第三章 导数及其应用第一讲 导数的概念及运算练好题·考点自测1.下列说法正确的是( )(1)f'(x)与f'(x0)(x0为常数)表示的意义相同.(2)在曲线y=f(x)上某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义相同.(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(5)(sinπ3)'=cosπ3.(6)(3x)'=3xlog3e.(7)(log2x)'=1x·ln2.A.(1)(2)(3)(5)(7)B.(4)(5)(7)C.(3)(7)D.(6)(7)2.某质点的位移s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数是s=2t3-12gt2(g=10m/s2),则当t=2s时,它的加速度是( )A.14m/s2B.4m/s2C.10m/s2D.-4m/s23.设正弦函数y=sinx在x=0和x=π2附近的平均变化率分别为k1,k2,则k1,k2的大小关系为( )A.k1>k2B.k1<k2C.k1=k2D.不确定4.[2020全国卷Ⅰ,6,5分][理]函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+15.[2018全国卷Ⅲ,14,5分][理]曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 6.[2018天津,10,5分]已知函数f(x)=exlnx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为 . 7.[陕西高考,5分][理]设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 . 拓展变式1.[2021四省八校联考]设函数f(x)=x+g(x)在R上可导,且在f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程为y=-x+2,则g(1)+g'(1)的值为( )A.-2B.0C.1D.22.(1)[2021贵阳市摸底测试]已知直线y=kx-2与曲线y=xlnx在x=e处的切线平行,则实数k的值为 . 第3页共3页\n(2)[2021安徽省四校联考]已知曲线y=xex在x=x1处的切线为l1,曲线y=lnx在x=x2处的切线为l2,且l1⊥l2,则x2-x1的取值范围是 . (3)[2016全国卷Ⅱ,16,5分][理]若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= . 答案第一讲 导数的概念及运算1.C 由导数的概念、几何意义及导数公式可得(3)(7)正确.2.A 由质点在时刻t的速度v(t)=s'(t)=6t2-gt,加速度a(t)=v'(t)=12t-g,得当t=2s时,a(2)=v'(2)=12×2-10=14(m/s2).3.A ∵y=sinx,∴y'=(sinx)'=cosx.k1=cos0=1,k2=cosπ2=0,∴k1>k2.4.B ∵f(x)=x4-2x3,∴f'(x)=4x3-6x2,∴f'(1)=-2,又f(1)=1-2=-1,∴所求的切线方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.故选B.5.-3 y'=(ax+1+a)ex,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为-2,得y'|x=0=(ax+1+a)ex|x=0=1+a=-2,所以a=-3.6.e 由题意得f'(x)=exlnx+ex·1x,则f'(1)=e.7.(1,1) y'=ex,则曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k切=1,又曲线y=1x(x>0)上点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,所以曲线y=1x(x>0)在点P处的切线的斜率为-1,设P(a,b)(a,b>0),则曲线y=1x(x>0)上点P处的切线的斜率为y'x=a=-a-2=-1,可得a=1,又P(a,b)在曲线y=1x上,所以b=1,故P(1,1).第3页共3页\n1.A ∵点(1,f(1))在切线y=-x+2上,∴f(1)=-1+2=1.又f'(1)=-1,∴f(1)+f'(1)=0.∵f(x)=x+g(x),∴f'(x)=1+g'(x),∴f(1)+f'(1)=1+g(1)+1+g'(1)=0,故g(1)+g'(1)=-2.故选A.2.(1)2 由y=xlnx,得y'=lnx+1,所以当x=e时,y'=lne+1=2,所以曲线y=xlnx在x=e处的切线的斜率为2.又该切线与直线y=kx-2平行,所以k=2.(2)(-∞,-1) 令f(x)=xex,g(x)=lnx,则切线l1的斜率k1=f'(x1)=1-x1ex1,切线l2的斜率k2=g'(x2)=1x2.∵l1⊥l2,∴k1k2=1-x1ex1·1x2=-1,即x2=x1-1ex1,∵x2>0,∴x1>1,x2-x1=x1-1ex1-x1.令h(x)=x-1ex-x(x>1),则h'(x)=2-x-exex.当x>1时,y=2-x-ex为减函数,故2-x-ex<2-1-e1<0,∴h'(x)<0,∴h(x)在(1,+∞)上单调递减,∴h(x)<h(1)=-1,∴x2-x1<-1.(3)1-ln2 设y=kx+b与f(x)=lnx+2,g(x)=ln(x+1)分别相切于点(x1,y1),(x2,y2),则k=f'(x1)=g'(x2)=y1-y2x1-x2,即k=1x1=1x2+1=lnx1+2-ln(x2+1)x1-x2,解得x1=12,k=1x1=2,y1=ln12+2,因为(12,ln12+2)在y=kx+b上,所以ln12+2=2×12+b,b=1-ln2.第3页共3页
