第三章 导数及其应用第一讲 导数的概念及运算1.已知点P在曲线y=4(2x+1)ln2上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )A.[0,π4)B.[π4,π2)C.(π2,3π4]D.[3π4,π)2.[2021晋南高中联考]函数f(x)=ln2x-1x的图象在点(12,f(12))处的切线方程为( )A.y=6x-5B.y=8x-6C.y=4x-4D.y=10x-73.[条件创新]已知函数f(x)=(x2+m)ex(m∈R)的图象在x=1处的切线的斜率等于e,且g(x)=f(x)x,则g'(-1)=( )A.4eB.-4eC.e4D.-e44.[易错题]已知函数f(x)=f'(1)x2+2x+2f(1),则f'(2)的值为( )A.-2B.0C.-4D.-65.[2021石家庄市一检]原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外,主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成,这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后,会转变成稳定的原子,这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N02-t24,其中N0为t=0时钍234的含量.已知t=24时,钍234含量的瞬时变化率为-8ln2,则N(120)=( )A.12贝克B.12ln2贝克C.6贝克D.6ln2贝克6.[2020江西五校联考]已知曲线C:y=xex过点A(a,0)的切线有且仅有两条,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-4)∪(0,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)7.[2020福建五校联考]已知函数f(x)=ln(-x+1),x<0,x2+3x,x≥0,若f(x)-(m+2)x≥0,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,1]B.[-2,1]C.[0,3]D.[3,+∞)8.[2021洛阳市统考]已知直线y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点(1,3),则a3+b= . 第7页共7页\n9.[2021大同市调研测试]若曲线y=lnx+1的一条切线的方程是y=ax+b,则4a+eb的最小值是 . 10.[2021河北六校联考]已知函数f(x)=xlnx-12mx2(m∈R),g(x)=-x+1ex-2ex+e-1e.(1)若函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0平行,求m;(2)证明:在(1)的条件下,对任意x1,x2∈(0,+∞),f(x1)>g(x2)成立.11.[数学探索]已知函数f(x)=12ax2-ax+lnx的图象在点(x1,f(x1))处与点(x2,f(x2))(x1≠x2)处的切线均平行于x轴,则x1+x2+x1x2+f(x1)+f(x2)的取值范围是( )A.(-∞,-74-2ln2)B.(-74-2ln2,74-2ln2)C.(74-2ln2,+∞)D.(-74-2ln2,+∞)12.[2021南昌市高三测试]已知曲线C1:y=ex+m,C2:y=x2,若恰好存在两条直线l1,l2与曲线C1,C2都相切,则实数m的取值范围是( )A.(2ln2-2,+∞)B.(2ln2,+∞)C.(-∞,2ln2-2)D.(-∞,2ln2)13.[2020长春市第四次质量监测]函数f(x)=emx+e-mx+x2-mx(m∈R)的图象在点A(x1,f(x1)),B(-x1,f(-x1))处两条切线的交点P(x0,y0)一定满足( )A.x0=0B.x0=mC.y0=0D.y0=m14.[2021惠州市二调]已知实数a>0,函数f(x)=2x+a2x+alnx,x∈(0,10).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若x=1是函数f(x)的极值点,曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))(x1<x2)处的切线分别为l1,l2,且l1,l2在y轴上的截距分别为b1,b2,若l1∥l2,求b1-b2的取值范围.15.