第四章 三角函数、解三角形第二讲 三角恒等变换练好题·考点自测1.下列说法错误的是( )A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的B.存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立C.公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立D.存在实数α,使tan2α=2tanα2.[2020全国卷Ⅲ,9,5分]已知2tanθ-tan(θ+π4)=7,则tanθ=( )A.-2B.-1C.1D.23.[2021大同市调研测试]已知tanα2=3,则sinα1-cosα=( )A.3B.13C.-3D.-134.[2019全国卷Ⅱ,11,5分][文]已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( )A.15B.55C.33D.2555.[2020全国卷Ⅱ,13,5分][文]若sinx=-23,则cos2x= . 6.tan67.5°-tan22.5°= . 7.[2019江苏,13,5分]已知tanαtan(α+π4)=-23,则sin(2α+π4)的值是 . 拓展变式1.[2020全国卷Ⅲ,5,5分][文]已知sinθ+sin(θ+π3)=1,则sin(θ+π6)=( )A.12B.33C.23D.222.1+cos20°2sin20°-sin10°(1tan5°-tan5°)= . 3.已知α∈(0,π),化简:(1+sinα+cosα)·(cosα2-sinα2)2+2cosα= . 4.[2021陕西省部分学校摸底检测]数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m=5-12的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin18°,则m4-m22cos227°-1=( )A.4B.5+1C.2D.5-1\n5.[2021云南省部分学校统一检测]已知α为锐角,cosα=35,则tan(π4+α2)=( )A.13B.12C.2D.36.(1)已知α∈(0,π2),β∈(0,π2),tanα=cos2β1-sin2β,则( )A.α+β=π2B.α-β=π4C.α+β=π4D.α+2β=π2(2)已知α,β为锐角,且(1-3tanα)·(1-3tanβ)=4,则α+β= . 7.已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=3-12,则tanθ的值为 . 答案第四章 三角函数、解三角形第二讲 三角恒等变换1.C 对于C,只有当α,β,α+β都不等于kπ+π2(k∈Z)时,公式才成立,故C错误,选C.2.D 由已知得2tanθ-tanθ+11-tanθ=7,解得tanθ=2.3.B 因为tanα2=3,所以sinα1-cosα=2sinα2cosα21-(1-2sin2α2)=cosα2sinα2=1tanα2=13,故选B.4.B 因为2sin2α=cos2α+1,所以4sinαcosα=2cos2α.因为α∈(0,π2),所以cosα>0,sinα>0,所以2sinα=cosα,所以4sin2α=cos2α.又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+4sin2α=1,即sin2α=15,所以sinα=55.故选B.5.19 因为sinx=-23,所以由二倍角公式,得cos2x=1-2sin2x=1-2×(-23)2=19.6.2 由tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)得tan67.5°-tan22.5°=tan45°(1+tan67.5°tan22.5°)=tan45°(1+tan67.5°·1tan67.5°)=1×2=2.7.210 tanαtanα+11-tanα=tanα(1-tanα)tanα+1=-23,解得tanα=2或tanα=-13.当tanα=2时,sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45,cos2α=cos2α-sin2αsin2α+cos2α=1-tan2αtan2α+1=-35,此时sin2α+cos2α=15.同理当tanα=-13时,sin2α=-35,cos2α=45,此时sin2α+cos2α=15.所以sin(2α+π4)=22(sin2α+cos2α)=210.1.B ∵sinθ+sin(θ+π3)=32sinθ+32cosθ=3sin(θ+π6)=1,∴sin(θ+π6)=33,故选B.\n2.32 原式=2cos210°2×2sin10°cos10°-sin10°·(cos5°sin5°-sin5°cos5°)=cos10°2sin10°-sin10°·cos25°-sin25°sin5°cos5°=cos10°2sin10°-sin10°·cos10°12sin10°=cos10°2sin10°-2cos10°=cos10°-2sin20°2sin10°=cos10°-2sin(30°-10°)2sin10°=cos10°-2(12cos10°-32sin10°)2sin10°=3sin10°2sin10°=32.3.cosα 原式=(2cos2α2+2sinα2cosα2)·(cosα2-sinα2)4cos2α2.因为α∈(0,π),所以cosα2>0,所以原式=(2cos2α2+2sinα2cosα2)·(cosα2-sinα2)2cosα2=(cosα2+sinα2)·(cosα2-sinα2)=cos2α2-sin2α2=cosα.4.C ∵m=5-12=2sin18°,∴m4-m22cos227°-1=2sin18°4-4sin218°cos54°=2sin18°×2cos18°cos54°=2sin36°cos54°=2,故选C.5.D 解法一 因为α为锐角,且cosα=35,所以sinα=45,tanα2=sinα1+cosα=12.tan(π4+α2)=tanπ4+tanα21-tanπ4tanα2=1+121-12=3.故选D.解法二 因为α为锐角,且cosα=35,所以sinα=45,所以tanα=2tanα21-tan2α2=43,解得tanα2=12或tanα2=-2(舍去),所以tan(π4+α2)=tanπ4+tanα21-tanπ4tanα2=1+121-12=3.故选D.6.(1)B 解法一 已知等式可化为sinαcosα=cos2β1-sin2β,即sinα(1-sin2β)=cosαcos2β,整理得cosαcos2β+sinαsin2β=sinα,即cos(α-2β)=sinα.因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以α-2β∈(-π,π2).又cos(α-2β)=sinα>0,所以α-2β∈(-π2,π2).又cos(α-2β)=sin[(α-2β)+π2],且α-2β+π2∈(0,π),α∈(0,π2),所以α-2β+π2=α或α-2β+π2=π-α.当α-2β+π2=α时,β=π4,此时1-sin2β=0,已知等式无意义,不符合题意,舍去;当α-2β+π2=π-α时,α-β=π4.故选B.解法二 tanα=cos2β1-sin2β=cos2β-sin2βcos2β+sin2β-2sinβcosβ=(cosβ+sinβ)(cosβ-sinβ)(cosβ-sinβ)2=cosβ+sinβcosβ-sinβ=1+tanβ1-tanβ=tan(π4+β).因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以α=π4+β,即α-β=π4.故选B.(2)2π3 将(1-3tanα)(1-3tanβ)=4展开,得-3(tanα+tanβ)=3(1-tanα·tanβ),即tanα+tanβ1-tanαtanβ=tan(α+β)=-3,由于α,β为锐角,所以0<α+β<π,故α+β=2π3.7.-3 解法一 将sinθ+cosθ=3-12两边同时平方,得1+2sinθcosθ=1-32,即sinθcosθ=-34,易知θ≠π2.故sinθcosθ=sinθcosθsin2θ+cos2θ=tanθtan2θ+1=-34,解得tanθ=-3或tanθ=-33.∵θ∈(0,π),sinθcosθ=-34<0,∴θ∈(π2,π).由sinθ+cosθ=3-12>0可知sinθ>-cosθ,即|sinθ|>|cosθ|,故θ∈(π2,3π4),(题中隐含条件挖掘)\n则tanθ<-1,∴tanθ=-3.解法二 由sinθ+cosθ=3-12 ①,得sinθcosθ=-34<0,又θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ-cosθ>0.又(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1+32=(3+1)24,∴sinθ-cosθ=3+12 ②.联立①②,解得sinθ=32,cosθ=-12,∴tanθ=-3.【易错警示】 本题易错的地方是忽略对隐含条件“|sinθ|>|cosθ|”的挖掘,从而得到错误答案:tanθ=-3或tanθ=-33.
