第2讲 三角恒等变换与解三角形一、选择题1.已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α等于( )A.B.C.－D.－解析 ∵sinα＋2cosα＝，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝.用降幂公式化简得：4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝＝－.故选C.答案 C2.(2022·武汉模拟)已知α∈，sin＝，则cosα等于( )A.－B.C.－或D.－解析 ∵α∈，∴α＋∈.∵sin＝，∴cos＝－，∴cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝－.答案 A3.(2022·新课标全国Ⅱ卷)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )A.5B.C.2D.15\n解析 S△ABC＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2×1××＝5，∴AC＝.故选B.答案 B4.(2022·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝，且b<c，则b＝( )A.B.2C.2D.解析 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2.答案 C5.已知tanβ＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sinα的值为( )A.B.C.D.或解析 依题意得sinβ＝，cosβ＝.注意到sin(α＋β)＝＜sinβ，因此有α＋β＞(否则，若α＋β≤，则有0＜β＜α＋β≤，0＜sinβ＜sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)＜sinβ”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝.答案 A二、填空题6.(2022·济宁模拟)已知sin＋sinα＝－，－＜α＜0，则cos＝________.解析 ∵sin＋sinα＝－，－＜α＜0，∴sinα＋cosα＝－，5\n∴sinα＋cosα＝－，∴cos＝cosαcos－sinαsin＝－cosα－sinα＝.答案 7.(2022·安徽卷)在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝________.解析 由已知C＝60°，由正弦定理得＝，∴AC＝＝＝2.答案 28.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米.解析 如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得＝.所以＝，得AD＝400(米).在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2·AC·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos150°＝4002×13，解得AC＝400(米).故索道AC的长为400米.答案 400三、解答题9.(2022·江苏卷)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin2C的值.解 (1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC5\n＝.(2)由正弦定理知，＝，所以sinC＝·sinA＝＝.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cosC＝＝＝.因此sin2C＝2sinC·cosC＝2××＝.10.(2022·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan＝2.(1)求的值；(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积.解 (1)由tan＝2，得tanA＝.所以＝＝.(2)由tanA＝，A∈(0，π)，得sinA＝，cosA＝.又由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3.由sinC＝sin(A＋B)＝sin得sinC＝，设△ABC的面积为S，则S＝absinC＝9.11.(2022·四川卷)已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根.(1)求C的大小；(2)若AB＝3，AC＝，求p的值.解 (1)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，所以p≤－2，或p≥，由根与系数的关系，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p，于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0，5\n从而tan(A＋B)＝＝－＝－，所以tanC＝－tan(A＋B)＝，所以C＝60°.(2)由正弦定理，得sinB＝＝＝，解得B＝45°，或B＝135°(舍去)，于是A＝180°－B－C＝75°，则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋，所以p＝－(tanA＋tanB)＝－(2＋＋1)＝－1－.5
