【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第7章第5节空间向量及其运算课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，则这四个点________(填共面或不共面)．[解析] ＝(3,4,5)，＝(1,2,2)，＝(9,14,16)，设＝x＋y，即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，得x＝2，y＝3.[答案] 共面2．(2014·济南调研)在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c，两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c.则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z得p＝xa＋yb＋zc.其中不正确的命题是________(填序号)．[解析] a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确．根据平移向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误．三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确．只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确．[答案] ①②③④3．已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，OB＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)[解析] ＝－＝(＋)－＝b＋c－a.[答案] b＋c－a6\n4．(2012·上海高考)若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是________．(填序号)①(a＋b)·c＝a·c＋b·c；②(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；③m(a＋b)＝ma＋nb；④(a·b)·c＝a·(b·c)．[解析] (a·b)·c＝|a|·|b|cosθ·c，a·(b·c)＝|b|·|c|cosα·a，a与c的模不一定相等且不一定同向，故错．[答案] (4)5．已知P，A，B，C四点共面且对于空间任一点O都有＝2＋＋λ，则λ＝________.[解析] 根据共面向量知P，A，B，C四点共面，则＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，所以2＋＋λ＝1，λ＝－.[答案] －6．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ等于________．[解析] 由已知得＝＝，解得λ＝－2或λ＝.[答案] －2或7．(2014·徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是________．[解析] ∵点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－.6\n当λ＝时，·取得最小值－.此时＝.[答案] 8．如图756所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．图756[解析] 设＝a，＝b，＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，即〈·〉＝，所以cos〈，〉＝0.[答案] 0二、解答题9．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求a的坐标．[解] (1)由题意可得：＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，∴cos〈，〉＝＝＝，6\n∴sin〈，〉＝，∴以，为边的平行四边形的面积为S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.(2)设a＝(x，y，z)，由题意得解得或∴向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．10．(2014·张家港调研)如图757，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，图757(1)试证：A1，G，C三点共线；(2)试证：A1C⊥平面BC1D.[证明] (1)＝＋＋＝＋＋，可以证明：＝(＋＋)＝，∴∥，即A1，G，C三点共线．(2)设＝a，CD＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，因此⊥，即CA1⊥BC1，同理CA1⊥BD，又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面BC1D.6\n[B级 能力提升练]一、填空题1．如图758所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，则线段PC的长为________．图758[解析] ∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos|120°＝49.∴||＝7，即PC＝7.[答案] 72．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为________．图759[解析] ∵＝＝(＋)＝＋×＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋，而＝x＋y＋z，∴x＝，y＝，z＝.6\n[答案] 二、解答题3．(2014·南京调研)如图7510，在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．图7510(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．[解] (1)证明：设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a，∴·＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2)＝－a＋c，＝b＋c，∴||＝|a|，||＝|a|.·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，∴cos〈，〉＝＝.故异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.6
