专题检测（三）不等式一、选择题1.已知集合A＝{4，a}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4≥0}，若A∩(∁ZB)≠∅，则实数a的值为( )A.2 B.3C.2或6D.2或3解析：选D 因为B＝{x∈Z|x2－5x＋4≥0}，所以∁ZB＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}＝{x∈Z|1＜x＜4}＝{2，3}.若A∩(∁ZB)≠∅，则a＝2或a＝3，故选D.2.(2019·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为( )A.2B.3C.5D.6解析：选C 画出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝－4x＋y可得y＝4x＋z.设直线l0为y＝4x，平移直线l0，当直线y＝4x＋z过点A时z取得最大值.由得A(－1，1)，∴zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.3.若x>y>0，m>n，则下列不等式正确的是( )A.xm>ymB.x－m≥y－nC.>D.x>解析：选D A不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m可能为0或负数；B不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C不正确，因为m，n的正负不确定.故选D.4.已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜－2}，则不等式bx2－5x＋a＞0的解集为( )A.B.C.{x|－3＜x＜2}D.{x|x＜－3或x＞2}\n解析：选A 由题意得解得所以不等式bx2－5x＋a＞0为－6x2－5x－1＞0，即(3x＋1)(2x＋1)＜0，所以解集为，故选A.5.(2019·广州市调研测试)已知点A(2，1)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足设z＝·，则z的最大值是( )A.－6B.1C.2D.4解析：选D 法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示.z＝·＝2x＋y，作出直线2x＋y＝0并平移，可知当直线过点C时，z取得最大值.由得即C(1，2)，则z的最大值是4，故选D.法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域.z＝·＝2x＋y，易知目标函数z＝2x＋y的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(－3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(－3，0)代入z＝2x＋y，对应z的值为0，4，－6，故z的最大值是4，故选D.6.已知a∈R，不等式≥1的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为( )A.(－3，＋∞)B.(－3，2)C.(－∞，2)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2∉p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.7.若<<0，给出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④lna2>lnb2.其中正确的不等式的序号是( )A.①④B.②③C.①③D.②④\n解析：选C 法一：因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4>0，所以④错误，综上所述，可排除A、B、D，故选C.法二：由<<0，可知b<a<0.①中，因为a＋b<0，ab>0，所以<，故①正确；②中，因为b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；③中，因为b<a<0，又<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故③正确；④中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2>lna2，故④错误.由以上分析，知①③正确.8.已知∀x∈(1，＋∞)，不等式2x＋m＋＞0恒成立，则实数m的取值范围是( )A.m＞－10B.m＜－10C.m＞－8D.m＜－8解析：选A 原不等式可化为－m＜2x＋，令f(x)＝2x＋，x∈(1，＋∞)，则f(x)＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝10，当且仅当2(x－1)＝，即x＝3时，f(x)取得最小值10，因此要使原不等式恒成立，应有－m＜10，解得m＞－10，故选A.9.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.15万元B.16万元C.17万元D.18万元\n解析：选D 设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时取得最大值，由得∴M(2，3)，故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.10.已知函数f(x)＝若不等式f(x)＋1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为( )A.(－∞，0)B.[－2，2]C.(－∞，2]D.[0，2]解析：选C 由f(x)≥－1在R上恒成立，可得当x≤0时，2x－1≥－1，即2x≥0，显然成立；又x＞0时，x2－ax≥－1，即为a≤＝x＋，由x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，取得最小值2，可得a≤2，综上可得实数a的取值范围为(－∞，2].11.如果实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为( )A.1B.2C.3D.4解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.则A(1，2)，B(1，－1)，C(3，0)，因为目标函数z＝kx－y的最小值为0，所以目标函数z＝kx－y的最小值可能在A或B处取得，所以若在A处取得，则k－2＝0，得k＝2，此时，z＝2x－y在C点有最大值，z＝2×3－0＝6，成立；若在B处取得，则k＋1＝0，得k＝－1，此时，z＝－x－y，在B点取得最大值，故不成立，故选B.12.若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋－n2－＜0有解，则实数n的取值范围是( )A.B.∪(1，＋∞)\nC.(1，＋∞)D.解析：选B 因为不等式x＋－n2－＜0有解，所以＜n2＋，因为x＞0，y＞0，且＋＝1，所以x＋＝＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝5时取等号，所以＝，故n2＋－＞0，解得n＜－或n＞1，所以实数n的取值范围是∪(1，＋∞).二、填空题13.已知函数f(x)＝(x－1)(x＋b)为偶函数，则f(3－x)＜0的解集为________.解析：由函数f(x)＝x2＋(b－1)x－b是偶函数，得b－1＝0，b＝1，f(x)＝x2－1.f(3－x)＜0，即(3－x)2－1＜0，解得2＜x＜4.因此，不等式f(3－x)＜0的解集是(2，4).答案：(2，4)14.(2019·蓉城名校联考一)若∀x∈R，2x2－mx＋3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________.解析：根据题意知2x2－mx＋3＝0最多有一个实数根，所以Δ＝(－m)2－4×2×3≤0，得－2≤m≤2，故m的取值范围是[－2，2].答案：[－2，2]15.(2019·广州市调研测试)若x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最大值为________.解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋y2表示平面区域内的点到坐标原点O的距离的平方，则z＝x2＋y2的最大值在点A处取得.由得\n所以z＝x2＋y2的最大值为42＋32＝25.答案：2516.(2019·湖南岳阳期末改编)若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，＋的最小值为________.解析：本题考查基本不等式的应用.∵a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵＋＝·＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴＋的最小值为.答案：2
