二倍角公式可得,10cos2α-cosα-3=0,解得cosα=35或cosα=-12,因为α∈(0,π2),所以cosα=35,sinα=45,所以cos2α=cosα-25=-725,sin2α=2sinαcosα=2425,所以π2<2α<π.因为β∈(3π2,2π),所以2α+β∈(2π,3π),又cos(2α+β)=45,所以2α+β∈(2π,5π2),所以sin(2α+β)=35,所以cosβ=cos[(2α+β)-2α]=cos(2α+β)cos2α+sin(2α+β)sin2α=44125.故选B.10.B 由题可得3sinαcosα-sin2α=0,即sinα(3cosα-sinα)=0,所以sinα=0或tanα=3.又cos(2α+π4)=cos2αcosπ4-sin2α·sinπ4=22(cos2α-sin2α),所以当sinα=0时,即α=kπ,k∈Z,则cos(2α+π4)=cosπ4=22.当tanα=3时,cos(2α+π4)=22(1-tan2α1+tan2α-2tanα1+tan2α)=-7210.故选B.11.C 由cos2α=2sin(α-π4),得cos2α-sin2α=sinα-cosα,即(cosα+sinα+1)(sinα-cosα)=0.由于点B在第一象限,因而cosα+sinα+1≠0,故sinα-cosα=0,即tanα=1.如图D4-2-1,设∠AOx=β,则tanβ=3,所以ba=tan(β-α)=tanβ-tanα1+tanβtanα=3-11+3=12,故选C.图D4-2-1【易错警示】 本题的易错点是考生忽略已知条件“点B在第一象限”,从而不能确定cosα+sinα+1≠0,还有部分考生不能在平面直角坐标系中确定点B在点A的下方,导致考生可能会分两种情况求解ba的值.12.A 因为0<x<π,所以2x-π6∈(-π6,11π6).令2x-π6=π2+kπ(k∈Z),可得f(x)对称轴方程为x=π3+kπ2(k∈Z).因为方程f(x)=35的解为x1,x2(0<x1<x2<π),所以x1+x22=π3,所以x2=2π3-x1,所以sin(x1-x2)=sin(2x1-2π3)=-cos(2x1-π6).因为x1<x2,x2=2π3-\nx1,所以0<x1<π3,所以2x1-π6∈(-π6,π2).由f(x1)=sin(2x1-π6)=35,得cos(2x1-π6)=45,所以sin(x1-x2)=-45.故选A.13.A 由题可知,2sinαcosα(1+sinβ)=cosβ·2sin2α,因为α,β∈(0,π2),所以sinα≠0,所以cosα(1+sinβ)=cosβsinα,即cosα=sin(α-β),因为cosα=sin(π2+α)=sin(π2-α),所以α-β=π2+α(舍)或α-β=π2-α,即2α-β=π2,故选A.14.-3π4 易知tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β].因为tan(α-β)=12,所以tan2(α-β)=2tan(α-β)1-tan2(α-β)=43,故tan(2α-β)=tan2(α-β)+tanβ1-tan2(α-β)tanβ=1.由tanβ=-17∈(-33,0),知5π6<β<π,由tanα=tan[(α-β)+β]=13∈(0,33),知0<α<π6,所以2α-β∈(-π,-π2),故2α-β=-3π4.15.-14 因为f(x)=2(22cosx-22sinx)(22cosx+22sinx)+sinx=2(12cos2x-12sin2x)+sinx=1-2sin2x+sinx=-2(sinx-14)2+98,且f(x)对任意实数x恒有f(α1)≤f(x)≤f(α2),所以sinα1=-1,sinα2=14.则cosα1=0,cos(α1-α2)=cosα1cosα2+sinα1sinα2=-sinα2=-14.16.D 因为sin78°=m,所以cos12°=m,则sin26°=1-cos12°2=1-m2,又sin6°>0,所以sin6°=1-m2,故选D.17.π6 若a∥b,则sin2α-cosα=0,即2sinαcosα=cosα.又0<α<π2,∴cosα≠0,∴sinα=12,∴α=π6.
