第十二章概 率第四讲 二项分布及其应用、正态分布练好题·考点自测1.[2021黑龙江模拟]某种疾病的患病率为0.5%,已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%,则患该种疾病且血检呈阳性的概率为( )A.0.495%B.0.9405%C.0.9995%D.0.99%2.[2018全国卷Ⅲ,8,5分][理]某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( )A.0.7B.0.6C.0.4D.0.33.[2021山东重点中学第一次联考]在2019年女排世界杯比赛中,中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军,成功卫冕,收到习近平总书记的贺电.团结协作、顽强拼搏是中国女排精神,为学习女排精神,某市A、B两校排球队进行排球友谊赛,采取五局三胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为35,设各局比赛相互之间没有影响,则在此次比赛中,四局结束比赛的概率为( )A.234625B.162625C.78625D.726254.[2021四省八校高三模拟]已知随机变量ξ服从二项分布B(n,p),若E(ξ)=12,D(ξ)=3,则n= . 5.[与不等式交汇]据某高速公路收费站统计,“五一”前后,每天通行车辆的数量ξ服从正态分布N(2000,σ2),若P(ξ>2200)=a,P(1800<ξ<2000)=b,则4a+1b的最小值为 . 6.[2020百校联考]若随机变量ξ服从正态分布N(9,16),则P(-3<ξ≤13)= . 参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973.7.[2020天津,13,5分]已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 拓展变式1.已知100件产品中有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率为 . 2.[2019全国卷Ⅰ,15,5分][理]甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 . 第4页共4页\n3.[2018全国卷Ⅰ,20,12分][理]某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件做检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品做检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品做检验?4.[2020河南省十所名校6月联考]2020年2月,受新冠肺炎疫情的影响,医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头作用下,部分工厂转业生产口罩.已知某工厂生产口罩的质量ξ(单位:g)~N(15,0.0025),该厂每天生产的质量在(14.9,15.05]内的口罩数量为818600件,则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为( )参考数据:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ≈0.6827),P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973.A.158700件B.22750件C.2700件D.1350件5.如图12-4-4,已知电路中4个开关闭合的概率都是12,且每个开关是否闭合相互独立,则灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.14答案第4页共4页\n第四讲 二项分布及其应用、正态分布1.A 设事件A为“血检呈阳性”,事件B为“患该种疾病”.依题意知P(B)=0.005,P(A|B)=0.99,由条件概率公式P(A|B)=P(AB)P(B),得P(AB)=P(B)·P(A|B)=0.005×0.99=0.00495,故选A.2.B 由题意知,X服从二项分布,所以D(X)=10p(1-p)=2.4,所以p=0.6或p=0.4.由P(X=4)<P(X=6),得C104p4(1-p)6<C106p6(1-p)4,即(1-p)2<p2,所以p=0.6.故选B.3.A 四局结束比赛即获胜方第四局胜,且前三局中胜了两局,当A校排球队获胜时,概率为C32×(35)2×25×35=162625,当B校排球队获胜时,概率为C32×(25)2×35×25=72625,所以四局结束比赛的概率为162625+72625=234625.4.48 由题意,得np=12,np(1-p)=32,解得n=48,p=14.5.18 由ξ~N(2000,σ2),P(ξ>2200)=a,P(1800<ξ<2000)=b,得a+b=12,又a>0,b>0,则4a+1b=2(4a+1b)(a+b)=2(5+4ba+ab)≥2(5+24ba·ab)=18,当且仅当4ba=ab,a+b=12,即a=13,b=16时取等号.所以4a+1b的最小值为18.6.0.84 依题意,ξ~N(9,42),其中μ=9,σ=4,故P(-3<ξ≤13)=P(μ-3σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827+0.99732=0.84.7.16 23依题意得,甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13=16,甲、乙两球都不落入盒子的概率为(1-12)×(1-13)=13,则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1-13=23.1.499 解法一(定义法) 设事件A为“第一次取到不合格品”,事件B为“第二次取到不合格品”,则所求的概率为P(B|A).因为P(AB)=C52C1002,P(A)=C51C1001,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=5×4100×995100=499.解法二(缩样法) 在第一次取到不合格品后,也就是在第二次取之前,还有99件产品,其中有4件不合格品,因此第二次取到不合格品的概率为499.2.0.18 解法一 因为甲队以4∶1获胜,所以第五场甲胜,而前四场甲需要胜三场输一场,则甲队的胜负情况可分为“胜胜胜负胜”“胜胜负胜胜”“胜负胜胜胜”“负胜胜胜胜”这4种.设事件A为“甲队以4∶1获胜”,Ai表示第i场甲队获胜.又前五场的主客场安排为“主主客客主”,所以P(A1)=P(A2)=P(A5)=0.6,P(A3)=P(A4)=0.5,则P(A)=P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6+0.6×0.6×0.5×0.5×0.6+0.6×0.4×0.5×0.5×0.6+0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.18.第4页共4页\n解法二 由题意可得,一共比赛了五场,且第五场甲队获胜,前四场甲队胜三场,输一场.前四场甲队胜三场,输一场的情况有如下两种.①甲队主场输一场,其概率P1=C21×0.4×0.6×C22×0.52=0.12.②甲队客场输一场,其概率P2=C22×0.62×C21×0.5×0.5=0.18.由于第五场必定是甲队胜,所以所求概率P=(P1+P2)×0.6=0.18.3.(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率f(p)=C202p2(1-p)18.因此f'(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C202p(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.所以f(p)的最大值点p0=0.1.(2)由(1)知,p0=0.1,所以p=0.1.(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品的件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490.(ii)如果对这箱余下的产品做检验,那么这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对这箱余下的所有产品做检验.4.D 由题意知ξ~N(15,0.0025),即μ=15,σ=0.05,所以P(14.9<ξ≤15.05)=P(μ-2σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827+0.95452=0.8186(利用正态曲线的对称性,正态曲线关于直线x=μ对称),所以该厂每天生产的口罩总量为818600÷0.8186=1000000(件).又P(ξ>15.15)=P(ξ>μ+3σ)≈1-0.99732,所以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为1000000×1-0.99732=1350(件).故选D.5.C 由题意知,灯泡不亮包括四个开关都开,或丙丁都开且甲开乙关,或丙丁都开且甲关乙开三种情况,这三种情况是互斥的,每一种情况中的每个开关是否闭合是相互独立的,所以灯泡不亮的概率是12×12×12×12+12×12×12×12+12×12×12×12=316.因为灯亮和灯不亮为对立事件,所以灯亮的概率是1-316=1316.故选C.第4页共4页
