第八章 立体几何第一讲 空间几何体的结构、三视图、表面积和体积练好题·考点自测1.下列命题正确的是( )A.底面是矩形的平行六面体是长方体B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥C.棱台的相对侧棱延长后必交于一点D.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥2.[2020天津,5,5分]若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.12πB.24πC.36πD.144π3.[2018全国卷Ⅰ,7,5分][理]某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图8-1-1所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( )图8-1-1A.217B.25C.3D.24.[2018全国卷Ⅰ,10,5分]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为( )A.8B.62C.82D.835.[2020浙江,14,4分]已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是 . 6.[2020山东,16,5分]已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 . 7.[2019天津,11,5分][理]已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为 . 8.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图8-1-2所示).∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为 . \n图8-1-2拓展变式1.(1)已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面,设圆锥的底面半径为r,母线长为l,有以下结论:①l∶r=4∶3;②圆锥的侧面积与底面面积之比为4∶3;③圆锥的轴截面是锐角三角形.其中所有正确结论的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.①②③(2)如图8-1-5,已知正三棱柱的底面边长为2,高为5,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为 . 2.(1)[2020全国卷Ⅰ,10,5分][理]已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为( )A.64πB.48πC.36πD.32π(2)[数学探索]如图8-1-9所示,有两个相同的直三棱柱,高为2a,底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是 . 图8-1-93.(1)如图8-1-12所示,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( ) \nA.23B.33C.43D.32图8-1-12(2)[2018全国卷Ⅲ,10,5分][理]设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )A.123B.183C.243D.5434.(1)[2019全国卷Ⅰ,12,5分][理]已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为( )A.86πB.46πC.26πD.6π(2)[2020全国卷Ⅲ,15,5分][理]已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 . 5.[2020江苏,9,5分]如图8-1-19,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3. 图8-1-196.[2020全国卷Ⅰ,3,5分][理]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )\nA.5-14B.5-12C.5+14D.5+127.[2021山东部分重点中学综合测试]已知球O是正三棱锥P-ABC的外接球,AB=3,PA=23,E是AB的中点,过点E作球O的截面,则截面圆面积的最小值是 . 答案第一讲 空间几何体的结构、三视图、表面积和体积1.C 根据空间几何体的结构特征可知C正确.2.C 设外接球的半径为R,易知2R=3×23=6,所以R=3,于是表面积S=4πR2=36π,故选C.3.B 由三视图可知,该几何体为如图D8-1-1所示的圆柱.画出该圆柱的侧面展开图,如图D8-1-2所示,连接MN,则MS=2,SN=4,则从M到N的路径中最短路径为MN=MS2+SN2=22+42=25.故选B.图D8-1-1 图D8-1-24.C 连接BC1,因为AB⊥平面BB1C1C,所以∠AC1B=30°,AB⊥BC1,所以△ABC1为直角三角形.又AB=2,所以BC1=23.又B1C1=2,所以BB1=(23)2-22=22,故该长方体的体积V=2×2×22=82.5.1 解法一 设该圆锥的母线长为l,因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,其面积为2π,所以12πl2=2π,解得l=2,所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R,则2πR=2π,解得R=1.解法二 设该圆锥的底面半径为R,则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR.因为侧面展开图是一个半圆,设该半圆的半径为r,则πr=2πR,即r=2R,所以侧面展开图的面积为12πr2=2πR2=2π,解得R=1.6.2π2 如图D8-1-3,连接B1D1,易知△B1C1D1为正三角形,所以B1D1=C1D1=2.分别取B1C1,BB1,CC1的中点M,G,H,连接D1M,D1G,D1H,则易得D1G=D1H=22+12=5,D1M⊥B1C1,且D1M=3.由题意知G,H分别是BB1,CC1与球面的交点.在侧面BCC1B1内任取一点P,使MP=2,连接D\n1P,则D1P=D1M2+MP2=(3)2+(2)2=5,连接MG,MH,易得MG=MH=2,故可知以M为圆心,2为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线.