[2020唐山市摸底考试]已知函数f(x)=axsInx+bcosx,且曲线y=f(x)与直线y=π2相切于点(π2,π2).(1)求f(x);(2)若f(x)≤mx2+1,求实数m的取值范围.第7页共7页\n16.[角度创新]已知函数f(x)=ex,g(x)=lnx.(1)若曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=kx+b,且存在实数m,n,使得直线y-m=k(x+n)+b与曲线y=g(x)相切,求m+n的值;(2)若函数φ(x)=x+af(x)(g(x)-x)有零点,求实数a的取值范围.答案第一讲 导数的概念及运算1.D y=4(2x+1)ln2的导数为y'=4ln2·-2xln2(2x+1)2=-42x+12x+2,由2x+12x≥22x·12x=2(当且仅当x=0时取等号),得12x+12x+2∈(0,14],所以-42x+12x+2∈[-1,0),即tanα∈[-1,0),结合0≤α<π,可得3π4≤α<π.故选D.2.A f(12)=ln1-2=-2,因为f'(x)=1x+1x2,所以f'(12)=6,所以切线方程为y-(-2)=6(x-12),即y=6x-5,故选A.3.A 由题意得f'(x)=2xex+(x2+m)ex=(x2+2x+m)ex,f'(1)=(3+m)e,由题意得(3+m)e=e,所以m=-2,所以f(x)=(x2-2)ex.解法一 所以g(x)=f(x)x=(x-2x)ex,g'(x)=(1+2x2)ex+(x-2x)ex,所以g'(-1)=4e.解法二 f'(x)=(x2+2x-2)ex,f(-1)=-1e,所以f'(-1)=-3e,又g'(x)=xf'(x)-f(x)x2,所以g'(-1)=4e.第7页共7页\n4.D 因为f'(x)=2f'(1)x+2,所以f'(1)=2f'(1)+2,解得f'(1)=-2,所以f'(x)=-4x+2,所以f'(2)=-6,故选D.5.A 因为N(t)=N0·2-t24,所以N'(t)=N0·2-t24·ln2·(-124)=-N024·ln2·2-t24,因为当t=24时,钍234含量的瞬时变化率为-8ln2,即N'(24)=-8ln2,所以-N024ln2×2-1=-8ln2,所以N0=384,即N(t)=384×2-t24,所以N(120)=384×2-12024=38432=12,故选A.6.A 对函数y=xex求导得y'=ex+x·ex=(1+x)ex.设切点坐标为(x0,x0ex0),则曲线y=xex过点A(a,0)的切线的斜率k=(1+x0)ex0=x0ex0x0-a,化简得x02-ax0-a=0.依题意知,上述关于x0的二次方程有两个不相等的实数根,所以Δ=(-a)2-4×1×(-a)>0,解得a<-4或a>0.故选A.7.B 令g(x)=x2+3x(x≥0),则g'(x)=2x+3,所以g'(0)=3,所以函数g(x)的图象在原点处的切线方程为y=3x,故函数f(x)的图象在原点处的切线方程为y=3x.如图D3-1-1,画出函数f(x)的图象,切线y=3x,以及直线y=(m+2)x,分析可知,为满足f(x)-(m+2)x≥0,即f(x)≥(m+2)x,则0≤m+2≤3,解得-2≤m≤1.故选B.图D3-1-18.2 因为(x3+ax+b)'=3x2+a,所以3×12+a=2,13+a×1+b=3,解得a=-1,b=3,所以a3+b=2.9.4 y'=1x,设切点坐标为(x0,y0)(x0>0),则y0=lnx0+1,y0=ax0+b,a=1x0,所以b=lnx0,所以4a+eb=4x0+x0≥24x0·x0=4,当且仅当x0=2时取“=”,故4a+eb的最小值为4.10.(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1-mx,f'(1)=1-m,因为f(x)的图象在(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0平行,所以1-m=1,即m=0.(2)在(1)的条件下,f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1,当x∈(0,1e)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1e,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)=xlnx在x=1e时取得最小值f(1e)=-1e,所以f(x1)≥-1e.g(x)=-x+1ex-2ex+e-1e,则g'(x)=xex-2e,令h(x)=g'(x)=xex-2e,x>0,则h'(x)=1-xex,所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减.