第三章 导数及其应用第一节 导数的概念及运算A级·基础过关|固根基|1.定积分(2x＋ex)dx的值为( )A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1解析：选C (2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，故选C．2．(2019届福建福州八县联考)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln，则f(1)＝( )A．－eB．2C．－2D．e解析：选B 由已知得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.3．(2019届湖南娄底二模)已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－，则函数图象在x＝－1处的切线方程是( )A．2x－y＋1＝0B．x－2y＋2＝0C．2x－y－1＝0D．x＋2y－2＝0解析：选A ∵当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x<0)，∴f′(x)＝，∴f′(－1)＝2，f(－1)＝－1，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.故选A.4．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A．1B．\nC．D．2解析：选B 由联立得x1＝0，x2＝2.所以S＝(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝－＋x2＝－＋4＝.故选B．5．(2019届辽宁瓦房店四校联考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，从刹车开始，其速度与时间的关系式为v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)，从开始刹车到停止，汽车行驶的路程(单位：m)是( )A．1＋25ln5B．8＋25lnC．4＋25ln5D．4＋50ln2解析：选C 由7－3t＋＝0，得t＝4或t＝－(不符合题意，舍去)，故汽车经过4s后停止，在此期间汽车行驶的路程为s＝dt＝7t－t2＋25ln(1＋t)＝4＋25ln5.故选C．6．(2019届山东济宁期末)函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，若g(x)＝xf(x)，则g′(1)＝( )A．3B．2C．1D．解析：选D 由题意得，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(1)＝f(1)＋f′(1)．∵函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，∴f′(1)＝，f(1)＝1，∴g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋＝.故选D．7．(2019届广东珠海调研)设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为g(t)，则函数y＝g(t)的部分图象可以是( )解析：选A 由f(x)＝xsinx＋cosx，得f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，所以g(t)＝tcos\nt．因为函数g(t)是奇函数，所以排除选项B、D；又当t∈时，g(t)>0，排除选项C．故选A.8．(2019届湖北黄冈模拟)已知直线y＝是曲线y＝xex的一条切线，则实数m的值为( )A．－B．－eC．D．e解析：选B 设切点坐标为，对y＝xex求导，得y′＝(xex)′＝ex＋xex，若直线y＝是曲线y＝xex的一条切线，则有y′|x＝n＝en＋nen＝0，解得n＝－1，此时有＝nen＝－，∴m＝－e.故选B．9．(2019届广东深圳二模)已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋是奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的倾斜角为( )A.B．C．D．解析：选B 由函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，可得a＝0，则f(x)＝x＋，∴f′(x)＝1－，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率k＝f′(1)＝1－2＝－1，可得所求切线的倾斜角为，故选B．10．(2019届湖南湘潭模拟)经过(2，0)且与曲线y＝相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( )A．2B．C．1D．3解析：选A 设切点为，m≠0，∵y′＝－，∴切线的斜率k＝－，则切线方程为y－＝－(x－m)，代入(2，0)，可得－＝－(2－m)，解得m＝1，则切线方程为y－1＝－x＋1，即y＝－x\n＋2，切线与坐标轴的交点坐标为(0，2)，(2，0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为×2×2＝2.故选A.11．(2020届陕西摸底)已知函数f(x)＝ex＋ax，g(x)＝exlnx.(1)若对于任意实数x≥0，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a＝－1时，是否存在实数x0∈[1，e]，使曲线C：y＝g(x)－f(x)在x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，说明理由．解：(1)对于任意实数x≥0，f(x)＝ex＋ax>0恒成立，当x＝0时，则a为任意实数，f(x)＝ex＋ax>0恒成立；当x>0时，f(x)＝ex＋ax>0恒成立，即当x>0时，a>，设H(x)＝－(x>0)，则H′(x)＝－＝，当x∈(0，1)时，H′(x)>0，则H(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，H′(x)<0，则H(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，H(x)取得最大值，H(x)max＝H(1)＝－e，则a>－e.综上，a的取值范围为(－e，＋∞)．(2)不存在实数x0∈[1，e]，使曲线C在x＝x0处的切线与y轴垂直．理由如下：若曲线C：y＝exlnx－ex＋x在x＝x0处的切线与y轴垂直，则方程M′(x0)＝0在x0∈[1，e]上有实数解，由题意，得曲线C的方程为y＝exlnx－ex＋x.令M(x)＝exlnx－ex＋x，则M′(x)＝＋exlnx－ex＋1＝ex＋1.设h(x)＝＋lnx－1，则h′(x)＝－＋＝，当x∈[1，e]时，h′(x)≥0，故h(x)在[1，e]上单调递增，因此h(x)在区间[1，e]上的最小值为h(1)，又h(1)＝＋ln1－1＝0，所以h(x)＝＋lnx－1≥0在[1，e]上恒成立，当x0∈[1，e]时，ex0>0，＋lnx0－1≥0，所以M′(x0)＝ex0＋1>0.即方程M′(x0)＝0无实数解，故不存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝M(x)在x＝x0处的切线与y轴垂直.B级·素养提升\n|练能力|12.如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )A．B．C．D．解析：选B 根据题意，得f′(x)≥，则曲线y＝f(x)上任一点的切线的斜率k＝tanα≥.结合正切函数的图象可得α∈.故选B．13．(2019届山东师大附中高三模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝e，∀x∈R，2f(x)－f′(x)>0，则不等式f(x)<e2x－1的解集为( )A．{x|x<1}B．{x|x>1}C．{x|x<e}D．{x|x>e}解析：选B 设F(x)＝，则F′(x)＝′＝.因为2f(x)－f′(x)>0，e2x－1>0，所以F′(x)＝<0，即函数F(x)在R上单调递减．又因为f(1)＝e，所以F(1)＝＝1.不等式f(x)<e2x－1，即为<1＝，即F(x)<F(1)，所以f(x)<e2x－1的解集是{x|x>1}，故选B．14．设函数f(x)＝2x3＋(a＋3)xsinx＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )A．y＝－xB．y＝－2xC．y＝－4xD．y＝－3x解析：选D ∵函数f(x)＝2x3＋(a＋3)xsinx＋ax为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即2(－x)3＋(a＋3)(－x)·sin(－x)＋a·(－x)＝－2x3－(a＋3)xsinx－ax.∴a＋3＝0，即a＝－3.∴f(x)＝2x3－3x，则f′(x)＝6x2－3.∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝－3.∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝－3x，故选D．\n15．(2020届陕西摸底)曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与x轴及直线x＝a所围成的三角形面积为，则实数a＝________．解析：由y＝x3，得y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.令y＝0，得x＝，则S＝××|3a－2|＝，解得a＝或a＝1.答案：或1
