专题检测（三）不等式与合情推理一、选择题1．(2019·石家庄市质量检测)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是( )A．a2<－ab B．|a|<|b|C．>D．a>b解析：选C 法一：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，a<b，∴A、B、D不一定成立．∵a>0>b，∴b－a<0，ab<0，∴－＝>0，∴>一定成立．故选C.法二：∵a>0>b，∴>0>，∴>一定成立．故选C.2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b＝( )A．1B．0C．－1D．－3解析：选D 由题意得，不等式x2－2x－3＜0的解集A＝(－1，3)，不等式x2＋x－6＜0的解集B＝(－3,2)，所以A∩B＝(－1,2)，即不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(－1,2)，所以a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.故选D.3．已知a∈R，不等式≥1的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为( )A．(－3，＋∞)B．(－3,2)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2∉p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.故选D.4．若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为( )A．(0，＋∞)B．[－1，＋∞)C．[－1,1]D．[0，＋∞)解析：选B 法一：当x＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－，又－≤－2，当且仅当x＝1时取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．故选B.法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a.当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；\n当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)．故选B.5．(2019·浙江高考)若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是( )A．－1B．1C．10D．12解析：选C 如图，不等式组表示的平面区域是以A(－1,1)，B(1，－1)，C(2,2)为顶点的△ABC区域(包含边界)．作出直线y＝－x并平移，知当直线y＝－x＋经过C(2,2)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋2×2＝10.故选C.6．(2019·长沙市统一模拟考试)若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( )A．2B．4C．6D．8解析：选B 法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号．故选B.法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．故选B.法三：由题意知a＝(b>1)，所以a＋b＝＋b＝2＋b－1＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．故选B.7．已知函数f(x)＝若不等式f(x)＋1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，0)B．[－2,2]C．(－∞，2]D．[0,2]解析：选C 由f(x)≥－1在R上恒成立，可得当x≤0时，2x－1≥－1，即2x≥0，显然成立；又x＞0时，x2－ax≥－1，即为a≤＝x＋，由x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，取得最小值2，可得a≤2，综上可得实数a的取值范围为(－∞，2]．故选C.8．(2019·赤峰模拟)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“我不应负主要责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是( )A．甲B．乙C．丙D．丁\n解析：选A ①假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故甲说的是假话；②假定乙说的是真话，则丁说“我不应负主要责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故乙说的是假话；③假定丙说的是真话，则甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故丙说的是假话．综上可得，丁说的是真话，甲、乙、丙三人说的均为假话，即乙、丙、丁不应负主要责任，甲负主要责任．故选A.9．(2019·江西八所重点中学联考)已知实数x，y满足，则z＝的最小值是( )A．B．2C．D．－2解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．目标函数z＝＝1＋，其中表示点P(－1，－3)和点(x，y)的连线的斜率．结合图象得目标函数z＝1＋在点A处取得最小值，由得即A(3，－2)，所以目标函数z的最小值为1＋＝.故选C.10．(2019·大庆模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A．2097B．2112C．2012D．2090解析：选C 当三角形在移动时，观察其规律，如果设三角形内部第一行的数为a∈Z*\n，则第二行的数为a＋7，a＋8，a＋9，其和为3(a＋8)，第三行的数为a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，其和为5(a＋16)，所以这九个数的和为S＝a＋3(a＋8)＋5(a＋16)＝9a＋104，代入到各个选项中看能否算出a即可．通过计算可得9a＋104＝2012时，a＝212.由图示规律知212位于第27行第4列，符合题意．故选C.11．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.15万元B．16万元C．17万元D．18万元解析：选D 设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时取得最大值，由解得∴M(2,3)，故z＝3x＋4y过点M(2,3)时取最大值，最大值zmax＝3×2＋4×3＝18.故选D.12．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋－n2－＜0有解，则实数n的取值范围是( )A.B．∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．解析：选B 因为不等式x＋－n2－＜0有解，所以min＜n2＋，因为x＞0，y＞0，且＋＝1，所以x＋＝＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝5时取等号，\n所以min＝，故n2＋－＞0，解得n＜－或n＞1，所以实数n的取值范围是∪(1，＋∞)．故选B.二、填空题13．不等式≥1的解集为________．解析：不等式≥1可转化成－1≥0，即≥0，等价于解得≤x＜2，故不等式的解集为.答案：14．若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．解析：由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2)，(1,1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)．由线性规划的知识可知，目标函数z＝x＋3y在点(2,2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmax＝2＋6＝8.答案：－2 815．(2019·洛阳市统考)已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．解析：∵＋＝1，∴2x＋y＝xy，∴xy＋x＋y＝3x＋2y，∵3x＋2y＝(3x＋2y)·＝7＋＋，且x>0，y>0，∴3x＋2y≥7＋4，∴xy＋x＋y的最小值为7＋4.答案：7＋416．(2019·北京高考改编)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.\n其中，所有正确结论的序号是________．解析：由x2＋y2＝1＋|x|y，当x＝0时，y＝±1；当y＝0时，x＝±1；当y＝1时，x＝0，±1.故曲线C恰好经过6个整点：A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，D(1,1)，E(－1,0)，F(－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y>0时，x2＋y2＝1＋|x|y＝1＋|xy|≤1＋，所以x2＋y2≤2，所以≤，故②正确．如图，由①知长方形CDFE面积为2，三角形BCE面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．答案：①②