所以当x>0时,g'(x)≤g'(1)=h(1)=-1e,第7页共7页\n因为g'(x)≤-1e<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x2)<g(0)=-1e.所以对任意x1,x2∈(0,+∞),f(x1)>g(x2).11.A 函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ax-a+1x=ax2-ax+1x,则根据导数的几何意义知x1,x2是方程ax2-ax+1=0的两个不等正根,则Δ=a2-4a>0,x1x2=1a>0,x1+x2=1,则a>4.令h(a)=x1+x2+x1x2+f(x1)+f(x2)=1+1a+lnx1+12ax12-ax1+lnx2+12ax22-ax2=1+1a+ln1a+12a(1-2a)-a=-12a-lna+1a.易知函数h(a)=-12a-lna+1a在(4,+∞)上单调递减,则h(a)<h(4)=-74-2ln2,所以x1+x2+x1x2+f(x1)+f(x2)的取值范围是(-∞,-74-2ln2),故选A.12.C 解法一 设直线l与曲线C1和曲线C2都相切,且与曲线C1:y=ex+m相切于点(x0,ex0+m),因为(ex+m)'=ex+m,所以直线l的斜率为ex0+m,故直线l的方程为y-ex0+m=ex0+m(x-x0),即y=ex0+mx+(1-x0)·ex0+m.由y=ex0+mx+(1-x0)·ex0+m,y=x2,消去y并化简得x2-ex0+mx-(1-x0)·ex0+m=0,则其判别式Δ=(-ex0+m)2+4(1-x0)·ex0+m=0,由于ex0+m>0,所以ex0+m+4(1-x0)=0,即ex0+m-4x0+4=0.依题意可知关于x0的方程ex0+m-4x0+4=0有两个不同的根.构造函数g(x)=ex+m-4x+4,则g(x)有两个零点.(题眼)g'(x)=ex+m-4,令g'(x)=0,解得x1=ln4-m,令g'(x)>0,得x>x1,令g'(x)<0,得x<x1,所以g(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增,且当x→-∞时,g(x)→+∞,当x→+∞时,g(x)→+∞,所以要使g(x)有两个零点,则需g(x1)<0,即eln4-4(ln4-m)+4<0,解得m<2ln2-2.故选C.解法二 同解法一得到“关于x0的方程ex0+m-4x0+4=0有两个不同的根”,即ex0+m=4x0-4有两个不同的根,即函数y=ex+m与y=4x-4的图象有两个不同的交点.求出直线y=4x-4与曲线y=ex+m相切时m的值,即可求出m的取值范围.令(ex+m)'=ex+m=4,得x=ln4-m,则切点为(ln4-m,4),代入切线方程y=4x-4得4=4(ln4-m)-4,解得m=2ln2-2,此时直线y=4x-4与曲线y=ex+m相切,将曲线y=ex+2ln2-2向右平移可满足与直线y=4x-4有两个不同的交点,所以m<2ln2-2.故选C.13.A 由题意,得f'(x)=memx-me-mx+2x-m,则切线PA的方程为y-(emx1+e-mx1+x12-mx1)=(memx1-me-mx1+2x1-m)(x-x1),切线PB的方程为y-(e-mx1+emx1+x12+mx1)=(me-mx1-memx1-2x1-m)(x+x1),将(x0,y0)代入两条切线方程,得y0-(emx1+e-mx1+x12-mx1)=(memx1-me-mx1+2x1-m)(x0-x1) ①,y0-(e-mx1+emx1+x12+mx1)=(me-mx1-memx1-2x1-m)(x0+x1) ②,①-②,得2mx1=2(memx1-me-mx1+2x1)x0+2mx1,即(memx1-me-mx1+2x1)x0=0.因为对任意m∈R,x1∈R,memx1-me-mx1+2x1=0不恒成立,所以x0=0,故选A.14.(1)f'(x)=-2x2+a2+ax=(ax+2)(ax-1)x2(0<x<10),第7页共7页\n∵a>0,0<x<10,∴ax+2>0.①当1a≥10,即a∈(0,110]时,f'(x)<0,则f(x)在(0,10)上单调递减;②当0<1a<10,即a∈(110,+∞)时,令f'(x)<0,得0<x<1a,令f'(x)>0,得1a<x<10,∴f(x)在(0,1a)上单调递减,在(1a,10)上单调递增.