由∠B1MG=∠C1MH=45°知∠GMH=90°,所以GH的长为14×2π×2=2π2.图D8-1-37.π4 由题意可得,四棱锥底面对角线的长为2,则圆柱底面的半径为12,易知四棱锥的高为5-1=2,故圆柱的高为1,所以圆柱的体积为π×(12)2×1=π4.8.2+22 在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,如图D8-1-4所示,则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=22.而四边形AECD为矩形,AD=1,∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC=22+1.由此可得到原图形如图D8-1-5所示.在原图形中,A'D'=1,A'B'=2,B'C'=22+1,且A'D'∥B'C',A'B'⊥B'C',∴这块菜地的面积S=12(A'D'+B'C')×A'B'=12×(1+22+1)×2=2+22.1.(1)A 设圆锥的母线长l=1.因为圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面,所以圆锥的侧面积为34π,又圆锥的底面半径为r,所以由2πr=34×2π得r=34,所以lr=43,故①正确;圆锥的侧面积与底面积之比为34ππ·(34)2=43,故②正确;设圆锥的轴截面三角形的顶角为θ,因为圆锥的底面直径为2×34=32,所以cosθ=12+12-(32)22×1×1=-18,所以角θ为钝角,所以圆锥的轴截面是钝角三角形,故③错误.故选A.\n(2)13 将正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面沿侧棱AA1展开,再拼接一次,示意图如图D8-1-6所示,在展开图中,最短距离是六个矩形形成的大矩形对角线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值,记为d.由已知求得矩形的长为6×2=12,宽为5,由勾股定理得d=122+52=13.图D8-1-62.(1)A 如图D8-1-7所示,设球O的半径为R,☉O1的半径为r,因为☉O1的面积为4π,所以4π=πr2,解得r=2,又AB=BC=AC=OO1,所以ABsin60°=2r,解得AB=23,故OO1=23,所以R2=OO12+r2=(23)2+22=16,所以球O的表面积S=4πR2=64π.故选A.(2)(0,153) 所给直三棱柱的底面积为6a2,侧面面积分别为6,8,10.当拼成三棱柱时有三种情况,如图D8-1-8①②③所示,其表面积分别为S1=2×6a2+2×(10+8+6)=12a2+48,S2=4×6a2+2×(10+8)=24a2+36,S3=4×6a2+2×(10+6)=24a2+32.当拼成四棱柱时有三种情况,如图D8-1-8④⑤⑥所示,表面积分别为S4=4×6a2+2×(8+6)=24a2+28,S5=4×6a2+2×(10+8)=24a2+36,S6=4×6a2+2×(10+6)=24a2+32.图D8-1-8由题意得24a2+28<12a2+48,解得0<a<153.故a的取值范围是(0,153).3.(1)A 如图D8-1-9所示,分别过A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,易求得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=32,S△AGD=S△BHC=12×22×1=24.\n∴VABCDEF=V三棱锥E-ADG+V三棱锥F-BHC+V三棱柱AGD-BHC=13×24×12+13×24×12+24×1=23.选A.图D8-1-9(2)B 如图D8-1-10所示,因为△ABC是正三角形,所以该三角形的外接圆(平面ABC截球面所得)的圆心就是三角形的中心M.图D8-1-10连接球心O与点M,则OM⊥平面ABC.所以点D到平面ABC的距离最大时,D为射线MO与球面的交点,此时DM⊥平面ABC.由题意知OD=OB=4,S△ABC=34AB2=93,所以AB=6.连接BM并延长交AC于点E,因为点M为△ABC的重心,所以BM=23BE=23,则在Rt△OBM中,OM=OB2-BM2=2,所以DMmax=OD+OM=4+2=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183.故选B.4.(1)D 因为点E,F分别为PA,AB的中点,所以EF∥PB,因为∠CEF=90°,所以EF⊥CE,所以PB⊥CE.取AC的中点D,连接BD,PD,易证AC⊥平面BDP,所以PB⊥AC,又AC∩CE=C,AC,CE⊂平面PAC,所以PB⊥平面PAC,所以PB⊥PA,PB⊥PC,因为PA=PB=PC,△ABC为正三角形,所以PA⊥PC,即PA,PB,PC两两垂直.将三棱锥P-ABC放在正方体中,如图D8-1-11所示.因为AB=2,所以该正方体的棱长为2,所以该正方体的体对角线长为6,\n图D8-1-11所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R=62,所以球O的体积V=43πR3=43π×(62)3=6π.(2)23π 易知半径最大的球即该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球O如图D8-1-12所示,设内切球的半径为R,则sin∠BPE=ROP=BEPB=13,所以OP=3R,所以PE=4R=PB2-BE2=32-12=22,所以R=22,所以内切球的体积V=43πR3=23π,即该圆锥内半径最大的球的体积为23π.图D8-1-125.123-π2 正六棱柱的体积为6×34×22×2=123(cm3),圆柱的体积为π×0.52×2=π2(cm3),则该六角螺帽毛坯的体积为(123-π2)cm3.6.C 设正四棱锥的高为h,底面正方形的边长为2a,斜高为m,依题意得h2=12×2a×m,即h2=am ①,易知h2+a2=m2 ②,由①②得m=1+52a,所以m2a=1+52a2a=1+54.故选C.7.9π4 设三棱锥P-ABC的外接球半径为R,正三角形ABC的外接圆圆心为O',连接PO',易知球心O在PO'上,连接O'A,OA,则PO'=3,(3)2+(3-R)2=R2,解得R=2,所以OO'=1.连接OE,O'E,过E作球O的截面,当截面与OE垂直时,截面圆的半径最小,此时截面圆的面积有最小值.易知O'E=32,在Rt△EO'O中,OE=1+(32)2=72,所以截面圆的半径为R2-OE2=32,所以截面圆面积的最小值为π×(32)2=9π4.