(由于a>0,0<x<10,因此分类讨论的标准是以1a是否在定义域内进行制定的)综上,当a∈(0,110]时,f(x)在(0,10)上单调递减;当a∈(110,+∞)时,f(x)在(0,1a)上单调递减,在(1a,10)上单调递增.(2)∵x=1是f(x)的极值点,∴f'(1)=0,即(a+2)(a-1)=0,解得a=1或a=-2(舍),此时f(x)=2x+x+lnx,f'(x)=-2x2+1x+1,∴切线l1的方程为y-(2x1+x1+lnx1)=(-2x12+1x1+1)(x-x1),令x=0,得b1=4x1+lnx1-1,同理可得b2=4x2+lnx2-1.∵l1∥l2,∴-2x12+1x1+1=-2x22+1x2+1,整理得x1x2=2(x1+x2),∴x2=2x1x1-2,∴b1-b2=4x2-4x1x1x2+lnx1x2=2(x2-x1)x1+x2+lnx1x2=2(1-x1x2)1+x1x2+lnx1x2.又0<x1<x2<10,∴x1<2x1x1-2<10,得52<x1<4,令x1x2=t,则t=x1·x1-22x1=x12-1∈(14,1),设g(t)=2(1-t)1+t+lnt,则g'(t)=-4(1+t)2+1t=(t-1)2t(t+1)2>0,∴g(t)在(14,1)上单调递增,又g(1)=0,g(14)=65-2ln2,∴g(t)∈(65-2ln2,0),(换元以及构造新函数,利用导数研究新函数的单调性和在特定区间上的值域,从而求得b1-b2的取值范围)即b1-b2的取值范围为(65-2ln2,0).15.(1)由f(π2)=aπ2=π2得a=1,则f'(x)=xcosx+(1-b)sinx,由f'(π2)=1-b=0得b=1,所以f(x)=xsinx+cosx.第7页共7页\n(2)令g(x)=mx2+1-f(x)=mx2-xsinx-cosx+1,由g(x)≥0得g(2π)=4π2m≥0,所以m≥0.易知g(x)为偶函数,所以只需满足当x≥0时,g(x)≥0即可.g'(x)=2mx-xcosx=x(2m-cosx),下面只讨论x≥0时的情形.当m≥12时,g'(x)≥0,即g(x)在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,所以当m≥12时,f(x)≤mx2+1恒成立.当0≤m<12时,因为y=2m-cosx在[0,π2]上单调递增,且当x=0时,y=2m-1<0,当x=π2时,y=2m≥0,所以存在x0∈(0,π2],使得2m-cosx0=0,因此当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,即g(x)在(0,x0)上单调递减,所以当x∈(0,x0)时,g(x)<g(0)=0,与g(x)≥0矛盾.因此当0≤m<12时,f(x)≤mx2+1不恒成立.综上,满足题意的m的取值范围是[12,+∞).16.(1)f'(x)=ex,f'(0)=1,f(0)=1,所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=x+1,所以k=b=1,则y-m=k(x+n)+b,即y=x+m+n+1.g'(x)=1x,则曲线y=g(x)在点(x0,lnx0)处的切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0),即y=1x0x+lnx0-1,从而1x0=1,lnx0-1=m+n+1,所以x0=1,m+n=-2.(2)由题意知φ(x)=x+aex(lnx-x),x∈(0,+∞),函数φ(x)有零点,即φ(x)=0有根.当a=0时,φ(x)=x>0,不符合题意.当a≠0时,函数φ(x)有零点等价于1a=ex(1-lnxx)有根.设h(x)=ex(1-lnxx),则h'(x)=ex(1-lnxx)+ex(-1-lnxx2)=exx2(x-1)(x+1-lnx),设s(x)=x+1-lnx,则s'(x)=1-1x,当x∈(0,1)时,s'(x)<0,s(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,s'(x)>0,s(x)单调递增,所以s(x)≥s(1)=2>0,所以h'(x)=0仅有一根x=1,且当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)≥h(1)=e.所以若函数φ(x)有零点,则1a≥e,从而0<a≤1e.第7页共7页
